1、求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标 （2）写出适合条件P的点M的集合 P=M | p(M);(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式 （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。,建系、设点,条件立式,代换,化简方程,查缺补漏,说明： 1、特点：明确给出了圆心坐标和半径。,2、确定圆的方程必须具备三个独立条件。,(x-3)2+(y-4)2=5,练习：1、写出下列各圆的方程：(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3),(x-8)2+(
2、y+3)2=25,补充练习：写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x-1)2+y2=6(2) (x+1)2+(y-2)2=9(3)(x+a)2+y2=a2,(-1,2) 3,(-a,0) |a|,例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。,M,练习2: 已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。,x 2+y2=196,例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。,当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.,过圆上一点作切线,例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。,P(x , y ),由勾股定理：OM
3、2+MP2=OP2,解法二（利用平面几何知识）：,在直角三角形OMP中,x0x +y0 y = r2,例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。,解法三（利用平面向量知识）：,x0x +y0 y = r2,x2 + y2 = r2,过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：,(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2,2）设切线的斜率为k ,则直线方程为,所以，圆心到切线的距离为,解出k，进而求出切线方程。,过圆外一点作切线,例4、已知圆切线的斜率为k，求证：圆的切线方程为,证明：设切线方程为 y=kx+b，则圆心到切线的距离为,已知切线斜率
4、求切线,对于平面几何中的切割线定理与圆内相交弦定理，如图，两个定 理有统一的形式：PA*PB=PC*PD=K（常量）且有以下结论；,当P点在圆外时，常量K就是通过P点的切线长PT的二次 幂，即 ；当P点在圆内时，常量是与过点P的直 径垂直的弦长 一半的平方，即,用解析几何阐述一下上述定理：,设圆的方程为：,若P点在圆外，则过P点的圆的切线长：,若P点在圆内，则过P点且与过P点的直径垂直的弦长的一半,证明只需要用到勾股定理即可。,显然，若P点在圆上，则,切线长,例5、如图，过圆外一点P（a,b)作圆 的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程。,解：设切点A、B的坐标分别为,则切线AP、BP的方
5、程分别为,它是一条直线方程，而过A、B的直线只有一条。,切点弦,练习4：已知圆的方程是x2+y2=1，求：（1）斜率等于1的切线的方程；,例6：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m),解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。,答：支柱A2P2的长度约为3.86m。,1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。,2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方 程。,课后思考题：,x+3y=10 或 3x-y=10,小结(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：x2 + y2 = r2(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。,
