1、 学校代码： 11059 学 号：0807012051Hefei University毕 业 论 文 （ 设 计 ）BACHELOR DISSERTATION论文题目： 汽车保险的数学模型研究 学位级别： 理科学士 学科专业： 信息与计算科学 作者姓名： 陈明 导师姓名： 张霞 完成时间： 2012.5.14 汽 车 保 险 的 数 学 模 型 研 究中 文 摘 要保险业务是一个涉及社会心理、保费、赔偿费、返回额、宣传力度以及社会法律法规的十分复杂的系统。本文利用某保险公司在开展汽车保险业务中所积累的具体数值资料，综合考虑投保者心理、保费、赔偿金额、返回额以及宣传力度等因素，应用数理统计与数学
2、实验的方法，建立了一个汽车保险的简单实用的数学模型.在分析政府实施安全法规前,投保人人均所担负的事故赔偿费情况的基础上,再讨论实施安全法规后,投保人人均所担负的事故赔偿费情况.对所建立的数学模型进行求解分析,最后给出:如果人均所担负的赔偿费减少，则人均所担负的风险相应的变小，相应的投保人所交的保险费也应减少的合理结论.关键词：汽车保险；无赔款优待系统；精算模型 ；数学模型A Mathematical Model For Automobile InsuranceABSTRACTInsurance business is a related to social psychology, insura
3、nce cost, damages, to return to the forehead, propaganda and social law laws and regulations is very complex system.A concise and helpful mathematical model for automobile insurance is built is built up by means of statistics and mathematical experiment with authentic data drawn from the automobile
4、insurance practice of a certain insurance corporation. Factors considered include the insurant“s psychology, premiums, premiums, compensation coverage, return values and market promotion . On the analysis of the government to implement safety regulations before, policy-holder per capita allotted acc
5、ident compensation based on the situation and discuss to implement safety regulations, policy-holder per capita allotted accident compensation condition of the established mathematical model is solved by analysis, and finally gives: if the per capita allotted to reduce damages, the per capita allott
6、ed risk corresponding smaller, corresponding policy-holder place to pay insurance premium also should reduce the reasonable conclusion. KEY WORD: automobile；No-Claim-Discount；Actuarial Models；mathematical model目 录第 一 章 前 言 11.1 问 题 的 提 出 .21.2 无 赔 款 优 待 系 统 .21.3 国 内 外 研 究 现 状 .41.3.1 精 算 模 型 研 究 现
