2018年广东省中山市高三上学期期末考试数学（理）试题（PDF版）.rar

页 1 第中山市高三级 2017—2018 学年度第一学期期末统一考试数学（理科）参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D B C B B D A D B D13. 725 14. 17 15. 6 16. 1,417.解：（Ⅰ）设公差为 d，则 11154522adad，∴ 1 3ad， ．[来源: Z,X,X,K]∴ na的通项公式为 3n． …………3 分（Ⅱ）312nS，28737nSn， 43na；则原不等式等价于91k对所有的正整数 都成立．∴当 n为奇数时，n； 当 n为偶数时，91kn恒成立…6 分又∵917，当且仅当 3时取等号，所以当 n为奇数时，91n的最小值为 7，当 为偶数时， 4时， n的最小值为294，∴不等式对所有的正整数 n都成立时，实数 k的取值范是7k…………10 分18．解:（Ⅰ）在三角形中，∵ 1cos3B，∴ 2si3． ………………2 分在 AD中，由正弦定理得 iniADB，又 2B， 4， 2s3．∴ 83． ………………5 分（Ⅱ）∵ C，∴ ABDCS， ABDCS，又 23ADS，∴ 2， ………………7 分∵ 1sinBC，∴ 6，在 中，由余弦定理得 22cosACBABC．页 2 第∴ 42AC， ………………9 分∵ 1sinBDSBAD， 1sin2CSADC，且 AC，∴ sin24 ………………12 分19． 解: (1)由弧长计算及扇环面的周长为 30 米，得301(0)x，所以 102x， 10……3 分(2) 花坛的面积为 2 25()5,()x x．………5 分装饰总费用为 9108170x， …………………………7 分所以花坛的面积与装饰总费用的比220==1(7)xxy， …………9 分令 17tx，则 343()1010yt，当且仅当 t=18 时取等号，此时 12,x．答：当 x＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………12 分(注：对 y也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)20． 解：(1) 根据题意，学员 (1)，(2)，(4)，(6)，(9) 恰有两项不合格，从中任意抽出 2 人，所有可能的情况如下：学员编号 补测编号 项数(1)(2) ②③⑤ 3(1)(4) ②③④⑤ 4(1)(6) ③④⑤ 3(1)(9) ①③⑤ 3(2)(4) ②④⑤ 3(2)(6) ②③④⑤ 4(2)(9) ①②⑤ 3(4)(6) ②③④ 3(4)(9) ①②④⑤ 4(6)(9) ①③④⑤ 4由表可知，全部 10 种可能的情况中，有 6 种情况补测项数不超过 3，故所求概率为 ＝ ． ………………6 分610 35页 3 第z yxGAEPCDBF(2)由题意可知，该学员顺利完成每 1 轮测试( 或补测)的概率为 1×1×1× × ＝ ．91023 35①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与 3 次补测均未能完成 5 项测试，相应概率为 42()5＝ ．16625故学员能通过“科二” 考试的概率为 1－ ＝ ． ………………9 分16625 609625②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第 1 轮补测时 X＝150，其他情况时均有X＝450 ，而 P(X＝150)＝ ＋ × ＝ ，故 X 的分布列为35 2535 2125X 150 450P 2125 425故 E(X)＝150× ＋450× ＝126＋72＝198(元) ． ………………12 分2125 42521． 解：（1）∵底面 ABCD是菱形，∴ /ABCD，又∵ 面 P， 面 P，∴ /面 ，又∵ ， ， E， F四点共面，且平面 EF平面 PCEF，∴ /AB； ………………4 分（2）取 D中点 G，连接 P， B，∵ AD，∴ GA，又∵平面 平面 AC，且平面 平面 B，∴ P平面 ，∴ ， ………………5 分在菱形 B中，∵ ， 60， 是 中点，∴ ADG， ………………6 分如图，建立空间直角坐标系 xyz，由 2AD，得 (0,)， (1,0)， (,30)B(2,)C，， P，又∵ /ABEF，点 是棱 中点，∴点 是棱 D中点，∴ 3(1,)2， 1(,0)2，页 4 第3(,0)2AFur, 13(,0)2EFur，设平面 的法向量为 (,)nxyzr，则有 0nAFEru，∴3zxy， 不妨令 3x，则平面 AFE的一个法向量为 (3,)r， …………9 分∵ BG平面 PD，∴ (0,)GBur是平面 PAF的一个法向量，……10 分∵ 61cos, 392nrr， ………………11 分∴平面 PAF与平面 E所成的锐二面角的余弦值为 1．