1、暑期数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了暑期数学建模竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B 中选择一项填写）： A 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负
2、责人 (打印并签名)： 教练组 日期： 11 年 8 月 12 日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：暑期数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注统一编号：评阅编号：1多因素条件下作物施肥效果分析摘要本文是关于作物施肥数量与结构的优化问题，根据不同目标对施肥量与肥料搭配比例进行调整，达到各目标的最优。首先，基于一元线性回归模型，以一种肥料作为自变量，另外两种肥料固定在第七水平，建立了六个一元回归方程，分别研究某一种肥料变化时，该肥料施肥量与产量的关系。根据散点图趋势，初步选取适当的一元函数，为了使散点图更直观准确，将原数据进行
3、无量纲化处理，得到 0 到 1 间的值。利用 eviews 软件进一步对一元函数进行拟合，选取显著性最高的拟合结果，求解时，对非线性的回归方程，通过取对数将其线性化，得到结果后再将其转换成原函数形式，最终得到六个反映施肥量与产量关系的一元回归模型。为了提高六个回归方程整体的显著性，本文以三种肥料的施肥量同时作为自变量，建立三元二次回归模型，检验均通过，并具有高度的显著性，拟合效果较好。其次，基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归方程的最大值，即产量最大值。比较两个模型的结果，看出，由三元二次回归模型得到的产量更大，其中土豆与生菜产量的最大值分别为 44.95t/ha，23
4、.04t/ha。土豆对应的N、P、K 肥料的施肥量分别为 293.13kg/ha，250.0kg/ha，540.0kg/ha。生菜对应的N、P、K 肥料的施肥量分别为 212.06kg/ha，426.91kg/ha，665.69kg/ha。再次，考虑到施肥的经济性，以产值和施肥费用作为自变量，以总收益作为因变量，建立收益最大化模型。分别基于反映产量与施肥量关系的一元回归模型与三元二次回归模型，进行求解。由一元回归模型得到结果，当生菜 K 肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，显然不合理，本文以一元二次函数对六个回归方程重新进行拟合，检验看出，显著性不高，但基于新的回归方程得到的结果更加合理，更
5、符合实际情况，具有较高的实用性。基于三元二次回归模型进行求解时，通过（0,0,0,0）点的引入，增加了三种肥料交互影响产生的交叉项，避免了肥料搭配不合理造成的大量浪费。比较两种模型的结果看出，基于三元二次回归方程得到的收益更大，土豆与生菜的最大值分别为 102500 元/公顷，52023 元/公顷。再次，引入环保因素时，通过两种方法实现，一是基于收益最大化模型，将污染指数作为限制条件，以收益最大为目标，建立线性规划收益最大化模型。二是引入目标偏差变量，以偏差变量之和最小为目标，以污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，以环境指数小于 25 为前提，追求收益尽量大。比较两种模型的
6、结果看出，多目标规划的的结果更符合本问的要求，土豆与生菜的最大收益值分别为，环 境 指 数 为 25， 属 于 轻 度 污 染 ， K 肥 施 肥 量 超 过 满 意 值 ， 但 K 肥 适 当 增 加 能 够增 大 收 益 ， 对 土 地 没 有 造 成 污 染 ， 收 益 实 际 值 与 满 意 值 相 差 不 大 ， 结 果 比 较 合 理 ，符 合 本 问 的 要 求 。 最后对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和
