1、1数模第一次培训论文论文题目：悬崖跳水的水池深度设定问题姓名 1：申 耀 学号：0903307-24 专业：土木工程 姓名 2：许丹丹 学号：1009302-10 专业：信息与计算科学姓名 3：陈施羽 学号：1009302-30 专业：信息与计算科学摘要：在红牛悬崖跳水世界杯比赛的背景下，本文经讨论研究了跳水水池的深度设定问题，以保证运动员的安全及投资建设水池的成本合理为目的。对此，本文将建立物理模型，运用物理学，微分方程学，理论力学等数学方法，结合MATLAB 编程进行求解。对于问题一：我们假设将人体设为一个均匀圆柱体，并建立物理模型，用物理动力学解题思路，对悬崖跳水物理过程细化为运动员空中
2、、入水与水中三个运动过程，并逐个对其建立运动状态方程，结合微分方程学简化求解，最后用MATLAB 软件画图展示结果，从图中得到：男子的安全水池深度为 12.85 米，女子的安全水池深度为 8.82 米；对于问题二：根据物理质量公式，结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度与质量等之间的联系，从而判断体重不同者与水池深度大小的关系，得到结果：体重越大的人跳水时需要更深的水。该模型建立亮点一体现在其充分运用了物理知识，同时结合微分法简化了求解难度；亮点二体现在用 MATLAB 软件画图展示结果，直观准确。关键字：物理动力学、能量转换、微分方程学、MATLAB1 问题重述2近年来
3、世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为 23 至 28 米，女子为 18至 23 米。我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28 米，女子 20 米。需要完成的任务：1. 跳台下面的水池要多深才能安全，请大家给以计算；2. 分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。2 问题分析要探讨跳水者的安全问题，需要分析在跳水者进入水之后继续下落的深度，从而在速度减为 0 时而不撞击池底而受伤，以保证跳水者的绝对安全经分析，把跳水过程具体化，形象化后，悬崖跳水可分为三个阶段，在下文并逐个对其建立了运动状态方程：第一
4、阶段：从跳板到水面;运动员从跳板跳下，再空中完成一系列的动作之后在重力的作用下会快速自由下落，在此期间，会受到恒定不变的重力及方向向上的空气阻力，且空气阻力越来越大，使运动员做加速度减小的加速运动，并且在到达水面时速度最大。第二阶段：从空气到水中;运动员入水后会受到水的阻力，抵消身体所受的重力作用，从而使身体在水中做减速运动，随着运动员入水体积的变化所受水的浮力也会变化；第三阶段：从水中到水池深处；在运动员身体全部进入水中后，浮力可视为与重力相等，则运动员只受到水的阻力引起的速度改变。直到速度为 0，人体入水的最深位置即为所求深度。3 模型假设1、假设将人体设为一个均匀圆柱体，重心位于 L/2
5、 处。且侧面光滑，不受侧面的摩擦阻力，只受到横截面积引起的流体阻力。2、假设人体所受空气浮力较小可忽略；3、假设忽略跳水运动员的蹬板过程；4、假设风速水速为零，不影响运动员下落；5、假设人水短暂碰撞过程没有能量损失；6、假设当运动员落入水中速度降为最小即速度为零时，此时的深度为安全深度零界。7、假设在水中不产生涡流；4 符号说明3符号 意义说明H 跳台到水面的高度；L 人的身高；m 运动员的质量；Vt 第一阶段结束时人体刚接触水面的瞬时速度；V2 第二阶段结束时人体完全浸入水面的瞬时速度g 重力加速度=9.8m/s 2；0 水的密度=1.010 3kg/m3空气密度=1.293kg/m 312
6、 人的密度约为 1.0103kg/m3t 与水面撞击的时间；s 将人体视为圆柱体的横截面积；C1 空气阻力系数；C2 水的阻力系数；Wf 空气阻力对人体所做的功；水的动力粘度=110 4pasCd 水的阻力系数，由表查得为 0.4f 水 在水中水对人的阻力5 模型建立与求解对于问题一：5.11 第一阶段：从跳板到水面;建立运动状态方程：根据动能定理， 2ft1mgHW V4又空气阻力对人体所做的功 2f12tWCsH V又由可得 12tmgVs并由 MATLAB 编程，分别得出了男子、女子在这一阶段的图，如下图所示：5且由以上两图，可得出结论：男子经历第一阶段的最终速度为：23.4172 m/
7、s；女子经历第一阶段的最终速度为：17.6737 m/s；5.12 第二阶段：从空气到水中;运动员所受的浮力， 0gsFL浮 00dgsdL L浮水 中 浮 力 对 运 动 员 所 做 的 功 为 22t11mmgLWV阻浮 200s d =gsLLF浮 浮600svfddsvlnLLWLL瞬阻 阻 瞬2V瞬 41pas2d23mfCV0水7由以上两图可得出结论：男子经历第二阶段的最终速度为 17.6732m/s；女子经历第二阶段的最终速度为 13.1048m/s；5.1.3 第三阶段：从水中到水池深处； 02 mgFWmgh浮浮因 为 ， 可 以 近 似 为 ，即 ： 21V阻 2d23mf
8、C0水8由以上两图可得出结论：9男子最终安全着底的最适深度为：12.85m女子最终安全着底的最适深度为：8.82 m对于问题二：5.2经分析并建模可得： 12tmgHVCs22tmgLWV阻浮，21V阻 2d23mfC0水由第一问分析的过程，同理用 MATLAB 编程可得出如下两图：10由以上公式和图片，可得出结论：体重越大的人跳水时需要更深的水；6 模型评价该模型的建立充分运用了物理学、理论力学、微分方程学，分析了悬崖跳水的整个过程，且该模型基于科学，详细的分析了跳水者在跳水过程中的速度及其受力情况，并根据实时数据计算了出了悬崖跳水的水池深度的合理设计。以保证运动员的安全，又能使建设水池的成本得到更优化。6.1 模型的优点（1） 、本文在正确、清楚地分析了题意地基础上，建立了合理、科学的可变成实际的模型，为求水池最适合深度准备了条件；（2） 、本文的建模充分运用了物理知识，同时结合微分法简化了求解难度；亮点二体现在用 MATLAB 软件画图展示结果，直观准确。（3） 、本文选用了数学专用软件MATLAB 编程，且实现了图像与文字相结合的模型解说，直观准确，提升了文章可信度；6.2 模型的缺点（1） 、在假设中，本文假设将人体设为一个均匀圆柱体，重心位于 L/2 处，且侧面光滑，不受侧面的摩擦阻力，只受到横截面积引起的流体阻力，而且又假