………………12 分22．解：（1）因为(1)02af，所以 2，此时2()ln,0fxx，1() ()xfx 由 ()0f，得 21，又 0，所以 ．所以 f的单调减区间为 1,．………………3 分（2）方法一：令2()1)ln()gxfaxax-(，所以21()()xx．当 0a时，因为 0，所以 (0g．所以 ()gx在 ,)上是递增函数，又因为213ln()120aa，所以关于 x的不等式 )fx不能恒成立．当 0a时，2 1()(1)()axagx，令 ()x，得 a．页 5 第所以当1(0,)xa时， ()0gx；当1(,)a时， ()0gx，因此函数 ()在,是增函数，在(,x是减函数．故函数 ()gx的最大值为2111()ln())ln2gaaa．令l2ha，因为1()0，1()ln204，又因为 ()ha在 (0,)是减函数．所以当 2a≥ 时， h．所以整数 的最小值为 2． ………………8 分方法二：（2）由 ()1fxa≤ 恒成立，得21ln1xax≤在 (0,)上恒成立，问题等价于2lx≥在 (0,)上恒成立．令2ln1()xg，只要 max()g≥ ．因为2()ln1xg，令 ()0gx，得1ln02x．设()ln2hxx，因为1()h，所以 ()h在 ,)上单调递减，不妨设1l0的根为 0．当 0(,)x时， ()gx；当 0(,)x时， ()0gx，所以 在 0,上是增函数；在 ,上是减函数．页 6 第所以00max021ln2()()1()xxg．因为1()l24h，()h所以 0x，此时 012x，即 max()1,2)g．所以 2a≥ ，即整数 a的最小值为 2． ………………8 分（3）当 时， ()ln,fxx由 121()0f，即221112lln0xx从而 222()()xxx 令 12t，则由 ()lntt得，t可知， ()在区间 0,1上单调递减，在区间 (1,)上单调递增．所以 t≥ ， 所以212(xx≥，因此 1251x≥成立． ………………12 分高 三 （ 理 科 ） 数 学 试 卷 第 1页 （ 共 6 页 ）中 山 市 高 三 级 2017—2018 学 年 度 第 一 学 期 期 末 统 一 考 试数 学 试 卷 （ 理 科 ）本 试 卷 满 分 150 分 ． 考 试 用 时 120 分 钟 ．注意事项：1、 答 卷 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 统 考 考 号 、 座 位 号 写 在 答 题 卡 上 .2、 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 如 需 改 动 ， 用橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 它 答 案 ， 不 能 答 在 试 题 上 .3、 不 可 以 使 用 计 算 器 .4、 考 试 结 束 ， 将 答 题 卡 交 回 ， 试 卷 不 用 上 交 .第Ⅰ卷（选择题共60分）一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1． 已 知 集 合 },2|{ 2 RxxxxA  ， },1{ mB  ， 若 BA ， 则 m的 值 为 ( )A ． 2 B． 1 C． 1 或 2 D． 2 或 22． 若 复 数 12 aiz i  （ i 是 虚 数 单 位 ） 为 纯 虚 数 ， 则 实 数 a的 值 为 ( )A． 2 B． 12 C． 12 D． 23． 已 知 实 数 22 11 31 1log 3, + , log 30a b x dx cx     ，则 , ,a b c 的 大 小 关 系 是 ( )A． a b c  B． a c b C． c a b  D． c b a 4． 阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 结 果 s的 值 为 ( )A． 0 B． 32 C． 3 D． 32 题 4 图高 三 （ 理 科 ） 数 学 试 卷 第 2页 （ 共 6 页 ）5． 若 ,x y 满 足 42 2 00x yy xy       , 2z x y 若 ， 则 z 的 最 大 值 是 ( )A． 1 B． 4 C． 6 D． 86． 李 冶 （ 1192--1279 ） ， 真 定 栾 城 （ 今 属 河 北 石 家 庄 市 ） 人 ， 金 元 时 期 的 数 学 家 、 诗 人 ，晚 年 在 封 龙 山 隐 居 讲 学 ， 数 学 著 作 多 部 ， 其 中 《 益 古 演 段 》 主 要 研 究 平 面 图 形 问 题 ：求 圆 的 直 径 、 正 方 形 的 边 长 等 ． 其 中 一 问 ： 现 有 正 方 形 方 田 一 块 ， 内 部 有 一 个 圆 形 水池 ， 其 中 水 池 的 边 缘 与 方 田 四 边 之 间 的 面 积 为 13． 