7、可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。21.问题的重述农作物生长所需的营养素主要是氮(N)、磷(P)、钾(K)。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中 ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时，P 与 K 的施肥量分别取为 196kg/ha 与 372kg/ha。(1)试分析施肥量与产量之间关系；(2)试以作物产
8、量最大化为目标，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并求解每公顷土豆和生菜的施肥量的数量和结构；(3)作物产量最大化，不一定是最经济的，请考虑施肥的经济性，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并根据主要肥料的营养素含量、市场价格情况，以及农产品的价格情况等，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构；(4)有研究表明，我国大部分地区作物生产的施肥量超过了土地承受能力，除加重农民负担外，土壤退化、江河湖海的富营养化正在成为农业和环境可持续发展的严重障碍。由于施肥给蔬菜带来的污染有两个途径，其一是通过肥料中所含有的有毒有害物质，如重金属、病原微生物等直接对蔬菜或土壤的污染；其二是通过不合理施入大量氮素肥
9、料造成蔬菜体内硝酸盐的过量积累，导致蔬菜品质和口感较差。鉴于以上情况，请在问题(3)的优化模型的基础上，进一步改进你的模型，根据实验数据，并进行合理的数值假定，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构。(5)对所得模型与结果从如何改进与应用价值与效果等方面做出量化估计。2.问题的假设1.假设本文搜到的数据是科学准确的，不会在短期内变动。2.假 设 N、 P、 K 三 种 肥 料 都 是 农 作 物 生 长 的 基 本 肥 料 要 素 ， 本 文 近 似 认 为 如 果 三 种肥 料 都 不 施 用 ， 农 作 物 没 有 产 量 。3.假 设 生 产 的 农 作 物 可 以 以 标 准 价 格
10、 售 出 ， 并 且 其 他 因 素 的 支 出 暂 时 算 入 收 益 考 虑 。4.假 设 土 壤 中 含 有 N、 P、 K 元 素 标 准 ， 对 模 型 影 响 忽 略 不 计 。3.符号的说明主要符号 符号意义N、P、K 氮、磷、钾肥Y表示施用 N 肥的产量P表示施用 P 肥的产量3KY表示施用 K 肥的产量表示总产量S表示蔬菜售价、 、NbPK 表示 N、P、K 肥的售价、 、npk表示施用 N、P、K 肥的是施肥量Q施肥量、 、NmPK表示施用 N、P、K 肥时的收益M总体满意度、 12 为最满意产量值、最满意效益值4.问题的分析及建模流程图本问题涉及的是作物施肥数量与结构的优
11、化问题，要解决的问题是如何建立及深化模型，逐步引入限制因素，达到最优目标，其中如何分配施肥量的数量和结构，达到多目标最优，是需要解决的核心问题。4.1 基本思路根据 N、P、K 肥料施肥量与作物产量的数据，构造函数可以拟合出施肥量与产量的关系，该拟合函数的最大值即对应产量的最大值。考虑到施肥的经济性时，通过对产量最大化模型进行改进，以收益最大化为目标，得到收益最大时肥料的使用数量与结构。引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到
12、多目标最优解。4.2 具体分析问题一：分析施肥量与产量的关系，选取适当的拟合函数是关键，有两种方法。一是以一个肥料的施肥量作为自变量，将另外两个肥料的施肥量保持在第七水平，以产量作为自变量构造六个一元函数，表示三种肥料分别作为自变量时，两种作物施肥量与产量的关系。二是以三种肥料作为自变量，以产量作为因变量，构造三元函数，拟合施肥量与产量的关系。具体的函数拟合结果的求解通过 eviews,Matlab 软件实现。问题二：问题一中拟合函数的最大值即产量的最大值，基于问题一中的模型，通过求解其产量最大值，得到产量最大时各肥料的施肥量和结构。 问题三：考虑到施肥的经济性，以收益最大化为目标，通过作物产
