1、离散数学试卷（一）第 1 页 共 7 页一、单项选择题 (本大题共 15 小题，每小题 1 分，共 15 分 )在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。1.一个连通的无向图 G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条 ( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路C.汉密尔顿通路 D.初级回路2.设 G 是连通简单平面图， G 中有 11 个顶点 5 个面，则 G 中的边是 ( ) A.10 B.12 C.16 D.14 3.在布尔代数 L 中，表达式 (a b) (a b c) (b c)的等价式是 ( ) A.b (a c) B.(a b
2、) (a b) C.(a b) (a b c) (b c) D.(b c) (a c) 4.设 i 是虚数， 是复数乘法运算，则 G=是群，下列是 G 的子群是 ( ) A. B. -1, C. i, D. -i, 5.设 Z 为整数集， A 为集合， A 的幂集为 P(A),+ 、 -、 /为数的加、减、除运算，为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有 ( ) A. Z， +， / B. Z， /C. Z， -， / D. P(A) ，6.下列各代数系统中不含有零元素的是 ( ) A. Q， * Q 是全体有理数集， * 是数的乘法运算B. Mn(R),* ,Mn(R) 是全体 n 阶实矩阵
3、集合， * 是矩阵乘法运算C. Z， Z 是整数集， 定义为 x xy=xy, x,y Z D. Z， + ， Z 是整数集， +是数的加法运算7.设 A=1,2,3 ， A 上二元关系 R 的关系图如下：R 具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设 A=a,b,c ， A 上二元关系 R= a,a ， b,b , a,c ， 则关系 R 的对称闭包 S(R)是 ( ) A.R IA B.R C.R c,a D.R IA9.设 X=a,b,c,Ix 是 X 上恒等关系，要使 Ix a,b ， b,c ， c,a ， b,a R 为 X 上的等价关系， R 应取 ( ) A.
4、 c,a ， a,c B. c,b ， b,a C. c,a ， b,a D. a,c ， c,b 10.下列式子正确的是 ( ) A. B. C. D. 11.设解释 R 如下：论域 D 为实数集， a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x是群。设 n 是正整数，求 (a -1ba) n a -nb na n28.(6 分 )设 A=1,2,3,4,5,A 上偏序关系R= 1， 2 ， 3， 2 ， 4， 1 ， 4， 2 ， 4， 3 ， 3， 5 ， 4， 5 IA ; (1)作出偏序关系 R 的哈斯图(2)令 B=1,2,3,5 ，求 B 的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确
5、界，下界，下确界。29.(6 分 )求 (P Q) (P Q)的主合取范式并给出所有使命题为真的赋值。30.(5 分 )设带权无向图 G 如下，求 G 的最小生成树 T 及 T 的权总和，要求写出解的过程。31.(4 分 )求公式 ( x)F(x,y) ( y)G(x,y) ( x)H(x) 的前束范式。四、证明题 (共 20 分 ) 32.(6 分 )设 T 是非平凡的无向树， T 中度数最大的顶点有 2 个，它们的度数为 k(k 2),证明 T中至少有 2k-2 片树叶。33.(8 分 )设 A 是非空集合， F 是所有从 A 到 A 的双射函数的集合， 是函数复合运算。证明： F, 是群
6、。34.(6 分 )在个体域 D=a 1,a2, ， an中证明等价式：( x)(A(x) B(x) ( x)A(x) ( x)B(x) 五、应用题 (共 15 分 ) 35.(9 分 )如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过 DELPHI 语言而且学过 C+ 语言。 只要他学过 DELPHI 语言或者 C+语言， 那么他就会编程序。 因此如果他是计算机系本科生， 那么他就会编程序。 请用命题逻辑推理方法， 证明该推理的有效结论。36.(6 分 )一次学术会议的理事会共有 20 个人参加， 他们之间有的相互认识但有的相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小
7、于 20。问能否把这 20 个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人 ?根据是什么 ? 离散数学试卷（一）第 4 页 共 7 页参考答案一、单项选择题 (本大题共 15 小题，每小题 1 分，共 15 分 ) 1.B 2.D 3.A 4.A 5.D 6.D 7.D 8.C 9.D 10.B 11.A 12.A 13.C 14.B 15.C 二、填空题16.0 1 17.1 0 18.单位元 1 19.x y x y 20.入射21. x R= y R22.A(x) B(y) 23.(M(x) D(x) M(x) D(x) 24.可满足式 永假式 (或矛盾式 ) 25.陈述句 真值三、计
8、算题26. M=1 1 0 01 0 1 01 0 1 10 0 1 1M 2=2 1 1 02 1 1 12 1 2 11 0 1 1M ijji2141418, M iji2146G 中长度为 2 的路总数为 18，长度为 2 的回路总数为 6。27.当 n 是偶数时， x P(A),x n=当 n 是奇数时， x P(A),x n=x 于是：当 n 是偶数， ( a -1 b a )n a -n b n a n= ( a -1)n b n a n=当 n 是奇数时，( a -1 b a )n a -n b n a n= a -1 b a ( a -1)n b n a n= a -1 b
9、a a -1 b a =28.(1)偏序关系 R 的哈斯图为离散数学试卷（一）第 5 页 共 7 页(2)B 的最大元：无，最小元：无；极大元： 2， 5，极小元： 1， 3 下界： 4， 下确界 4；上界：无，上确界：无29.原式 ( (P Q) (P Q) (P Q) (P Q) (P Q) (P Q) ( (P Q) (P Q) ( P Q P Q) ( ( P Q) (P Q) ( (P Q) (P Q) (P Q) (P Q) P (Q Q) P (Q Q) (P Q) (P Q) 命题为真的赋值是 P=1,Q=0 和 P=1,Q=1 30.令 e1=(v 1,v3), e2=(v
10、4,v6) e3=(v 2,v5), e4=(v 3,v6) e5=(v 2,v3), e6=(v 1,v2) e7=(v 1,v4), e8=(v 4,v3) e9=(v 3,v5), e10=(v 5,v6) 令 ai 为 ei 上的权，则a1,其中 V=v 1,v2, ， V 20 是以 20 个人为顶点的集合， E 中的边是若任两个人 vi 和 vj 相互认识则在 vi 与 vj 之间连一条边。V i V,d(v i)是与 vi 相互认识的人的数目，由题意知 vi,vj V 有 d(v i)+d(v j ) 20,于是 G中存在汉密尔顿回路。设 C=V i1V i2, V i20V i1 是 G 中一条汉密尔顿回路，按这条回路的顺序按其排座位即符合要求。离散数学试卷（一）第 7 页 共 7 页
