1、2018-2019 学年度罗定艺术高级中学高二数学 3 月份考试试题学校:_姓名：_班级：_考号：_评卷人 得分一、单选题1已知函数 f(x)= ，若对于 ， ，使得 f( )=g( )，则的最大值为（ ）A B C D2平面上动点 与定点 的距离和 到直线 的距离的比为 ，则动点 的轨迹的标准方程为（ ）A B C D3已知函数 ，若函数 的图象在 处切线的斜率为 ，则 的极大值是（ ）A BC D4我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 ，且法向量为 的直线（点法式）方程为：，化简得 .类比以上方法，在空间直角坐标系中，
2、经过点 ，且法向量为 的平面的方程为（ ）A BC D5已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ）A B C D6欧拉公式 为虚数单位 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限7设 的实部与虚部相等 ，其中 为实数，则A-1 B-2 C1 D28已知函数 的图象上有两对关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D9若向量 ， 是非零向量，则“ ”是“ ， 夹角为 ”的（ ）A
3、充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件10方程 表示的曲线是 A一个圆 B两个半圆 C两个圆 D半圆11已知双曲线 ： ， ， 为左，右焦点，直线 过右焦点 ，与双曲线 的右焦点交于 ， 两点，且点 在 轴上方，若 ，则直线 的斜率为（ ）A B C D12古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10这样的数称为 “三角形数” ，而把1、4、9、16这样的数称为“正方形数” 从下图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是 ( ) A BC D评卷人 得分二、填空题13已知函数 若函数 有 3 个零点
4、，则实数 的取值范围是_14已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，过点 作直线与抛物线交于两点若以 为直径的圆过点 ，则 的值为_15椭圆 的离心率等于 ，则椭圆的标准方程为_16设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _评卷人 得分三、解答题17已知关于 的方程 有实数根，求实数 的值18已知函数（1）当 时，求 的单调区间；（2）当 时， 的图象恒在 的图象上方，求 a 的取值范围.19已知函数 若曲线 在点 处的切线与 x 轴平行，且 ，求 a， b 的值；若 ， 对 恒成立，求 b 的取值范围20随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来 ”，遍布了各个城市的大街
5、小巷为了解共享单车在 市的使用情况，某调研机构在该市随机抽取了 位市民进行调查，得到的 列联表（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为使用共享单车的情况与年龄有关？(结果保留 3 位小数）（2）现从所抽取的 岁以上的市民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人（i）分别求这 5 人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii）从这 5 人中，再随机抽取 2 人赠送一件礼物，求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率.参考公式及数据： ， 21设函数 ，其中 为自然对数的底数（1）当 时，求 在点 处的切线的斜率；（2）若存在 ，使 ，求正数 的取值范围22根
6、据下列条件求双曲线的标准方程.（1） 经过点 ,焦点在 轴上;（2）与双曲线 有相同的焦点,且经过点 .23已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）对 时，对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.参考答案1 D【解析】【分析】不妨设 f( )=g( ) a，从而可得 的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可【详解】不妨设 f( )=g( ) a， a， ln(a+e)， ，故 ln(a+e)- ， （ a-e）令 h（ a） ln(a+e)- ，h（ a） ，易知 h（ a）在（-e，+）上是减函数，且 h（0）0，故 h（ a）在 a 处有最大值，即 的最大值为 ；故选： D【点睛】本题考