13、量与售价得到4产值，求解产值时可以基于反映产量与施肥量关系的一元函数，也可以基于三元二次函数。通过施肥量与肥料售价得到施肥成本，以产值与施肥成本作为自变量。以施加肥料产生的收益作为因变量（因其它成本产生的收益为定值，近似忽略不计） ，构造二元函数。该函数的最大值即为收益的最大值，由此时自变量的值得到肥料使用数量与结构。问题四：引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到多目标最优解。问题五：对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对
14、优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。4.3 流程图作物施肥数量与结构的优化产量最大化三元二次回归模型施肥量与产量一元线性回归模型收益最大化三元二次回归模型最大满意度多目标规划模型层次 分析法与多目标规划评价模型数据无量钢化曲线拟 合 氮磷钾调配比例定义合理权重系 数引入产量条件5模型的建立与求
15、解55.1 模型的准备在长期的实践中，农学家们已经总结出关于作物施肥效果的经验规律，并建立了相应的理论 11. 公理 1（Nickla 和 Miller 理论）：设 为达到最高产量时的施肥量，边际产量h与 成正比例关系。即 ，从而有dWx()h()dWax.201b2. 公里 2（米采利希学说）：只增加某种养分时，引起产量的增量与该种养分供应充足时达到的最高产量 与现在产量 之差正比。即 ，从而有A()dcAWx(1exp)Wc5.2 问题一5.2.1 一元线性回归模型的选择与建立为分析施肥量与产量之间的关系，本文以产量 作为因变量，以施肥量 作为自yx变量，建立一元线性回归模型研究两者间的关
16、系，根据散点图的趋势，构造适当的一元函数进行求解。设 与 的函数为：yx（1）2iiifYabxc其中 ， 为回归系数， 为随机误差。ab利用最小二乘法求下式成立的函数 y（2）21()minnii综上建立如下一元线性回归模型：（3）221,1,()0(),()miniiniiyabxEDy回 归 系 数 ， 未 知5.2.2 一元线性回归模型的求解 为了使散点图更直观、准确，将施肥量的数据进行量纲化处理，得到（0，1）间的值。利用 Matlab 软件处理数据得到 N，P，K 的施肥量与土豆和生菜产量的散点图。6图 1 土豆施肥量与产量的散点图 图 2 生菜施肥量与产量的散点图根据散点图趋势，
17、利用 eviews 软件进行多次拟合，通过 P、 、F、DW 的检验值2R进行判定，选取最优的一元函数。得到如下 N，P，K 的施肥量与土豆和生菜产量的回归模型：（4） （5）21NiPtKYabncpk土 豆 2NitPKiYabncpk生 菜式（4）中的 与式（5）中的 为一元非线性回归方程，分别对 ， 等式两i PiYKYP边取对数，使之线性化： lnlnKbtk（7）llPYtp（8）利用 eviews 软件计算得到:ln16.052lnKk43PYp将对数形式化为指数形式计算得到土豆的 与生菜的 结果。KiYPi0.1526Kk0.352.4P式（4）与式（5）中的其余方程为一元线性
18、回归方程，可直接利用 eviews 软件进行计算，综上得到如下结果：7210.1524.79.034386NPKYnpk土 豆 20.3541627NPKYk生 菜结果分析：从回归方程可看出， 为一元二次方程，二次项系数为负数，方程有N最大值。随着 N 肥用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大，然后当 N 肥用量继续增加时，农作物的产量反而会降低。在一定范围内，农作物产量随着 P 肥和 K 肥的用量的增加一直增加。5.2.3 一元线性回归模型的检验利用 eviews 软件处理数据，得到六组回归方程的检验值如下：表 1 一元回归方程的检验值作物 肥料 ()ap ()x 2()p
19、2RDW()PFN 0.0000 0.0000 0.0000 0.986290 2.141965 0.000000P 0.0000 0.0001 0.911479 2.745148 0.000062土豆K 0.0000 0.0005 0.838049 1.200879 0.000532N 0.0000 0.0000 0.0001 0.924907 1.849664 0.000116P 0.0012 0.0000 0.946020 0.951693 0.000011生菜K 0.0000 0.0332 0.451954 2.456193 0.033204其中 、 、 分别表示方程常数 a、 前系数
