1、2018 届广东省中山市高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，若 ，则 的值为（ ）A. 2 B. -1 C. -1 或 2 D. 2 或【答案】A【解析】解：由题意可知： ，则满足题意时， .本题选择 C 选项.2. 若复数 （是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）A. 2 B. C. D. -2【答案】A【解析】由题意，令 ，则 ，则 解得 ，故选 A3. 已知实数 ， ， ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为
2、，所以 ，.所以 .故选 D.4. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】B【解析】执行循环得 ，结束循环，输出 ，选 B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 若 满足 ，若 ，则的最大值是（ ）A. 1 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】作可行域如图，则直线 过点 A(2,2)时取最大值 6，选 C.6. 李冶（1192-1279） ，真实栾城
3、（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等. 其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为 13.75 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算） （ ）A. 10 步，50 步 B. 20 步，60 步 C. 30 步，70 步 D. 40 步，80 步【答案】B【解析】设圆池的半径为步，则方田的边长为 步，由题意，得 ，解得或 （舍） ，所以圆池的直径为 20 步
4、，方田的边长为 60 步，故选 B点睛：求解数学文化试题主要分三步完成：（1）理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义；（2）联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题；（3）利用数学知识求解，并回答求解的问题7. 若二项式 中所有项的系数之和为 ，所有项的系数的绝对值之和为 ，则 的最小值为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：令 ，可求得 ；令 ，可求得 ；所以 ，令，所以 ，故应选 .考点：1.二项式定理；2、函数的最值；视频8. 已知函数 与 的图像如图所示，则函数 的递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ，令
5、即 ，由图可得 ，故函数单调减区间为 ，故选 D.考点：利用导数研究函数的单调性.9. 已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）A. 48 种 B. 72 种 C. 78 种 D. 84 种【答案】A【解析】试题分析：先将穿红衣服的两人排定有 种排法；再将穿黄衣服的两人插空有 种排法；最后将穿蓝衣服的人插入有四种插法,由分布计数原理共有 种排法,应选 A.考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.视频10. 在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则与平面 所成角的正切值构成的集
6、合是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 轨迹为线段 MN,其中 M，N 分别为 中点，所以 与平面 所成角的正切值范围为 ,选 D.11. 已知 ，函数 的零点分别为 ，函数 的零点分别为 ，则 的最小值为（ ）A. 1 B. C. D. 3【答案】B【解析】试题分析：由题意知： ， ， ， ， ， ， ，又 ， ， ， 的最小值为 .考点：函数零点.12. 已知函数 ，其周期为 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 其中 ，所以，因为 ，所以，选 D.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角
7、函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，则 _【答案】【解析】 14. 已知 ， ，则 _【答案】【解析】 【答案】6【解析】n 为 18+12+6=36 的正约数，因为 18：12：6=3：2：1，所以 n 为 6 的倍数，因此 因为当样本容量为 时，若采用系统抽样法，则需要剔除 1 个
8、个体，所以 n+1 为 35 的正约数，因此【答案】【解析】因为 ，所以实数的取值范围是点睛：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 恒成立， 恒成立 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设等差数列 的前 项和 ，且 .（1）求 的通项公式；（2）若不等式 对所有的正整数 都成立，求实数 的取值范围.【答案】 （） （）【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得 (2)先化简不等式： ，再分奇偶讨论：当 为奇数时，； 当 为偶数时， ，最后根据基本
9、不等式以及数列单调性确定实数 的取值范围.试题解析：（）设公差为 ，则 ， 的通项公式为 （） ， ， ；则原不等式等价于 对所有的正整数 都成立当 为奇数时， ； 当 为偶数时， 恒成立又 ，当且仅当 时取等号，所以当 为奇数时， 的最小值为 7，当 为偶数时， 时， 的最小值为 ，不等式对所有的正整数 都成立时，实数 的取值范是18. 如图，在 中， ， ，点 在线段 上 .（1）若 ，求 的长；（2）若 ， 的面积为 ，求 的值.【答案】 （） （） 【解析】试题分析：（）首先利用同角三角函数间的基本关系求得 的值，然后利用正弦定理即可求得 的长；（）首先三角形面积间的关系求得 ，然后利
10、用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值试题解析：（I）在三角形中， ， 2 分在 中，由正弦定理得 ，又 ， ， 5 分（II） ， ， ，又 ， ，7 分 ， ， ， ， ，9 分在 中，由余弦定理得 ， 12 分考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示） ，该扇环面是由以点 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米，设小圆弧所在圆的半径为 米，圆心角为 （弧度）.（1）求关于 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部