7、状 .41.3.2 NCD 系 统 研 究 现 状 .51.4 研 究 内 容 与 目 标 .7第 二 章 汽 车 保 险 的 数 学 模 型 .72.1 问 题 的 分 析 .72.2 模 型 假 设 .82.3 符 号 说 明 .82.4 模 型 建 立 .92.5 模 型 求 解 .12第 三 章 结 论 .143.1 计 算 结 果 比 较 .143.2 误 差 分 析 .183.3 模 型 评 价 .19参 考 文 献 19致 谢 .201第 一 章 前 言我 国 自 1980 年 国 内 保 险 业 务 恢 复 以 来 ， 汽 车 保 险 业 务 已 经 取 得 了 长 足的 进
8、步 ， 尤 其 是 伴 随 着 汽 车 进 入 百 姓 的 日 常 生 活 ， 汽 车 保 险 正 逐 步 成 为 与 人们 生 活 密 切 相 关 的 经 济 活 动 ， 其 重 要 性 和 社 会 性 也 正 逐 步 突 现 ， 作 用 越 加 明显 .从 目 前 经 济 发 展 发 展 情 况 看 ， 汽 车 工 业 已 成 为 我 国 经 济 健 康 、 稳 定 发 展的 重 要 动 力 之 一 ， 汽 车 产 业 政 策 在 国 家 产 业 政 策 中 的 地 位 越 来 越 重 要 ， 汽 车产 业 政 策 要 产 生 社 会 效 益 和 经 济 效 益 ， 要 成 中 国 经 济
9、 发 展 的 原 动 力 ， 离 不开 汽 车 保 险 与 之 配 套 服 务 .汽 车 保 险 业 务 自 身 的 发 展 对 于 汽 车 工 业 的 发 展 起到 了 有 力 的 推 动 作 用 ， 汽 车 保 险 的 出 现 ， 解 除 了 企 业 与 个 人 对 使 用 汽 车 过 程中 可 能 出 现 的 风 险 的 担 心 ， 一 定 程 度 上 提 高 消 费 者 购 买 汽 车 的 欲 望 ， 一 定 程度 扩 大 了 对 汽 车 的 需 求 .生 产 力 水 平 的 提 高 、 科 学 技 术 的 发 展 使 人 类 社 会 走 向 文 明 ， 汽 车 文 明在 给 人 们
10、生 活 以 交 通 便 利 的 同 时 ， 也 给 人 们 带 来 了 因 汽 车 运 输 中 的 碰 撞 、倾 覆 等 意 外 事 故 造 成 的 财 产 损 失 和 人 身 伤 亡 .不 仅 如 此 ， 随 着 生 产 力 水 平的 提 高 ， 科 学 技 术 的 进 步 ， 风 险 事 故 所 造 成 的 损 失 也 越 来 越 大 ， 对 人 及社 会 的 危 害 也 越 来 越 严 重 .机 动 车 辆 在 使 用 过 程 中 遭 受 自 然 灾 害 风 险 和 发 生意 外 事 故 的 概 率 较 大 ， 特 别 是 在 发 生 第 三 者 责 任 的 事 故 中 ， 其 损 失
11、赔 偿 是难 以 通 过 自 我 补 偿 的 .机 动 车 辆 保 险 是 现 代 社 会 处 理 风 险 的 一 种 非 常 重 要 的 手 段 ， 是 风 险 转 嫁中 一 种 最 重 要 、 最 有 效 的 技 术 ， 是 不 可 缺 少 的 经 济 补 偿 制 度 .目 前 ， 大 多 数 发 达 国 家 的 汽 车 保 险 业 务 在 整 个 财 产 保 险 业 务 中 占 有十 分 重 要 的 地 位 .美 国 汽 车 保 险 保 费 收 入 ， 占 财 产 保 险 总 保 费 的 45%左 右 ，占 全 部 保 费 的 20%左 右 .亚 洲 地 区 的 日 本 和 台 湾 汽
12、车 保 险 的 保 费 占 整 个 财 产保 险 总 保 费 的 比 例 更 是 高 达 58%左 右 .从 我 国 情 况 来 看 ， 随 着 积 极 的 财 政 政 策 的 实 施 ， 道 路 交 通 建 设 的 投 入越 来 越 多 ， 汽 车 保 有 量 逐 年 递 增 .在 过 去 的 20 年 ， 汽 车 保 险 业 务 保 费 收 入每 年 都 以 较 快 的 速 度 增 长 .在 各 保 险 公 司 中 ， 汽 车 保 险 业 务 保 费 收 入 占 其 财产 保 险 业 务 总 保 费 收 入 的 50%以 上 ， 部 分 公 司 的 汽 车 保 险 业 务 保 费 收 入
