1、1椭圆的离心率及范围（2013 年椭圆专题复习）一、利用定义求椭圆的离心率（ 或 ）ace221ab1，已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率 32e2，椭圆 142myx的离心率为 ，则 m 解析当焦点在 轴上时， 3214； 当焦点在 y轴上时，31624m，综上 或 33，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 534，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 12nymx的离心率为 解析由 02n42，椭圆 12nyx的离心率为 25，已知 ).(1m则当 mn 取得最小值时，椭圆 12nymx的的离心率为236，设椭圆 2by
2、ax=1（ a b0）的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1到 l1的距离，则椭圆的离心率是 2。二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率 e7，在 ABC 中， ， ，如果一个椭圆过 A、B 两点，它的一个焦Rt90A1ACB点为 C，另一个焦点在 AB 上，求这个椭圆的离心率 36e8， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 与 BF 交于 D,且 901D,则椭圆的离心率为( ) 2解析 eaccba21)( 2159，以椭圆的右焦点 F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线
3、 MF1与圆相切，则椭圆的离心率是 310，椭圆 + =1(ab 0)，过左焦点 F1 且倾斜角为 60的直线交椭圆与 AB 两点，x2a2 y2b2若F 1A=2BF 1,求椭圆的离心率 e 的值解：设BF 1=m 则AF 2=2a-am BF 2=2a-m在AF 1F2 及BF 1F2 中，由余弦定理得： 两式相除 =a2 c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c) ： 2a-c2a+ce=122311设椭圆 的左、右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使）（ 0ba1yax2 21F、，求离心率 e 的取值范围。90PF21解：设 ,cF,21利用椭圆范围。由 得 ，将这个方程
4、与椭圆方程联立，消去 y，可解得PF212cyx。bacx)(ea由椭圆的性质知 ，得 。2x0），以 1212，椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、F 2 (c,0)，满足 1 2 =0 的点x2a2 y2b2 MFMF MFMF M 总在椭圆内部，则 e 的取值范围？分析： 1 2 =0以 F1F2 为直径作圆，M 在圆 OF2MF1 O MFMF MFMF 上，与椭圆没有交点。解：c2c2 0b 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、F 2 (c,0)，P 为右准线 L：x= 上一x2a2 y2b2 a2c点，F 1P 的垂直平分线恰过 F2 点，求 e 的取值范
5、围？分析：思路如图 F1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找 a、b、c 的不等关系。解：F 1 （-c，0） F 2 (c,0) P( ,y0 ) M( , )a2c y02既( , ) 则 1 =-( +c, y0 ) b22c y02 PFPF a2c2 =-( -c, ) 1 2 =0( +c, y0 ) ( -c, )=0 MFMF b22c y02 PFPF MFMF a2c b22c y02( +c)( -c)+ =0a2-3c20 e1a2c b22c y02214，如图，正六边形 ABCDEF 的顶点 A、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点 B、C、E、F 均在椭圆上，
6、则椭圆离心率的取值范围是 3解：以 AD 所在直线为 X 轴，AD 中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为 r，则椭圆的半焦距 ，易知 AOF 为等边三角形，F（ ，代入椭圆方程rc )2,c中，得： ，12byax1432bca ，即：4322c2e，122e ,13,24,08),1(43)( 2422 eee又 ,0e15，椭圆 上有一点 M， 是椭圆的两个焦点，若21(0)xyab12,F，求椭圆的离心率.21MF解析: 由椭圆的定义，可得 又 ，所以21a21FMb是方程 的两根，由 ， 可得21,220xab2()40，即 所以 ，所以椭圆离心率的取值范围是2ab2()cce,1)B C F EA D