75 亩 ， 若 方 田 的 四 边 到 水 池 的 最近 距 离 均 为 二 十 步 ， 则 圆 池 直 径 和 方 田 的 边 长 分 别 是 （ 注 ： 240 平 方 步 为 1 亩 ， 圆 周率 按 3 近 似 计 算 ） ( )A． 10 步 ， 50 步 B． 20 步 ， 60 步C． 30 步 ， 70 步 D． 40 步 ， 80 步7． 若 二 项 式 *(3 ) ( )nx n N  中 所 有 项 的 系 数 之 和 为 a ， 所 有 项 的 系 数 的 绝 对 值 之 和 为b ， 则 b aa b 的 最 小 值 为 ( )A． 2 B． 52 C． 136 D． 928． 已 知 函 数  f x 与  f x 的 图 象 如 下 图 所 示 ， 则 函 数    xf xg x e 的 递 减 区 间 为 ( )A．  0,4 B．   4,1 , ,43    C． 40, 3    D．    0,1 , 4,9． 已 知 身 穿 红 、 黄 两 种 颜 色 衣 服 的 各 有 两 人 ， 身 穿 蓝 颜 色 衣 服 的 有 一 人 ， 现 将 这 五 人 成一 行 ， 要 求 穿 相 同 颜 色 衣 服 的 人 不 能 相 邻 ， 则 不 同 的 排 法 共 有 ( )A． 48 种 B． 72 种C． 78 种 D． 84 种高 三 （ 理 科 ） 数 学 试 卷 第 3页 （ 共 6 页 ）A 1D 1CD C1B B1A EF.10． 在 正 方 体 1 1 1 1ABCD ABC D 中 ， E 是 棱 1CC 的 中 点 ， F 是 侧 面 1 1BCC B 内 的 动 点 ，且 1 / /AF 平 面 1D AE ， 则 1AF 与 平 面 1 1BCC B 所 成 角 的 正 切 值 t构 成 的 集 合 是 ( )A． 2 5 2 35t t       B． 2 5 25t t      C．  2 2 3t t  D．  2 2 2t t 11． 已 知 1 13 k  ， 函 数 ( ) 2 1xf x k   的 零 点 分 别 为 1 2,x x  1 2x x ， 函 数( ) 2 1 2 1x kg x k    的 零 点 分 别 为 3 4,x x  3 4x x ， 则 4 2 3 1( )x x x x   的 最 小值 为 ( )A． 1 B． 2log 3 C． 2log 6 D． 312． 已 知 函 数 2( ) 3sin cos 4cosf x x x x    ( 0  )， 其 周 期 为  ， 1( ) 2f   ， 则( ) ( )2 4f f     ( )A． 52 B． 92 C． 112 D． 132第Ⅱ卷（非选择题共90分）二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 .请 将 答 案 填 在 答 题 卡 对 应 题 号 的位 置 上 。 答 错 位 置 ， 书 写 不 清 ， 模 棱 两 可 均 不 得 分 .13． 已 知   2sin,54)4cos( 则14． 已 知 (1, 2), (0,2)   a a b ， 则 | |b ____________15． 某 班 运 动 队 由 足 球 队 员 18 人 、 篮 球 运 动 员 12 人 、 乒 乓 球 运 动 员 6 人 组 成 （ 每 人 只参 加 一 项 ） ， 现 从 这 些 运 动 员 中 抽 取 一 个 容 量 为 n 的 样 本 ， 若 分 别 采 用 系 统 抽 样 和分 层 抽 样 法 ， 则 都 不 用 剔 除 个 体 ； 当 样 本 容 量 为 1n 时 ， 若 采 用 系 统 抽 样 法 ， 则 需要 剔 除 1 个 个 体 ， 那 么 样 本 容 量 n为高 三 （ 理 科 ） 数 学 试 卷 第 4页 （ 共 6 页 ）16． 数 列  na 的 前 n项 和 为 nS ， 已 知 1 15a  ， 且 对 任 意 正 整 数 ,m n， 都 有 m n m na a a  ，若 对 任 意 *n N ， nS t 恒 成 立 ， 则 实 数 t的 取 值 范 围 是三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17． （ 本 小 题 满 分 10 分 ）设 等 差 数 列  na 的 前 项 和 为 nS ， 且 5 5 6 25S a a   ．（ I） 求  na 的 通 项 公 式 ；（ II） 若 不 等 式    2 8 27 1 4nn nS n k a     对 所 有 的 正 整 数 n都 成 立 ， 求 实 数 k 的取 值 范 围 ．18． （ 本 小 题 满 分 12 分 ）如 图 ， 在 ABC 中 ， 2AB  ， 1cos 3B  ， 点 D在 线 段 BC上 ．（ I） 若 34ADC   ， 求 AD 的 长 ；（ II） 若 2BD DC ， ACD 的 面 积 为 4 23 ， 求 sinsin BADCAD 的 值 ．