13、占其 财 产 保 险 业 务 总 保 费 收 入 的 60%以 上 .汽 车 保 险 业 务 已 经 成 为 财 产 保 险 公司 的 “吃 饭 险 种 ”.其 经 营 的 盈 亏 ， 关 系 到 整 个 财 产 保 险 行 业 的 经 济 效 益 .可 以 说 ， 汽 车 保 险 业 务 的 效 益 成 为 财 产 保 险 公 司 效 益 的 “晴 雨 表 ”.21.1 问 题 的 提 出已 知 某 汽 车 保 险 公 司 的 保 险 规 则 ， 即 ： 该 公 司 只 提 供 一 年 期 的 综 合 保 险单 ， 若 客 户 在 这 一 年 内 没 有 提 出 赔 偿 要 求 ， 则 给
14、予 额 外 补 助 ； 客 户 被 分 成0， 1， 2， 3 级 ， 新 客 户 属 于 0 级 ； 级 别 越 高 ， 从 保 险 费 中 得 到 的 回 扣 越多 ； 0,1,2,3 级 的 顾 客 若 在 一 年 中 未 发 生 索 赔 ， 0,1,2 级 则 在 下 一 年 续 保时 上 升 一 级 ， 3 级 的 顾 客 级 别 不 变 ； 若 发 生 事 故 索 赔 ， 则 在 下 一 年 续 保 时 ，2,3 级 的 下 降 两 级 ， 其 余 的 均 定 为 0 级 .客 户 不 论 是 由 于 自 动 终 止 保 险 还是 则 某 种 原 因 （ 例 如 事 故 死 亡 ）
15、 ， 保 险 公 司 将 退 还 保 险 金 的 适 当 部 分 .现 在 政 府 为 了 减 少 交 通 事 故 ， 参 考 其 他 城 市 的 做 法 ， 制 定 了 一 系 列 安 全法 规 .根 据 其 他 城 市 的 经 验 ， 实 行 安 全 法 规 以 后 ， 交 通 事 故 率 不 变 ， 但 相应 的 死 亡 的 司 机 减 少 40 ， 一 般 来 讲 医 疗 费 也 会 减 少 20 至 40 .问 题是 想 知 道 实 行 安 全 法 规 以 后 保 险 公 司 所 制 定 的 保 险 费 是 应 该 增 加 还 是 应 该 减少 ， 提 出 一 般 的 解 答 方 法
16、 并 运 用 已 知 的 该 公 司 在 某 一 年 的 保 险 数 据 来 验 证所 提 出 的 方 法 的 正 确 性 .1.2 无 赔 款 优 待 系 统保险很重要的一个原理就是公平公正地维护消费者的利益.如果影响风险的所有因素能够被观察并测量出且引入到费率厘定中，那么对被保险人而言，费率是完全公平的;让没有发生损失的被保险人分担发生了损失的被保险人的损失也没有什么不公平，这正是保险的原理.但是在商业保险中，利益共同体不应该导致“好的”被保险人固有的要为另一个“差的”被保险人买单这样一个局面.若保险人试图将这种“补贴利益共同体”强加于客户，他将会看到“好的”被保险人纷纷离去，而留下来的只
17、是一些“差的”被保险人了.事实上把影响风险的所有因素观察测量出来纳入到费率厘定中几乎是不可能的，比如超车欲望、反应敏捷性等变量均是不可能事先度量的先验变量，也就是不能保证保险人的风险的同质性，因此，在不能保证保单的同质性情况下，上述结论则不再成立.应允旬保人在一定时期内依据对被保险人的行为结果将其保费加以调整，这种依赖于被保险人个人及具体结果的费率调整系统，我们称之为无赔款优待系统(NCD:No 一 ClaimDiscount).在汽车保险中，大多数国家的保险人都实行了 NCD 系统，具体实施措施因3各国各地而异，如英国的七个等级制、瑞士 22 个等级制、香港地区六个等级制、中国大陆三个等级制
18、等等.在无赔款优待系统中，一个新的保险投保人在其投保的第一年中，必须以其所属组别的条件缴纳全额保险费，而以后保险费的支付便依赖于它自身的损失纪录.若出现索赔，则保单持有人在次年享受较小的折扣或不能享受优待，换句话说，他将被降至一个比原己有折扣要低的等级中去;另一方面，若无索赔纪录，则保单持有人在下一年度升入更高折扣率的级别组中去，若他己经达到了最高一级的级别，则将继续在该组内享受最高一级的优待折扣.用数学的语言概括之，NCD 系统可描述为 13，14 :(l)所有的被保险人分成有限个等级，被保险人的年保费只依赖于它所属的等级;(2)新投保的被保险人缴纳初始等级的保险费;(3)被保险人的续期保费