11、分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为 ，求 关于 的函数关系式，并求出 为何值时， 取得最大值？【答案】(1) ， (2) 见解析【解析】试题分析：（1）根据已知条件，将周长 米为等量关系可以建立 满足的关系式，再由此关系式进一步得到函数解析式： ，即可解得 ；（2）根据题意及（1）可得花坛的面积为 ，装饰总费用为，因此可得函数解析式 ，而要求 的最大值，即求函数 的最大值，可以考虑采用换元法令 ，从而，再利用基本不等式，即可求得 的最大值： ，当且仅当， 时取等号，此时 ， ，因此当 时，花坛的面积与装饰总费用的比
12、最大.试题解析：（1）扇环的圆心角为，则 ， ， 3 分（2）由（1）可得花坛的面积为 ， 6 分装饰总费用为 ， 8 分花坛的面积与装饰总费用的 ， 10 分令 ，则 ，当且仅当 ， 时取等号，此时 ， ， 12 分答：当 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 13 分考点：1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.20. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有 5 项考查项目，分别记作，.（1）某教练将所带 10 名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示） ，并计算从恰有 2 项成绩不合格的学员中任意抽出 2 人进行补测（只测不合格的项目） ，求补测项目种类不超过 3（ ）项的概率
13、.（2） “科二”考试中，学员需缴纳 150 元的报名费，并进行 1 轮测试（按，的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行 1 轮补测；若第 1 轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考” ；若补考则需缴纳 300 元补考费，并获得最多 2 轮补测机会，否则考试结束；每 1 轮补测都按，的顺序进行，学员在任何 1 轮测试或补测中 5 个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考 1 次，某学院每轮测试或补考通过，各项测试的概率依次为 ，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.求该学员能通过“科二”考试的概率；求该学员缴纳的考试费用 的数学期望.【答案】(1) (2)见解析【解析】
14、试题分析：（1）共有 5 名学员恰有两项不合格，从中任意抽出 2 人，列出所有可能，共 10 种，其中有 6 种情况补测项数不超过 3 ，最后根据古典概型概率公式求概率(2) 先计算顺利完成每 1 轮测试(或补测) 的概率，再根据独立重复试验得能通过“科二”考试的概率为 4 次实验中至少成功一次先确定随机变量取法，再依次计算对应概率，最后根据数学期望公式求期望试题解析：(1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)， (9)恰有两项不合格，从中任意抽出 2 人，所有可能的情况如下：由表可知，全部 10 种可能的情况中，有 6 种情况补测项数不超过 3，故所求概率为 (2)由题意可知，该学员
15、顺利完成每 1 轮测试( 或补测)的概率为 111 由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与 3 次补测均未能完成 5 项测试，相应概率为故学员能通过“科二” 考试的概率为 1- 根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第 1 轮补测时 X=150，其他情况时均有X=450而 P(X=150)= ，故 X 的分布列为故 E(X)=150 450 126+72=198(元) 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概
16、型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度 .21. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，且 ，点 是棱 的中点，平面 与棱交于点 .（1）求
17、证： ；（2）若 ，且平面 平面 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）推导出 ，从而 平面 ，由此能证明 （2）取 中点 ，连接 ， ，以 为原点， 、 、 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 与平面 所成的二面角的余弦值试题解析：（1）证明： 是菱形， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ， 四点共面，且面 面 ， .（2）解：取 中点 ，连接 ， ， ， ，平面 平面 ，平面 平面 ， 面 ， ，在菱形 中， ， ， 是 中点， ，如图，以 为原点， 、 、 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 ，由 得， ， ，
18、 ， ， .又 ，点 是棱 中点，点 是棱 中点， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则有 ， ，取 ，则 . 平面 ， 是平面 的一个法向量，二面角 的余弦值为 ，平面 与平面 所成的二面角的余弦值为 .22. 已知函数 .（1）若 ，求函数 的单调递减区间；（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数的最小值；（3）若 ，正实数 满足 ，证明： .【答案】 （1） （2）2（3）见解析【解析】试题分析：（1）由 求出的值，再利用导数求出函数 的单调递减区间；（2）分离出变量 ，令 ，只要 ，利用导数求出令 的最大值即可；（3）由，即 ，令 ，则由 ，利用导数法求得，从而可得所以 ，解得即可试题解析
19、：（1）因为 ，所以 ，此时 ， ，由 ，得 ，又 ，所以 ，所以 的单调减区间为 （2）由 恒成立，得 在 上恒成立，问题等价于 在 上恒成立，令 ，只要 ，因为 ，令 ，得 设 ，因为 ，所以 在 上单调递减，不妨设 的根为 ，当 时， ；当 时， ，所以 在 上是增函数，在 上是减函数，所以 ，因为 ， ，所以 ，此时 ，即 ，所以 ，即整数的最小值为 2（3）当 时， ，由 ，即 ，从而 ，令 ，则由 ，得 ，可知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以 ，所以 ，因此 成立考点：1、函数基本性质；2、恒成立问题；3、利用导数求函数的最值【方法点睛】利用导数求函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数 的定义域；(2)求导函数 ；(3)由(或 )，解出相应的 的取值范围当 时， 在相应的区间上是增函数；当 时，在相应区间上是减函数(4)结合定义域写出 的单调区间利用导数求函数的单调区间需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间本题主要考查利用导数与函数单调之间的关系以及利用导数求最值，属于中档题