高 三 （ 理 科 ） 数 学 试 卷 第 5页 （ 共 6 页 ）19． （ 本 小 题 满 分 12 分 ）某 单 位 拟 建 一 个 扇 环 面 形 状 的 花 坛 (如 图 所 示 )， 该 扇 环 面 是 由 以 点 O 为 圆 心 的 两 个 同心 圆 弧 和 延 长 后 通 过 点 O 的 两 条 直 线 段 围 成 ． 按 设 计 要 求 扇 环 面 的 周 长 为 30 米 ， 其 中 大圆 弧 所 在 圆 的 半 径 为 10 米 ． 设 小 圆 弧 所 在 圆 的 半 径 为 x米 ， 圆 心 角 为  （ 弧 度 ） ．（ I） 求  关 于 x的 函 数 关 系 式 ；（ II） 已 知 在 花 坛 的 边 缘 (实 线 部 分 )进 行 装 饰 时 ， 直 线 部 分 的 装 饰 费 用 为 4 元 /米 ，弧 线 部 分 的 装 饰 费 用 为 9 元 /米 ． 设 花 坛 的 面 积 与 装 饰 总 费 用 的 比 为 y ， 求 y 关 于 x的 函数 关 系 式 ， 并 求 出 x为 何 值 时 ， y 取 得 最 大 值 ？20． （ 本 小 题 满 分 12 分 ）某 市 小 型 机 动 车 驾 照 “ 科 二 ” 考 试 中 共 有 5 项 考 查 项 目 ， 分 别 记 作 ① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ ．（ I） 某 教 练 将 所 带 10 名 学 员 “ 科 二 ” 模 拟 考 试 成 绩 进 行 统 计 (如 表 所 示 )， 并 计 算 从恰 有 2 项 成 绩 不 合 格 的 学 员 中 任 意 抽 出 2 人 进 行 补 测 (只 测 不 合 格 的 项 目 )， 求 补 测 项 目 种类 不 超 过 3（ ≤ 3） 项 的 概 率 ．学 员 编 号 项 目 ① ② ③ ④ ⑤（ 1） T T T（ 2） T T T（ 3） T T T T（ 4） T T T（ 5） T T T T（ 6） T T T（ 7） T T T T（ 8） T T T T T（ 9） T T T（ 10） T T T T T注 ： “ T” 表 示 合 格 ， 空 白 表 示 不 合 格高 三 （ 理 科 ） 数 学 试 卷 第 6页 （ 共 6 页 ）（ II） “ 科 二 ” 考 试 中 ， 学 员 需 缴 纳 150 元 的 报 名 费 ， 并 进 行 1 轮 测 试 (按 ① ， ② ，③ ， ④ ， ⑤ 的 顺 序 进 行 )； 如 果 某 项 目 不 合 格 ， 可 免 费 再 进 行 1 轮 补 测 ； 若 第 1 轮 补 测 中仍 有 不 合 格 的 项 目 ， 可 选 择 “ 是 否 补 考 ” ； 若 补 考 则 需 缴 纳 300 元 补 考 费 ， 并 获 得 最 多 2轮 补 测 机 会 ， 否 则 考 试 结 束 ； 每 1 轮 补 测 都 按 ① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ 的 顺 序 进 行 ， 学 员 在任 何 1 轮 测 试 或 补 测 中 5 个 项 目 均 合 格 ， 方 可 通 过 “ 科 二 ” 考 试 ， 每 人 最 多 只 能 补 考 1次 ． 某 学 员 每 轮 测 试 或 补 测 通 过 ① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ 各 项 测 试 的 概 率 依 次 为 1,1,1， 910，23， 且 他 遇 到 “ 是 否 补 考 ” 的 决 断 时 会 选 择 补 考 ．① 求 该 学 员 能 通 过 “ 科 二 ” 考 试 的 概 率 ；② 求 该 学 员 缴 纳 的 考 试 费 用 X 的 数 学 期 望 ．21． （ 本 小 题 满 分 12 分 ）如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD是 菱 形 ， 且 120ABC  ． 点 E 是 棱PC 的 中 点 ， 平 面 ABE 与 棱 PD交 于 点 F ．（ I） 求 证 ： / /AB EF ；（ II） 若 2PA PD AD   ， 且 平 面 PAD 平面 ABCD， 求 平 面 PAF 与 平 面 AFE 所 成 的 锐 二 面 角的 余 弦 值 ．22． （ 本 小 题 满 分 12 分 ）己 知 函 数 21( ) ln ,2f x x ax x a R   （ I） 若 (1) 0f  ， 求 函 数 ( )f x 的 单 调 递 减 区 间 ；（ II） 若 关 于 x 的 不 等 式 ( ) 1f x ax  恒 成 立 ， 求 整 数 a的 最 小 值 ；（ Ⅲ ） 若 2a  ， 正 实 数 1 2,x x 满 足 1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x   ，证 明 : 1 2 5 12x x   ．