1、初三数学经典大题解析1已知抛物线 与 x 轴交于不同的两点 和 ，与 y 轴交23yxbc10Ax， 2B，于点 C，且 是方程 的两个根（ ） 12， 302（1）求抛物线的解析式；（2）过点 A 作 ADCB 交抛物线于点 D，求四边形 ACBD 的面积；（3）如果 P 是线段 AC 上的一个动点（不与点 A、C 重合） ，过点 P 作平行于 x 轴的直线 l 交 BC 于点 Q，那么在 x 轴上是否存在点 R，使得PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）解方程 230x，得 123x=-,1 分点 A-1， ，点 B， 203bc解，得42bc
2、抛物线的解析式为 243yx 2 分（2）抛物线与 y 轴交于点 C点 C 的坐标为（0，2 ） 又点 B3， ，可求直线 BC 的解析式为 23yxADCB，设直线 AD 的解析式为 b又点 0A-1， ， 23b，直线 AD 的解析式为 23yx解243yx，得214,10xy，点 D 的坐标为（4， 03） 4 分过点 D 作 DDx轴于 D， DD 1，则又 AB4四边形 ACBD 的面积 S 12ABOC+ ABDD 21035 分（3）假设存在满足条件的点 R，设直线 l 交 y 轴于点 E（0，m） ，点 P 不与点 A、C 重合，0 m 2，点 A-， ，点 ,C，可求直线 A
3、C 的解析式为 2yx，点 12P， 直线 BC 的解析式为 3，点 3Qm， 24PQm在PQR 中，当 RQ 为底时，过点 P 作 PR1x 轴于点 R1，则R 1PQ90，PQPR 1m 24，解得 3，点 43， ，点 R1 坐标为（ ，0） 6 分当 RP 为底时，过点 Q 作 Q R2x 轴于点 R2，同理可求，点 R2 坐标为（1，0） 7 分当 PQ 为底时，取 PQ 中点 S，过 S 作 SR3PQ 交 x 轴于点 R3，则PR3QR 3，PR 3Q90PQ 2R 3S2m 42m，解，得 1，点 12P， ，点 1， ，可求点 R3 坐标为（ 1，0） 8分经检验，点 R1
4、，点 R2，点 R3 都满足条件综上所述，存在满足条件的点 R，它们分别是 R1（ 3，0） ，R 2（1，0）和点R3（ 2，0） 2.如图，抛物线 yax 2bx 3，与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且OB OC3OA()求抛物线的解析式；()探究坐标轴上是否存在点 P，使得以点 P，A ，C 为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出 P 点坐标，若不存在，请说明理由；()直线 交 y 轴于 D 点，E 为抛物线顶点若DBC ，CBE ，13xy求 的值答案： ，且 3,032点轴 交与抛 物 线 CybxayOACB3)0,3(,1B代入 ，得2x12039abba2
5、xy（II）当 可证 10,PAC时 AOP1C3tantan11 ORt中 ，)3,0(P同理: 如图当 )0,9(22PCA时 ，当 ),(9033时 ， A P2P 1C综上，坐标轴上存在三个点 ，使得以点 为顶点的三角形为直角三角形，分别PCA,是 ， )31,0(P,92)0,(3（III） 1,1Dxy得由 4,132Exy， 得 顶 点由 52,23BECB 为 直 角 三 角 形 31tan又 31tanOBDDOBR中 45C3. 抛物线与 x 轴交于 A（1，0） 、B 两点，与 y 轴交于点C（0，3） ，抛物线顶点为 M，连接 AC 并延长 AC 交抛物线对称轴于点 Q
6、，且点 Q 到 x 轴的距离为 6.（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点 D，使得 DC 与 AC 垂直，求出点 D 的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得 SPAM =3SACM ，若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设直线 AC 的解析式为 ，把3kxyA（1，0）代入得 .3k直线 AC 的解析式为 . 1 分依题意知，点 Q 的纵坐标是 6.把 代入 中，解得 ，点 Q（1， ） 6y3xx6点 Q 在抛物线的对称轴上， 抛物线的对称轴为直线 .x设抛物线的解析式为 ，由题意，得 ，解得 nxay2)1(304na.4,1na抛物线的解析式
7、为 42（2）如图，过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于点 D，交 x 轴于点 N，则 ANCO ， .ACtanta ， ， .1O39点 N 的坐标为（9，0）可求得直线 CN 的解析式为 . 图31xy由 ，解得 ，即点 D 的坐标为（ ， ）. 4)1(32xy9207y37920（3）设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，依题意，得 ， ， .AEM52A ，1EOCCMSS梯 形且 ，PPA21又 ， . CM33设 P（1，m） ， 图当点 P 在点 M 上方时，PMm43， ， P（1，1）. 当点 P 在点 M 下方时，PM4m 3， ， P（1，7）. 综上所述，点 P 的坐
8、标为 （1，1） ， （1，7）.2P4. 已知抛物线经过点 A(0，4)、B(1，4) 、C (3，2)，与 x 轴正半轴交于点 D(1)求此抛物线的解析式及点 D 的坐标；(2)在 x 轴上求一点 E，使得BCE 是以 BC 为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段 ED 上动点 P 作直线 PFBC，与 BE、CE分别交于点 F、G，将EFG 沿 FG 翻折得到E FG设 P(x，0) ，E FG 与四边形 FGCB 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围答案：xy(1,m)P1CMAOE5关于 的一元二次方程 有实数根，且 为正整数.x24
9、0xcc（1）求 的值；c（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系 中,抛物线 与 轴xOy24xcx交于 、 两点（ 在 左侧） ，与 轴交于点 . 点 为对称轴上一点，且四边形AByCP为直角梯形，求 的长；OPCPC（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点 的坐标为 ,当抛物线与Dmn（2）中的直角梯形 只有两个交点，且一个交点在 边上时，直接写出 的取值范围.解：（1）关于 的一元二次方程 有实数根，x240xc = . 046c.4又 为正整数， . ,31（2） 方程两根均为整数， . ,c又 抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点， . 3 抛物线的解析式为 . 2
10、4yx 抛物线的对称轴为 . 四边形 为直角梯形，且 ，OPC90COB . 点在对称轴上， . PCBO2（3） 或 . 02m6. 点 为抛物线 ( 为常数， )上任一点，将抛物线绕顶点 逆22yxm0G时针旋转 后得到的新图象与 轴交于 、 两点（点 在点 的上方） ，点 为点9yABBQ旋转后的对应点.P（1）当 ，点 横坐标为 4 时，求 点的坐标；PQ（2）设点 ，用含 、 的代数式表示 ；(,)Qabba（3) 如图，点 在第一象限内, 点 在 轴的正半轴上，点 为 的中点， 平分DxCOD， ，当 时，求 的值.AC2m解：（1）当 m=2 时， ，则 ， . 2)(xy(,0)G(4,)P如图，连接 、 ,过点 作 轴于 ,过点 作 轴于 .QGPQFEx依题意,可得 .E则 . . 2,4,FEO2,（2）用含 的代数式表示 ： . mba2bm（3）如图，延长 到点 E，使 ,连接 .CC 为 中点, .OD , .QQD . E , .A2 平分 , .C21 . . . mOA,0 在新的图象上, .02m ， （舍）. . 1219.
