1、1数列通项公式的几种求法注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要会灵活运用；求出 后，要验算 n=1 时是否成立。na一、公式法 等差型： ；等比型： ；复合 =f( , )；dnan)1(1nqbnAanb = (或 )，用作差法：nS12)naf Sf 1,()2nnS例 1 已知数列 前 n 项和 .（1）求 与 的关系；（2）求通项式 .24n1an二、累加法 f(n)是等差或等比型 )(1fa例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 （ ）n 13nn， n31.na三、累乘法 f)(1例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na125nna， na（ ）(1)25!.
2、na评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出12()5nnaa12()5nn，即得数列 的通项公式。13212naa n例 4 已知数列 满足 ，求 的通项公式。 （n11231()(2)n naaa， na） （2004 年全国 I）!.2na评注：本题关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出1()2)nna1(2)na，可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公式。1322naa 2n时 ， n四、构造数列法 ； ； ； ；qpan1 nnqpa1 fpan1 nfagn)(1； ； ；（p，q 均为常数） 。nnqapa12 n1 n找系数 解法 ：把原递推公式转化为： ，其中
3、 ，得 等比)(1tat1pqt)1tan数列。2例 5 已知数列 中， ， ，求 .na132nan解： ，321n )(令 ，则 ,且b4131nab 是以 为首项，2 为公比的等比数列，则 ,所以 .n1 124nnb321na 解法：一般地，先在原 递推公式两边同除以 ，得： 引入辅nnqpa1 1nqqpnn1助数列 （其中 ），得： 再应用 的方法解决.。nbnbqpnn11pan1例 6 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 （ ）na112356na， n 125na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而知数列n15()na是等比数列，进而求 的通项公式，再求出
4、的通项公式。5nan例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na113524nnaa，（ ）132n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为1nn，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列115(5)nnnaa52na的通项公式，最后再求数列 的通项公式。2n例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11323n， n解： 两边除以 ，得 ，13na1n 12na则 ，故12n2232111221()()()()3332() 1)333n nnnnnaaa3因此 ，1(3)2(1)213 3nn na则 .nnn评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出121nna11
5、233nna，即得数列 的通项公式，最后再求1122321()()()()33nnnaa n数列 的通项公式。n例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na21 1345nana， na（ ）42308na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为21n，从而可知数列 是等比数2 21()(1)(308)nna 23108na列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。2308a 解法nnqpa12倒数变换法 ； 解法分别化为 和an nnap11paqn1n1开方变换法 ，得21 对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用）例 9 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。
6、na513nna17na解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得51237， 0nn， 5123nalg5llgnna设 1()5(l)nxyaxy将式代入式，得 ，两边消去 并整理，得3lg2(15(lg)nnyaxy5lgna，则(lg3)lg2xnyxy4，故lg352xylg34216xy代入式，得 1lg3lglg3lg2l()5()444164n naa 由 及式，123l2lgl70616得 ，则 ，l3lg044nalg()5lg344na 所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等比数列，则ll3216nl2l716，因此lg3gg3(l)544nna 1111 16 64
7、44411 661444455l2ll2l(7)5lg3lgl3gl(2)l(2)l7g(3nnnn nn1641)l2nnn则 。11556473nna评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5123nnaa，从而可知数列1lglg2lg3lgl()5()4164464n n是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再3a llg2164n求出数列 的通项公式。n五、迭代法例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)25nna， na解：因为 ，所以3(1)21213(1)3nn52(2)(1)3(2)(1)3(3)()()1 12(3)(2)(1)(1)123
8、(1)(2)13()!nnnn nnnnnnaa 2(2)(1)3(2)(1)3(3)()()1 12(3)(2)(1)(1)123(1)(2)123()!nnnn nnnnnnnaa 又 ，所以数列 的通项公式为 。5a(1)2!5n评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 两边取常用3(1)2nna对数得 ，即 ，再由累乘法可推知1lglgnna1l3()2nn，从而 。(1)23!13212lll lg5nnna 1()3!25na六、数学归纳法例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()8139nnaa， na解：由 及 ，得1228
9、()3n1921223422(1)824583()(3)9148018aa由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2()n（1）当 时， ，所以等式成立。12()189a（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2()1ka1nk1228(1)3ka6222222222(1)8(1)3()()138(1)()()()31()kkkkk222222222(1)8(1)3()()138(1)()()()31()kkkkk由此可知，当 时等式也成立。n根据（1） ， （2）可知，等式对任何 都成立。*nN评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式
10、，最后再用数学归纳法加以证明。七、换元法例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则124nb2)b故 ，代入 得()a1(4)nnn221()464n即 2(3)b因为 ，故0nna11240nnba则 ，即 ， 可化为 ，12 33()2nb所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此3nb1121，则 ，即 ，得2()n2()nb14()3na。2343nna评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，124nanb132nnb从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。nb3a八、作商法：已知 求 ，用作商法：)(21nfa (1),2)nfan7习题1. 写出数列 的一个通项公式。,.321967,8542.已知数列 满足下列条件，求 。 ， ； ， ；nana21nan21321anna1， ； ， ； , ；31n21)(13165)2(， ； ， ；,052 Nn b2, nn211， ； ， ； ， ； ，31na1 nnaa11451a51Sn1a； ， =1，nn1 21nS2111nn
