1、吉林省实验中学高二数学选修 21 学案（5） 常用逻辑用语1全称量词与存在量词编稿人：高志才 审稿人：粱清华学习目标：正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。一全称量词：1复习引入：下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）x3；（2）2x1 是整数；（3）对所有的 xR，x 3；（4）对任意一个 xZ，2x1 是整数；（5）如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（6）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（7）所有有中国国籍的人都是黄种人2定义：（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做 “全称命题”
2、（2）通常将含有变量 x 的语句用 p（x） ，q（x ） ，r（x） ，表示，变量 x 的取值范围用 M 表示。那么全称命题“ 对 M 中任意一个 x，有 p（x）成立”可用符号简记为：xM ， p(x)，读做“ 对任意 x 属于 M，有 p(x)成立”3例题：例 1判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数；（2）xR，x 211；（3）对一个无理数 x，x 2 也是无理数4练习： 判断下列全称命题的真假（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有有算术平方根；（3）xx| x 是无理数，x 2 是有理数二存在量词：吉林省实验中学高二数学选修 21 学案（5） 常用逻辑用语2引例
3、：下列语句是命题吗?（1）与（3） ， （2）与（4）之间有什么关系?（1） ；2x（2）x 能被 2 和 3 整除；（3）存在一个 x0R ，使 2 x013 （4）至少有一个 x0Z，x 0 能被 2 和 3 整除2定义：（1）短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语叫做存在量词。并用符号“ ”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（2） 特称命题：“存在 M 中一个 x，使 p（x）成立” 可以用符号简记为：xM，p（x） 。读做“存在一个 x 属于 M，使 p（x）成立”说明：（1）全称量词相当于日常语言中“凡”， “所有”， “一切”， “任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一
4、个”， “有一个”， “有些”， “至少有一个”等（2）同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能选择不同的表述方法 命题 全称命题“ ”,()xAp特称命题“ ”,()xAp所有的 成立 存在 成立使以一切 成立,()x至少有一个 成立,()x使对每一个 成立Ap对有些 成立Ap使任选一个 成立,()x对某个 成立,()x使表述方法凡 都有 成立 有一个 成立使3例题：例 2判断下列特称命题的真假（1）有一个实数 x0，使 ；203x（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数例 3指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：（1）若 a0，
5、且 a1，则对任意实数 x，a x0吉林省实验中学高二数学选修 21 学案（5） 常用逻辑用语3（2）对任意实数 x1，x 2，若 x1x 2，则 tan x1tan x2（3）T 0R，使 |sin(xT 0)|sin x|（4）x 0R，x 0210例 4函数 f (x)对xR，yR 均有 f(xy)f(y)（x 2y 1）x 成立，且 f(1)0，（1）求 f (0)的值；（2）对x（ 0， ） ，f (x )2log ax，恒成立，求 a 的取值范围14练习： 1判断下列特称命题的真假（1）x 0R，x 00；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）x 0x| x 是无理
6、数，x 02 是有理数2下列全称命题中，真命题是：A所有的素数是奇数； Bx 0R，( x1) 2 0；C D1,Rx1,)sinx3下列特称命题中，假命题是：A B至少有一个 能被 2 和 3 整除2,30,ZC存在两个相交平面垂直于同一直线 D x2 是有理数|x是 无 理 数 4已知：对 ，恒成立，则 a 的取值范围是 1R*xax，；5已知：对 恒成立，则 a 的取值范围是 ；20，6求函数 的值域；()cosinfxx吉林省实验中学高二数学选修 21 学案（5） 常用逻辑用语47已知：对 方程 有解，求 a 的取值范围,xR2cosin30xa8已知 的图象过点（1，0） ，是否存在常数 ，使不等式2()fxabc ,abc对 均成立?f,xR