20、 、 前系数 的检验值。()apx2()pxb2xc土豆的 与生菜的 为非线性方程， 、 对应其线性形式即式（7） 、式（8）KYP()p中常数 、 前系数 的检验值。lnbt检验均通过，说明模型的拟合度较高，能够较好地反映施肥量与产量之间关系。利用 Matlab 软件处理原数据与回归方程，得到六组回归方程的实际值与拟合值的对比图，实际值与拟合值基本一致，进一步验证了模型的准确性。8图 3 土豆 N 肥对比图 图 4 土豆 P 肥对比图 图 5 土豆 K 肥对比图图 6 生菜 N 肥对比图 图 7 生菜 P 肥对比图 图 8 生菜 K 肥对比图5.2.4 模型的改进表 1 中 回 归 方 程
21、的 检 验 值 均 通 过 ， 六 个 回 归 方 程 并 不 都 具 有 高 度 的 显 著 性 ，生 菜 中 值为 0.451954， 与 其 它 五 个 方 程 的 检 验 值 有 较 大 差 异 ， 生 菜 中KY2R PY值 为 0.951693， 与 理 想 值 相 差 较 大 。 二 次 函 数 能 够 较 好 地 反 映 肥 料 施 肥 量 与DW产 量 的 关 系 （ 公 理 1） ， 为 了 提 高 回 归 方 程 整 体 的 显 著 性 ， 本 文 将 三 种 肥 料 的 施 肥量 最 为 自 变 量 ， 以 农 作 物 的 产 量 作 为 因 变 量 ， 拟 合 成 三
22、 元 二 次 函 数 ， 建 立 多 元 回归 模 型 ， 进 一 步 分析施肥量与产量之间关系。 （9）2221 3Yabncpcbkc利 用 eviews 软 件 处 理 数 据 计 算 得 到 土 豆 与 生 菜 的 回 归 方 程 结 果 及 检 验 值 ：2 2521 52.043.8760.3.08.160.76.10759453Y pkk结 果 分 析 ： 一 元 回 归 方 程 只 能 反 映 一 种 肥 料 与 产 量 的 关 系 ， 改 进 后 的 模 型 能 够反 映 出 三 种 肥 料 搭 配 情 况 的 不 同 对 农 作 物 产 量 造 成 的 影 响 ， 避 免
23、了 多 个 回 归 方 程显 著 性 的 不 一 致 。 由 ， 中一 次 项 前 的 系 数 可 反 映 各 肥 料 对 产 量 的 影 响 程 度 ，1Y2， 。 此 三 种 肥 料 的 影 响 程 度0.1876.05.70.93.450.279。NPK表 2 三 元 二 次 回 归 方 程 的 检 验 值作 物 a()np()()p2()()kp2() 2R DW()PF土 豆 0.005 0.000 0.000 0.001 0.018 0.000 0.001 0.912 1.479 0.000生 菜 0.011 0.000 0.000 0.000 0.005 0.003 0.020
24、0.859 1.107 0.000其 中 表 示 系 数 的 检 验 值 ， 检 验 都 通 过 ， 从 检 验 值 看 出 两 个 回 归 方 程 均 具 有p高 度 的 显 著 性 ， 拟 合 效 果 较 好 。5.3 问题二 :模型的建立及求解5.3.1 基于一元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解本 问 只 追 求 高 产 ， 则 只 要 求 出 问 题 一 中 拟 合 出 的 函 数 的 最 大 值 即 可 。分 别 对 问 题 一 中 拟 合 的 一 元 二 次 回 归 模 型 和 改 进 后 的 三 元 二 次 回 归 模 型 进 行 求解 。由 原 数 据 散 点 图 及 得
25、 到 的 拟 合 曲 线 知 ， N 肥 用 量 较 少 时 ， 随 着 N 肥 用 量 增 加 ，农 作 物 产 量 会 增 加 ， 到 一 定 用 量 后 达 到 最 大 ， N 肥 继 续 增 加 ， 农 作 物 产 量 反 而 会降 低 。 P 肥 和 K 肥 用 量 对 农 作 物 产 量 的 影 响 随 着 其 用 量 的 增 加 而 一 直 增 加 ， 但 P和 K 用 量 少 时 ， 效 果 显 著 ， 当 P 和 K 达 到 一 定 值 时 ， 产 量 增 加 将 不 明 显 ， 因 此 基于 一 元 二 次 回 归 方 程 求 解 产 量 最 大 化 ， 可 以 简 化 为