7、查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题2 D【解析】【分析】由题意得到关于 x,y 的等式，整理变形即可确定动点 的轨迹的标准方程.【详解】由题意可得： ，整理变形可得： .本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，属于基础题.3 A【解析】【分析】由函数 的图象在 处切线的斜率为 ，得 ，从而得 m=0，进而得 f（x）的单调性，即可得极大值 = .【详解】因为函数 ，所以 ，由函数 的图象在 处切线的斜率为，所以 =3e，所以 m=0. 即 =0 的根-2,0，因为 ，所以函数 递增，在 递减，在 递增，所以函数 的极大值 =.故选：A.【点睛】
8、本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键，属于中档题.4 A【解析】【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点 P（x，y，z） ，则 （x1，y2，z3） ，利用平面法向量为 （1，2，1） ，即可求得结论【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点 P（x，y，z） ，则 （x1，y2，z3）平面法向量为 （1，2，1），（x1）2（y2）+1（z3）0x+2yz20，故选：A【点睛】本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决
9、空间内平面方程的求解问题，属于中档题5 B【解析】【分析】构造 g（ x） f（ x）-（ e+e1 ） ，利用导数研究其单调性即可得出【详解】函数 f（ x） ex1 +e1 x，令 g（ x） ex1 +e1 x（ e+e1 ） ，g（ x） ex1 -e1 x，令 g（ x）0，解得 x1可得：函数 g（ x）在（，1）上单调递减， （1，+）上单调递增g（ x） min g（1）2（ e+e1 ）0，又 g（0） g（2）00 x2故选： B【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 B【解析】【分析】由欧拉公式 ,可得 =cos2+isi
10、n2， 表示的复数在复平面中的象限.【详解】解：由欧拉公式 ，可得 =cos2+isin2，此复数在复平面中对应的点为（cos2，sin2） ，易得 cos20，sin20，可得此点位于第二象限，故选 B.【点睛】本题主要考查复数几何意义的应用，灵活运用所给条件求解是解题的关键.7 A【解析】【分析】利用复数的乘法运算化简题目所给表达式，根据实部和虚部相等列方程，求得 的值.【详解】依题意 ，由于该复数的实部和虚部相等，故，解得 ，故选 A.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数实部和虚部的概念，考查方程的思想，属于基础题.8 D【解析】【分析】由函数 的图象上有两对关于 轴对称的点，转化
11、为 与 在 上有两个交点，根据导数的几何意义，确定切线的斜率，再结合函数的图象，即可求解.【详解】由题意，当 时， ，则关于 轴的对称的函数解析式为 ，因为函数 的图象上有两对关于 轴对称的点，可转化为 与 在 上有两个交点，设 与 相切于点 ，且 ，由 ，则 ，所以 ，即 ，(1)又由当 时， (2)由(1)(2)联立解得 ，即又由 ，且 ，则 ，结合图象可知，满足 ，即 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了函数的对称性问题的应用，其中解答中把函数 的图象上有两对关于 轴对称的点，转化为 与 在 上有两个交点，根据导数的几何意义，再结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问
12、题和解答问题的能力，属于中档试题.9 C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可【详解】，向量 ， 是非零向量， ， 夹角为“ ”是“ ， 夹角为 ”的充要条件故选： C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键10 D【解析】【分析】方程 等价于 ，即可得出结论【详解】方程 等价于 ，表示的曲线是半个圆故选： D【点睛】本题考查曲线与方程，考查圆的知识，属于基础题11 D【解析】【分析】由|AF 2|3|BF 2|，可得 .设直线 l 的方程 xmy+ ，m 0，设 ， ，即 y13y 2，联立直线 l 与曲线 C,得 y1+y
13、2- ，y 1y2 ，求出 m 的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线 C： ，F 1，F 2 为左、右焦点，则 F2（ ，0） ，设直线 l 的方程xmy+ ，m0，双曲线的渐近线方程为 x2y，m2，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，且 y10，由|AF 2|3|BF 2|， ，y 13y 2由 ，得（2 m） 24（m 24）0，即 m2+40 恒成立，y 1+y2 ，y 1y2 ，联立得 ，联立 得 ， 即： ， ，解得： ，直线 的斜率为，故选：D【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题12 C【解析】【分析】结合题意可知