19、取决于他在上一个保险年度所属的等级和索赔次数;由此可见，NCD 系统即是被保险人上一保险年度的索赔经验调整他次年度续期保费.为了鼓励成绩好的保单持有人继续留在同一保险公司续保，近年来机动车辆保险中的无赔款优待系统概念得到了进一步地发展，早期的折扣率都很低，现在最高的已经达到了 60%.在实际应用中证明 NCD 系统具有一下的一些优点 13一 15:(1)它使每个投保人缴纳的保费更能真实地接近于个体风险，即被保险人缴纳的保险费体现了其真实的风险水平;(2)它在一定程度上减少了由于道德风险给保险人带来的损失，因为投保人最初对其自身风险水平的低估将会通过他的索赔纪录得到调整;(3)它可以鼓励被保险人
20、小心驾车，为了避免保费上的惩罚，司机们会尽量减少事故的发生，注意安全;(4)它可以降低小额赔付的发生，因为有的投保人为了避免保费上的惩罚，对于一些小额损失，不再去索赔，这样可以降低保险人索赔成本和管理费用，从而可以进一步降低保险费率.值得注意的是，尽管保险公司在应用 NCD 系统时有很多良好的愿望，但实际应用的 NCD 系统在区分不同风险水平的投保者方面力不从心，换言之，如果投保者 A 的索赔频率为 5%，投保者 B 的索赔频率为 10%，那么投保者 B 的保费应该是投保者 A 的 2 倍，但实际上，NCD 系统只让投保者 B 比投保者 A 多交很少一部分保费.虽然 NCD 系统简单易操作且有
21、很多优点，但对 NCD 系统持批评态度的也大有人在，主要有以下几个方面:4(1)破坏了投保者的经济稳定性.投保者购买保险的初衷是通过缴纳固定的保费将其不确定的随机风险转嫁给保险公司，但在应用 NCD 系统的条件下，投保者还得承担续期保费的变异性.(2)投保者之间的相互合作被削弱了.即幸运的投保者(没有发生保险事故的投保者)对不幸的投保者在保费缴付上的帮助被较弱了.(3)违背了大数定律.保险公司计算保险费率是所依赖的是大量保单的索赔经验，而不是个体保单的索赔经验，NCD 系统通过个体保单的索赔经验调整投保者的续期保费，显然是违背达数定律的.我们从实际例子中也可看到 NCD 系统并不能大幅度地改善
22、投保者的非均匀性，以至于保险公司实际上并不能收取更真实地反映单一风险的保费.大量的数据也表明，NCD 系统在区分不同风险水平的投保者方面的能力也是非常有限的，它的作用只能使避免小额赔款，就是在鼓励安全行车方面都难见到其成效.因此，有人认为 NCD 系统是“有组织地摈弃保险原则” ，然而，NCD 系统仍然得到投保人和保险人的青睐，而在各国的机动车辆保险中被广泛应用.1.3 国 内 外 研 究 现 状 111.3.1 精 算 模 型 研 究 现 状汽车保险精算属于非寿险精算的范畴.相对来讲，寿险精算源远流长，有百余年的历史，理论体系比较完善，应用也相当成熟，具有很多规范化的操作程序;非寿险精算起步
23、较晚，目前还处于探索阶段，其应用在很大程度上还依赖于精算师个人的判断.当然，非寿险精算发展远远迟于寿险精算的一个重要原因是其数量分析更为复杂.非寿险精算保单持有人可能蒙受数种损失和在一定时期内遭受数次损失，且受剧烈变化的经济环境的影响，非寿险精算保单总是频繁续保，其风险多数情况下都存在不均匀性等等都使得风险估测分析变得复杂而又困难.精算师在厘定保费过程中需要考虑的两个十分重要的因素就是保单的索赔次数和索赔额.根据保单组合索赔频率的不同分为同质风险组合的索赔次数模型和非同质风险组合的索赔次数模型.同质风险模型主要是泊松模型，对于非同时多车辆相撞事故发生的情况，泊松模型的有以下几个特性 12:(1
24、) 个相互独立且参数分别为 i的泊松随机变量之和仍然服从泊松分布，m参数为 .但这并不意味着 个相互独立的同质胜保单组合的集体其索赔次1im5数仍服从泊松分布，因为若这 个同质性保单组合的索赔频率不相等，那么这m个保单集体就是非同质性的.(2)均值和方差都等于索赔频率 ，偏度系数 随着 的增大逐渐减小，其中: .1现实中多车辆相撞事故时有发生，在这种情况下，用泊松模型来描述是不精确的，王成勇等 7对泊松模型进行了推广，给出了一个新的模型簇生点过程模型，用概率母函数为工具，给出了 内理赔总量的均值与方差.王成勇,ot等 8还对广义泊松过程模型用鞍分析方法证明了其破产概率的 Lunderg 不等式
