1、学时：4 主要内容 级数，收敛，幂级数性质，泰勒级数和洛郎级数 重点和要求 级数的概念，收敛条件，幂级数性质 泰勒级数和洛郎级数的概念和性质,把函数展开为泰勒级数和洛郎级数 孤立奇点的分类作业 : 3.2节: 3.1, 3.2, 3.5, 4.1, 4.4,第三章、复数级数,补充作业在后面,引言,我们在高等数学中学习级数时,已经知道级数和数列有着密切的关系,在复数范围内,级数和数列的关系与实数范围内的情况十分类似.我们即将看到,关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定理都是实数范围内的相应内容在复数范围内的直接推广.,这一章的主要内容是: 除了介绍关于复数项和复变函数项级数的一些基本概念与
2、性质以外,着重介绍复变函数项级数中的幂级数和由正负整次幂项所组成的Laurent级数,并围绕如何将解析函数展开为幂级数或洛朗级数这一中心内容来进行.这两类级数都是研究解析函数的重要工具,也为下一章留数的学习打下良好的基础.,复数项级数,定义：各项均为复数的无穷级数称为复(数项)级数.,其中通项为：,部分和：无穷级数的前 n 项和称为该级数的部分和。,3-1 复数级数,复数级数及其收敛判据,总结,因为部分和可以表示为：,故复数项级数的收敛性可归结为两个实数项级数的收敛性问题(复变函数极限的基本定理)；因而实数项级数的许多性质可以直接用于复数项级数。,复数级数收敛判据,几个重要结论,级数收敛判别方
3、法,为与n无关的常数,用比较判别法判断,注意调和级数,注意调和级数,解： 因为,，,都收敛，故原级数收敛，但因,为条件收敛，所以原级数为条件收敛。,3-2 幂 级 数,幂级数收敛定理,画图说明,证明：Abel第一定理,(同学们自己看),务必掌握,证明：比值法,例：幂级数收敛范围,补充用比值法或者根值法求幂级数的收敛半径,同学们自己做,重点,复变幂级数的四则运算,同学们应注意这一点,复变幂级数复合运算、性质,总结:首先要把函数做代数变形,使其分母中出现量z-a,因为我们要展成z-a的幂级数,再把它按照展开式为已知的函数,的形式写成,3-3 Taylor级数,上一节我们看到,复变幂级数的和函数在其
4、收敛圆的内部是一个解析函数.那么其逆是否为真呢?即任何一个解析函数是否能用幂级数来表达.因此有下面的Taylor定理,即把一个解析函数展开为Taylor幂级数.,高阶导数公式,Taylor展开的唯一性,几个重要的 Maclaurin 级数,几种常用初等函数的泰勒展开式,注：间接展开法最常用。,也可利用柯西乘积求得,具体见课本,补充例题,3-5 Laurent级数,图示见课本,(6),单值解析函数沿闭合曲线的积分值与包围奇点的围到形状无关（只有一个奇点时）,注意,在实际应用中,常会遇到在某点z0不解析,但在z0的去心邻域内解析的函数f(z),可将f(z)在圆环域内 展开为洛朗级数.,Lauren
5、t展开的唯一性,Laurent 展开的方法,（1）,（2）,解：,例题有感:同一函数在不同的圆环域内的洛朗展开式可能不同,这与洛朗展开式的唯一性不要混淆. 函数的洛朗级数展开式对同一圆环域而言是唯一的, 而在不同的圆环域内的展开式是不同的.,关于洛朗级数展开的说明,补充例题,补充例题,例题具体见课本,总结利用洛朗级数求积分的步骤,利用洛朗级数求积分,首先先找一个积分的圆环,使函数在圆环内解析，并且使积分围道在圆环内部。 然后把函数在圆环内进行洛朗展开,则洛朗展开系数b-1乘以2i 即为所求的积分.,补充例题(不讲),同学们自己看，此题与我们的例题相似,留数理论是复变函数的积分与级数相结合的产物
6、，是复变函数的重要组成部分，留数的理论与方法在复变函数中占有重要的地位，也是解决有关实际问题的有力工具。在物理光学，统计物理，量子力学，固体物理乃至量子场论中有着极其广泛的应用。,引言,关于函数的奇点及其在孤立奇点邻域内性质的研究对于许多问题的求解有着重要意义。这一章先根据Lanrent级数将奇点分类,在此基础上研究留数理论,然后应用留数理论计算积分。,3-5单值函数的孤立奇点,孤立奇点z0为可去奇点的充要条件是函数f(z)在z0的邻域内有界,即,可去奇点是可以除去的，事实上，不论f(z)原来在z0是否有定义，如果令f(z0)=b0 ,则在圆域内，总有f(z)=b0+b1(z-z0)+b2(z-z0)2+,因此f(z)就成了在圆域内收敛的幂级数的和函数，因此它在该圆域内解析，当然在z0处也解析，所以z0为可去奇点。,极点的阶数的判断方法,也可以用sinz的展开式来判断,补充例题见教案,书上的作业题，见教案,注意字的 写法！,(10),无穷远点与有限远点分类总结,与有限区域中的三类孤立奇点的定义相比较，按极限性质的分类方法是相同的，按洛朗展开性质的分类方法也只是将展开式中的负幂项改为正幂项，这正是无穷远点与有限远点不同所导致的结果。,例题：判断下列函数的无穷远奇点的类型,了解即可 具体见教案,
