1、毕 业 论 文2015 届浅谈中学数学分类讨论的问题及教学策略学生姓名 吴绍安 学 号 11101230 院 系 数理信息学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 黄玲娣 完成日期 2015 年 5 月 11 日 浅谈中学数学分类讨论的问题及教学策略摘要数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法，在中学数学中常表现为数学分类讨论法。所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和
2、概括性。分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：涉及的数学概念是分类定义的；运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又能促进学生研究问题、探索规律的能力。关键词 分类讨论；标准；原则；应用；教学策略THE PROBLEMS AND TEACHING STRATEGIES ON MIDDLE SCHOOL MATHEMATI
3、CS CLASSIFICATION DISCUSSIONABSTRACTThe mathematical classification thought, is essentially according to the same point and different points of the mathematical objects, a kind of mathematical thinking will be divided into several different types. It is thought a kind of important mathematics though
4、t, it is also an important method in mathematical logic, in middle school mathematics is often expressed as a mathematical classification discussion method. The so-called mathematical classification discussion method, is a mathematical object that divide into several categories, a mathematical metho
5、d is discussed to solve the problem. Discuss the ideas about mathematical problem is logical, comprehensive exploration, clear thinking, training organization and generality of the people. The classification discussion thought throughout the Middle School of mathematics. The math problems need to be
6、 solved by means of classification discussion thought, the reasons caused by classification, can be summed up as: mathematics concept is related to the definition of classification; mathematical theorems, formulas, rules or operational properties using the classification given; mathematical problem
7、solving results there is more than one or several possibility; With the parametric mathematical problems, these parameter values will lead to different results. The application of classified discussion often can help to simplify complex issues. The classification process can cultivate students think
8、ing careful and clarity, and discussion can promote the ability of students to explore the law of the problem and the research of the problem.KEY WORDS Classification discussion; standard; principle; application; teaching strategies目录中文摘要 I英文摘要 II目录 III引言 11 简述分类讨论思想 22 分类讨论思想的标准和原则 33 分类讨论思想在中学数学中的
9、应用 33.1 分类讨论思想在函数中的应用 33.2 分类讨论思想在导数中的应用 53.3 分类讨论思想在数列上的应用 83.4 分类讨论思想在排列组合中的应用 103.5 分类讨论在最优方案问题中的应用 104 分类讨论的教学策略 115 总结 12参考文献 12致谢 14引言数学分类讨论既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法，在中学数学中常表现为数学分类讨论法。分类讨论思想是一种非常重要的数学思想，关于分类讨论的题目一般来说都有一定的难度，成为历年高考的宠儿，经常出现在压轴题。考生往往由于考虑不周，而导致失分现象严重。所以探究分类讨论这一数学思想是有实际意义的。通过对近些年数学
10、高考试卷的研究，发现分类讨论思想在以下几个方面的应用最为明显：1.分类讨论思想在函数中的应用。2.分类讨论思想在导数中的应用。3.分类讨论思想在数列中的应用。4.分类讨论思想在排列组合中的应用。5.分类讨论思想在最优方案问题中的应用。此外，分类讨论的题目在高考中占有一定比例，通过对近 5 年浙江、上海、北京、湖南、湖北五地的高考试卷分类讨论题型的总结，发现每年各地至少有两道是分类讨论题目，分值占到 20 分左右。而近年来，湖北高考卷分类讨论题目特别多，很多大题都要进行分类讨论，因此分类讨论思想非常重要。对分类讨论的研究有助于提高考生在此类题的得分率。表（一）历年数学高考（浙江卷）分类讨论题型分