14、 ,代入数据,即可.【详解】A 选项,13 不满足某个数的平方 ,故错误;B 选项, ,故错误;C 选项 ,故正确 ;D 选项, ,故错误.故选 C.【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.13【解析】【分析】令 ，对其求导并判断它的单调性，可以得到函数 的单调性，进而画出 的图象，当直线 与函数 的图象有三个交点时，满足题意，求出即可。【详解】令 ，求导 ，当 时， ，则 在上单调递增；当 时， ，则 在 上单调递减， 在时，取得最大值为 .结合单调性，可以画出函数 的图象(见下图) ，当 时，函数 有 3 个零点【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用
15、的方法和思路（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解。14 4【解析】【分析】设直线方程,与抛物线方程联立，借助于求出点 A，B 的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AF| |BF|【详解】解：假设 k 存在，设 AB 方程为：y k（x1） ，与抛物线 y24x 联立得 k2（ x22x+1）4x，即 k2x2（2k 2+4）x+ k20 设两交点为 A（x 2，y 2） ，B（ x1，y 1） ，以 为直径的圆过点
16、,QBA90，（x 12） （x 1+2）+ y120，x 12+y124，x 12+4x11 0（x 10） ，x 1 2，x 1x21，x 2 2，|AF| |BF|（ x2+1）（x 1+1）4，故答案为：4【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题15【解析】【分析】根据椭圆的基本概念，结合题意算出 a3，c ， ，从而得到 b26再根据椭圆的焦点位置，即可确定此椭圆的标准方程【详解】椭圆 的长轴为 6，离心率是 ，焦点在 x 轴上，2a6 ，e ，解得 a 3，c ，b2a 2c26，又椭圆的焦点在 x 轴上，其方程为 ；故答案为
17、 【点睛】本题考查了椭圆的性质的应用，属于基础题16 1【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a) 处的切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为-1 即可得 a 值.【详解】，所以切线的斜率 ，又切线与直线 垂直得 ，解得 .故答案为：1【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.17 或【解析】【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出【详解】设 x 是方程的实根，代入方程并整理得（ k +2）+（2 +k）i0由复数相等的条件得 k +22 +k0，解得 ，或 方程的实根为 x 或 x ，相应的 k 的值为 k2 或 k2 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复
18、数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18 () 详见解析()【解析】【分析】（1）首先求出 f（x）导数，分类讨论 a 来判断函数单调性；（ 2）利用转化思想 yf（x）的图象恒在 yax 3+x2（a 1）x 的图象上方，即 xex axax 3+x2（a 1）x 对x（0，+）恒成立；即 exax 2x10 对 x（0，+）恒成立，利用函数的单调性和最值即可得到 a 的范围.【详解】（1）f（x）xe xax x（ exa）当 a0 时，e xa 0，x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减；x（0，+）时， f（x） 0，f（x）单调递增；当 0a1 时，令 f（x）0 得 x
19、0 或 xlna（i） 当 0a 1 时，lna 0，故：x （，lna ）时，f（x）0，f（x）单调递增，x（lna，0）时， f（x）0，f （x）单调递减，x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； （ii） 当 a1 时，lna 0， f（x）xe xaxx（e x1）0 恒成立，f（x）在（，+）上单调递增，无减区间； 综上，当 a0 时，f （x）的单调增区间是（0，+） ，单调减区间是（ ，0） ；当 0a1 时，f （x）的单调增区间是（，lna）和（0，+ ） ，单调减区间是（lna，0） ；当 a1 时，f（x）的单调增区间是（，+） ，无减区间（2）由（I）知 f（
20、x）xe xax当 x（0，+ ）时，yf（ x）的图象恒在 yax 3+x2 （a1）x 的图象上方；即 xexaxax 3+x2（a1）x 对 x（0，+）恒成立；即 exax 2x10 对 x（0，+）恒成立； 记 g（x）e xax 2x1（x0） ，g（x）e x2ax 1h（x） ；h（x）e x2a ；（i） 当 时， h（x）e x2a 0 恒成立，g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）g （0）0；g（x）在（0，+）上单调递增；g（x）g（0）0，符合题意； （ii）当 时，令 h（x） 0 得 xln （2a） ；x（0，ln（2a） ）时，h（x）0，g（x）在（0，