25、.所谓非同质性是指保单组合中每份保单的索赔次数频率不相同.在保险实践中，尽管大多数险种都对保险人根据某些先验变量进行了分组，而且在选择这些先验变量时希望他们能尽可能地反映被保险人的风险水平.但任何先验变量总是有一定缺陷的.因此，被划入同一组的保单仍然不可避免地存在某种程度的非同质性，这就使得泊松模型失去了应用的前提.常用的非同质风险次数模型主要有:负二项分布模型、泊松逆高斯模型、二元风险模型、三元风险模型、二项贝塔分布模型、负二项贝塔分布模型等等.孟生旺 12不但讨论了这些保单组合的精算模型的均值、方差、偏度系数等，对于相关性保单组合利用概率母函数方法分别讨论了当每次事故引发的索赔次数 服从对
26、数分布、泊松分布、iM二项分布、负二项分布以及截尾负二项分布情况下的均值、方差、偏度系数等性质.在某些险种中，保单的索赔之间有一定的传染性，也就是说，一次索赔的发生可能会增加(或减少)下次发生索赔的可能性.传染的形势多种多样，孟生旺2讨论了索赔频率之间存在线性传染关系的情况.索赔次数模型是多种多样的，而索赔次数模型的选择往往依赖于数据的具体形式一般而言，提供的数据越丰富，所能拟合的模型就越复杂，拟合效果就越好.常见的索赔额模型分布模型主要有指数分布、伽玛分布、对数正态分布、Pareto 分布、广义 Pareto 分布、weibull 分布、对数伽玛分布、变换伽玛分布等2，孟生旺 2讨论了通货膨
27、胀对索赔额模型的影响.1.3.2 NCD 系 统 研 究 现 状自保险公司采用 NCD 以来，精算师们就没有停止过对 NCD 的研究.在理6论上，主要表现在两个方面:一方面是基于索赔次数的 NCD 理论研究;另一方面是同时考虑索赔大小的 NCD 理论研究.而且，在基于索赔次数的 NCD 理论研究中也包括两大级:一级是只利用后验信息的 NCD 研究;另一级是同时考虑先验信息的 NCD 理论研究.同样，考虑索赔大小的 NCD 的研究也包括这两级.相对于基于索赔次数的 NCD，有关考虑索赔大小的 NCD 的研究要少的多.在下面内容里，我们将分两个方面来综述.(1)基于索赔次数的 NCD 的理论研究早
28、在 1962 年，Marcel 就开始了无赔款优待问题的研究，并用期望索赔次数创建了无赔款折扣费率表.在 1964 年，Bichsel 和 Buhlinann 等系统地提出了期望值保费原理，也就是每个投保人所缴纳的保费与他的未知索赔次数成正比.后来， Jean Lemaire 在假设投保人的索赔次数服从负二项分布的基础上，根据期望值原理和 Gerber 提出的指数效用原理，创建了奖惩系数表.因为 Lemaire 当时利用的是每个投保人未知索赔次数的估计值，而不是他的真实索赔次数，因此，在实际操作时，往往会给保险公司带来损失.在设计这个 NCD 时，Lemaire 利用的索赔次数的估计值是一个最
29、优估计值，也就是使得保险公司损失最小时索赔次数的估计值.十多年以后，Lmaire 又用平方差损失函数和期望值保费计算原理，以及用负二项分布作为索赔频率的拟合分布函数获得了一个最优 NCD.而 Tremblay 在 1992 年用平方差损失函数和零效用保费计算原理，以及用泊松逆高斯分布为索赔频率的拟合分布函数获得了一个最优 NCD.再后来，J.F.Walhin 和 J.Paris 仍然根据期望值原理和零效用原理，假设索赔次数服从非参数分布模型创建了最有奖惩系统，同时他们还将其与参数复合分布下的 NCD做了比较.在国内，有关 NCD 的研究主要是基于后验信息，对此做出主要贡献的是孟生旺 12，在文
30、献12中，孟生旺根据期望值原理、半方差原理、方差原理、标准差原理、零效用原理等，同时假设索赔次数服从混合负二项模型、二项贝塔模型，以及其他复合泊松模型，比较系统地创建了一系列最优 NCD.另外考虑到投保人风险的过分发散，孟生旺和袁卫 3利用负二项帕雷托分布创建了最优 NCD.以上这些工作，虽然采用了不同的定价原理，同时做了不同损失分布的假设，产生了不同效果的奖惩系统，但是他们的基本原理相同，都是基于后验信息索赔次数的 NCD.当然，在基于索赔次数的 NCD 的理论研究领域中，还有很多人做了不少工作，如 Jean Pinquet 研究了有无过失事故的 NCD 等.(2)考虑索赔大小的 NCD 的理论研究虽 然 精 算 师 们 早 就 认 识 到 了 基 于 索 赔 次 数 的 NCD 的 不 足 ， 但 是 ， 到目 前 为 止 ， 有 关 考 虑 索 赔 大 小 的 NCD 的 研 究 工 作 还 是 比 较 少 .这 当 然 与 基
