1、2018 届广东省中山市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，若 ，则 的值为（ ）A. 2 B. -1 C. -1 或 2 D. 2 或【答案】A【解析】解：由题意可知： ，则满足题意时， .本题选择 C 选项.2. 若复数 （是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）A. 2 B. C. D. -2【答案】A【解析】由题意，令 ，则 ，则 解得 ，故选 A3. 一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人
2、之中” ，乙说：“我没有作案，是丙偷的” ，丙说：“在甲和乙中有一个人是罪犯” ，丁说：“乙说的是事实” ，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B【解析】由题意可以看出乙、丁两人的观点是一致的，乙、丁两人的供词应该是同真或同假若乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，显然这两个结论是相互矛盾的 ，乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯选 B4. 阅读如图所示的程序
3、框图，输出的结果的值为（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】B【解析】执行循环得 ，结束循环，输出 ，选 B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 若 满足 ，若 ，则的最大值是（ ）A. 1 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】作可行域如图，则直线 过点 A(2,2)时取最大值 6，选 C.6. 李冶（1192-1279） ，真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在
4、封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等. 其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为 13.75 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算） （ ）A. 10 步，50 步 B. 20 步，60 步 C. 30 步，70 步 D. 40 步，80 步【答案】B【解析】设圆池的半径为步，则方田的边长为 步，由题意，得 ，解得或 （舍） ，所以圆池的直径为 20 步，方田的边长为 60 步，故选 B点睛：求解数学文化试
5、题主要分三步完成：（1）理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义；（2）联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题；（3）利用数学知识求解，并回答求解的问题7. 已知实数 ， ， ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ；又 ， ，即 选 B点睛：比较大小的常用方法（1）构造函数，判断出函数的单调性，让所要比较大小的数在同一单调区间内，然后利用单调性进行比较（2）作差与零比较，即 （3）作商与 1 比较，即 8. 已知函数 与 的图像如图所示，则函数 的递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ，令 即 ，由图可得
6、，故函数单调减区间为 ，故选 D.考点：利用导数研究函数的单调性.9. 函数 的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由函数 得： 知函数是偶函数，其图象关于愿点对称，故排除 A；当 x 从大于零变到零的过程中，函数值 y ,故排除 B；当 x 时， ，排除 C；故选 D考点：函数的图象10. 在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则与平面 所成角的正切值构成的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 轨迹为线段 MN,其中 M，N 分别为 中点，所以 与平面 所成角的正切值范围为 ,选 D.11. 已知 ，函数 的零点分别为
7、 ，函数 的零点分别为 ，则 的最小值为（ ）A. 1 B. C. D. 3【答案】B【解析】试题分析：由题意知： ， ， ， ， ， ， ，又 ， ， ， 的最小值为 .考点：函数零点.12. 已知函数 ，其周期为 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 其中 ，所以，因为 ，所以，选 D.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的
8、目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，则 _【答案】【解析】 14. 已知 ， ，则 _【答案】【解析】 .【答案】6【解析】n 为 18+12+6=36 的正约数，因为 18：12：6=3：2：1，所以 n 为 6 的倍数，因此 因为当样本容量为 时，若采用系统抽样法，则需要剔除 1 个个体，所以 n+1 为 35 的正约数，因此16. 数列 的前 项和 ，已知 ，且对任意正整数 ，都有 ，若对任意 ， 恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为 ，所以实
9、数的取值范围是点睛：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 恒成立， 恒成立 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设等差数列 的前 项和 ，且 .（1）求 的通项公式；（2）若不等式 对所有的正整数 都成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得 (2)先化简不等式： ，再分奇偶讨论：当 为奇数时，； 当 为偶数时， ，最后根据基本不等式以及数列单调性确定实数 的取值范围.试题解析：（）设公差为 ，
10、则 ， 的通项公式为 （） ， ， ；则原不等式等价于 对所有的正整数 都成立当 为奇数时， ； 当 为偶数时， 恒成立又 ，当且仅当 时取等号，所以当 为奇数时， 的最小值为 7，当 为偶数时， 时， 的最小值为 ，不等式对所有的正整数 都成立时，实数 的取值范是18. 如图，在 中， ， ，点 在线段 上 .（1）若 ，求 的长；（2）若 ， 的面积为 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（）首先利用同角三角函数间的基本关系求得 的值，然后利用正弦定理即可求得 的长；（）首先三角形面积间的关系求得 ，然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值试题解析：（I）在三角形
11、中， ， 2 分在 中，由正弦定理得 ，又 ， ， 5 分（II） ， ， ，又 ， ，7 分 ， ， ， ， ，9 分在 中，由余弦定理得 ， 12 分考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示） ，该扇环面是由以点 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米，设小圆弧所在圆的半径为 米，圆心角为 （弧度）.（1）求关于 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰
12、费用为 9 元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为 ，求 关于 的函数关系式，并求出 为何值时， 取得最大值？【答案】 （1） ， ；（2）当 x时，花坛的面积与装饰总费用的比最大【解析】试题分析：（1）根据已知条件，将周长 米为等量关系可以建立 满足的关系式，再由此关系式进一步得到函数解析式： ，即可解得 ；（2）根据题意及（1）可得花坛的面积为 ，装饰总费用为，因此可得函数解析式 ，而要求 的最大值，即求函数 的最大值，可以考虑采用换元法令 ，从而，再利用基本不等式，即可求得 的最大值： ，当且仅当， 时取等号，此时 ， ，因此当 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.试题解析：（1）扇环的
13、圆心角为，则 ， ， 3 分（2）由（1）可得花坛的面积为 ， 6 分装饰总费用为 ， 8 分花坛的面积与装饰总费用的 ， 10 分令 ，则 ，当且仅当 ， 时取等号，此时 ， ， 12 分答：当 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 13 分考点：1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.20. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有 5 项考查项目，分别记作，.（1）某教练将所带 10 名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示） ，并计算从恰有 2 项成绩不合格的学员中任意抽出 2 人进行补测（只测不合格的项目） ，求补测项目种类不超过 3（ ）项的概率.（2）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向 ，在汽车边缘不压射线 与射线 的前提下，将汽车驶入指定的停车位，根据经验，学员甲转向 后可使车尾边缘完全落在线段 上，且位于内各处的机会相等，若 ， . 汽车宽度为 ，求学员甲能按教练要求完成任务的概率.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）一共有五个人两项不合格，任取两人， 种可能的情况中,有 种情况补测项数不