21、ln（2a ） ）上单调递减；x（0，ln（2a） ）时，g（x）g（0）0；g（x）在（0，ln（2a ） ）上单调递减，x（0，ln（2a） ）时，g（x）g（0）0，不符合题意； 综上可得 a 的取值范围是 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想与分类讨论思想，属中等题型19 （ 1） ；（2）【解析】【分析】（1）对 求导， ， 解方程组求出 ， 即可。 （2）将 代入，利用参变分离可以将问题转化为 在 恒成立，求出 的最小值，令即可。【详解】（1） ， ，由 ，得 ，（2）因为 ， ，等价于 ，令 ， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，当 时， ，所以 在 上
22、单调递增，所以 ，所以 .【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题。20 （ 1）能；（2） （i）经常使用 人、偶尔或不用共享单车 人；（ii） .【解析】【分析】（1）计算 k2，与 2.072 比较大小得出结论，（2）（i）根据分层抽样即可求出，（ii）设这 5 人中，经常使用共享单车的 3 人分别为 a，b，c；偶尔或不用共享单车的 2 人分别为 d，e，根据古典概率公式计算即可【详解】（1）由列联表可知， 因为 2.1982.072，所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 A 市使用共享单车情况与年龄有关（2）（i）依题意可知，所抽取的 5
23、 名 30 岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人） ，偶尔或不用共享单车的有 （人） （ii）设这 5 人中，经常使用共享单车的 3 人分别为 a，b，c；偶尔或不用共享单车的 2 人分别为 d，e则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为（a，b）， （a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e） ，共 10 种其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为（d，e ） ，共 1 种故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 【点睛】独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式计算 的值；(3)
24、 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）21 （ 1） ；（2）【解析】【分析】（1）对 求导 ，代入 x=1 即可得斜率.（2）依题意得 ，对 a 按 ， 分类讨论得 的单调性和最小值即可.【详解】解：（1）设所求切线的斜率为 ，当 时， ， （2）依题意得 ， 且 ，所以 当 时， 即 在 递增， 而 满足条件 当 时， 在 递减 递增综上【点睛】本题考查了求切线的斜率和利用导数判断函数在区间上的单调性和最小值，也考查了分类讨论思想，属于中档题.22 （ 1） ； （2） .【解析】【分析】(1)结合
25、 c 的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数，即可。 （2）结合已知双曲线，设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可。【详解】（1）.线的焦点在 轴上设所求双曲线的方程为 双曲线过点 ,解得 或 (舍去),故所求双曲线的标准方程为（2）.所求双曲线与双曲线 有相同的焦点, 可设所求双曲线的方程为双曲线过点 解得 或 (舍去),故所求双曲线的标准方程为【点睛】本道题考查了双曲线方程的求法，结合题意，设出双曲线方程，代入点坐标，计算参数，即可，属于较容易的题型。23 （ 1）详见解析；（2） .【解析】【分析】(1) 函数 的定义域为 ，求出导函数 ，对 a 分类讨论，解不等式即可得
26、到 的单调性；（2）因为 ，所以 ，由（1）可得 的最值，进而得到 的取值范围.【详解】解：（1）函数 的定义域为 ， ，当 时， ， ，所以 在 上单调递减；， ，所以 在 上单调递增.当 时， ， ，所以 在 上单调递减；， ，所以 在 上单调递增.（2）因为 ，所以 ，由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .因为 与 ，所以 .设 ，则 ，所以 在 上单调递增，故 ，所以 ，从而 ，所以 ，即 .设 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递增，又 ，所以 等价于 ，则 .因为 ，所以 的取值范围为 .【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