11、析（理科卷）2010 2011 2012 2013 2014选择题 0 3 1 0 0填空题 1 0 0 0 1解答题 2 1 1 2 1表（二）历年数学高考（上海卷）分类讨论题型分析（理科卷）2010 2011 2012 2013 2014选择题 0 0 0 1 0填空题 1 0 1 1 0解答题 1 2 1 1 2表（三）历年数学高考（北京卷）分类讨论题型分析（理科卷）2010 2011 2012 2013 2014选择题 0 0 1 0 0填空题 0 1 1 0 0解答题 2 2 1 1 2表（四）历年数学高考（湖南卷）分类讨论题型分析（理科卷）2010 2011 2012 2013 2
12、014选择题 1 1 0 0 0填空题 0 1 1 1 0解答题 3 2 2 2 2表（五）历年数学高考（湖北卷）分类讨论题型分析（理科卷）2010 2011 2012 2013 2014选择题 0 1 0 0 1填空题 0 2 0 0 0解答题 2 3 3 3 41 简述分类讨论思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的
13、，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。欧阳献忠和周绍云在 2012 年 12 月发表在宜春学院学报上有一文数学教学中的分类讨论及其应用 。该文从以下几个方面对分类讨论方法进行了阐述:（1）分类讨论在数学教学中的地位和作用。 （2）分类讨论在数学教学中的运用原则。 （3）分类讨论的步骤及要注意的问题。 （4）小结部分。就第二点，他们展开了如下阐述：a) 确定分类对象。b) 确定分类标准，科学合理地分类。c) 逐类求解或证明。d） 归纳、总结问题的结论。e） 多级分类讨论。这篇文章较为系
14、统的对中学数学分类讨论问题进行了研究，尤其是在含参变量的数学问题需要分类讨论的时候，研究的十分透彻。唯一的瑕疵在于多级分类讨论部分缺乏强有力的例题作为应证，举得例子范围比较狭窄。而江西科技师范学院的万志珍在浅析中学数学中的分类讨论思想方法的毕业论中，从以下几个方面对分类讨论思想进行了阐述：1.引言。2.在什么情况下要进行分类要论以及分类讨论的步骤、原则和方法。3.分类讨论思想在高中数学中的应用。4.结论。就第三点，她展开了如下阐述：a）由绝对值引起的分类讨论。b）由不等式引起的分类讨论。c)由等比数列前 项和公式引起的分类讨论。d）由排列组合等问题引起的分类讨论。e）由大小关系引起的分类讨论。
15、f）圆锥曲线的统一定义引起的讨论。2 分类讨论思想的标准和原则分类讨论思想的标准：一般地，在集合 上讨论某一个数学问题时，可以根据某个标A准 ，把 划分为子类 这时，在 上实施对问题的讨论等价于在PA,.21nA,.21n上实施对问题的讨论，把 称为分类讨论的标准。P分类讨论思想的原则：（1）同一性原则：分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据。例如把三角形分为直角三角形，锐角三角形，钝角三角形和等腰三角形就不符合同一性原则，因为用了两个不同的原则。（2）互斥性原则：分类后的每个子项应互不相容，即要做到每个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于那个子项
16、。例如将三角形分为等腰三角形和等边三角形不符合互斥性原则，因为子项不互斥。（3）层次性原则：分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只进行分类一次；多次分类是把分类后的所有子项作为母项，再进行分类，直到满足需要为止。例如对不等式 的解的讨论，要进行多次分类讨论。先对 是否等01)(2xa a于 进行第一次讨论，当 时，又可以分为 和 进行第二次讨论。当00a时，又可以对两根的大小进行第三次讨论。a3 分类讨论思想在中学数学中的应用3.1 分类讨论思想在函数中的应用一般来说，此类题目所占分值不大，常常出现在选择填空题，考查的数学思想比较广泛，分类讨论思想和换元思想、数形结合思想、转化
17、与化归思想通常要结合使用。例 1.（2014 年浙江卷）15.设函数 ，若 ，则实数0,)(2xxf 2)(af的取值范围是_a分析：本题考查分段函数的知识，考查分段函数背景下求解不等式的等价转换的能力，以及分类讨论和换元的数学思想方法，难度中等。解：令 则 ，等价于 或 ),(aft2t202t20t解得 ，解得 ，所以 。于是 ，此等价于02)(af 或 ，解得 ，解得 ,所以,02a2,a0a20.例 2.（2014 湖北卷）10.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，)(xfR0x。若 ，则实数 的取值范32(21)22axaxf )(1,fxa围为（ ）61,A6,B3,1C3,D
18、分析：本题考查分段函数、函数的奇偶性、函数的图像、不等式恒成立问题、一元一次不等式以及分类讨论、数形结合、转化与化归的数学思想，难度较大。解：因为当 时， ,0x )32(21)22axaxf所以当 时， ；2a x22当 时， ；22ax )32(21)2axaxf当 时， ，综上， 223(222,30)axf因此，根据奇函数的图像关于原点对称作出函数 在 R 上的大致图像，观察图像可知，要使 ,则需满足 ，解得.)(1,xfRx1)4(22a6x例 3.（2013 上海卷）12.设 为实常数， 是定义在 上的奇函数，当 时，axfyR0.若 对一切 成立，则 的取值范围为_79)(2xa
19、f1)(xf0a分析：本题考查函数的奇偶性及函数不等式的求解问题，其中运用了分类讨论思想，难度中等。解： 是定义在 上的奇函数， ，且当 时，)(xfyR)(xf0，此时由 得 ，解得 ，当 时，0)1a10a1a，此时由 得 ，由此不79(2xfx )(xf1792ax等式恒成立及 ,（当且仅当 时等号成立）可得aa622 3，结合 ，可得 ，解得 ，综上得 的取值范围为86a1878aa.7,例 4.（2012 北京卷）14.已知 ,若同时满2)(,3)(2)( xgmxmxf足条件： 0或)(,gxfR 04f则 的取值范围是_m析：本题考查一元二次不等式的解法、方程根的分布及数形结合与
20、分类讨论思想的运用，考查学生的综合分析与转化能力，难度较大。解：由于当 时， ；当 时， ，故据题意得只需当1x02)(xg1x0)(xg时， 即可，当 时，二次函数开口方向向)3mmf m上，不符合 时， ，故必有 ，结合二次函数图像只需两根x满足 即可，解得 ，对于条件3,21mx01321m 04m，由于 ，故只需当 时， 使得)(4g4xx即可，此时应使得 比方程两根32)(mxmxf 中的小根大即可，当 时，只需 ，解得,1 01m43m，不符合条件舍去；当 , 不符合题意，当 ,2x21解得 ，综上得： 的取值范围是 .2mm43.2 分类讨论思想在导数中的应用一般来说，此类题目所占分值较大，常出现在高考压轴题，难度普遍较大。此类题目一般可以分为两类，含参变量和不含参变量。含参变量题目难度一般较大。例 1.（2014 年北京卷）18.已知函数 2,0sinco)(xxf（1）求证： 0)(xf（2）若 对 恒成立，求 的最大值与 的最小值.basin)2,(ab分析：第一问很简单，考生很容易做出来。第二问有点难度，要进行分类讨论。