26、 P、 K 肥 固 定 在 较 高 水 平 ， 求 解产 量 最 大 化 时 N 肥 的 施 肥 量 。本 文 将 P、 K 肥 固 定 在 第 7 水 平 ， 利 用 问 题 一 中 土 豆 与 生 菜 的 一 元 二 次 回 归 方程 进 行 求 解 。NiY(10)2NiYabxc求 导 ， 令 其 为 零 ， 有 0则 ， 当 时 ， 取 得 最 大 值 ， 即 N 肥 使 用 量 为 时 ， 产 量 最 大 。2ibxcNiY2bc综 上 得 到 如 下 模 型 ：(11) 20/iNiabxc经 计 算 得 到 P、 K 肥 固 定 在 第 7 水 平 时 ， 产 量 最 大 化
27、的 结 果 。表 3 P、 K 肥 施 肥 量 固 定 最 大 产 量 与 N 肥 施 肥 量 结 果作 物 N 施 肥 量 P 施 肥 量 K 施 肥 量 最大产量土 豆 289.70/kgha16/kgha372/kgha43.29/tha10生 菜 210.4/kgha196/kgha372/kgha20.86/tha土 豆 与 生 菜 N 的 施 肥 量 分 别 为 ， 产 量 最 大 ， 最 大 值28.7010.4分 别 为 ， 。 此 时 P、 K 施 肥 量 保 持 在 第 七 水 平 ， 即 与43.29/tha0.86/tha 19/kg。7/kg5.3.2 基于三元二次回
28、归方程产量最大化模型的建立及求解根 据 改 进 后 的 反 映 三 种 肥 料 与 产 量 关 系 的 三 元 二 次 函 数 求 解 目 标 最 大 值 。iY2221 3Yabncpcbkc对 土 豆 与 生 菜 的 三 元 二 次 ， 分 别 求 解 其 产 量 最 大 值 与 对 应 的 ，1iY2i 123,iix三 种 肥 料 的 施 肥 量 。251 25 22.043.8760.3.08.160.76.0759453iYnpkk利 用 Matlab 软 件 求 解 得 到 产 量 最 大 时 土 豆 与 生 菜 N、 P、 K 三 种 肥 料 的 施 肥 量 与 最大 值 如
29、下 表 ：表 4 基 于 三 元 二 次 回 归 方 程 最 大 产 量 与 施 肥 量 的 求 解 结 果作 物 N 施 肥 量 P 施 肥 量 K 施 肥 量 最大产量土 豆 293.1/kgha250./kgha540./kgha4.95/tha生 菜 06692691230结 果 分 析 ： 以 产 量 最 大 化 为 目 标 ， 比 较 两 个 模 型 得 到 的 结 果 ， 看 出 ， 基 于 三 元二 次 回 归 方 程 求 解 得 到 的 产 量 最 大 值 更 优 ， 因 此 本 问 采 用 表 4 的 结 果 。5.4 问题三：模型的建立及求解5.4.1 收益最大化模型的建
30、立假 设 当 考 虑 到 经济性时，作物产量以收益最大化为目标。使 用 肥 料 所 带 来 的 收入 比 用 于 购 买 肥 料 的 费 用 多 时 ， 就 应 该 施 肥 ， 否 则 就 不 应 该 多 施 肥 。设 某 蔬 菜 的 售 价 分 别 为 ， N、 P 及 K 化 肥 的 售 价 分 别 为S（ 元 /吨 ）， 施 肥 量 为 。 ,()NPKb元 /吨 npk、 、 （ 吨 公 顷 ）当 施 肥 量 为 时 ， 对 于 该 蔬 菜 的 产 量 为 ：(/)Qtha(12)()wfQ11该 蔬 菜 施 用 N 肥 料 的 费 用 是 ：(13)NPKhnbpkb其 中 表 示
31、肥 料 的 施 肥 量 。KP、 、 、 、施 加 肥 料 后 的 总 收 益 为 ：(14) (Q)meSfh其 中 表 示 因 施 加 肥 料 产 生 的 收 益 ， 为 因 其 它 成 本 产 生 的 收 益 。e为 固 定 值 ， 本 文 近 似 将 看 成 总 的 收 益 。 因 此 为 本 问 追 求 的 目 标 ，e max()综 上 可 以 得 到 如 下 的 收 益 最 大 化 模 型(15)ax()Q()NPKimSfhhnbpkbwfY5.4.2 收益最大化模型的求解方 法 1： 单 独 以 一 种 肥 料 为 自 变 量 ， 产 量 为 因 变 量 ， 将 另 外 两
32、种 肥 料 固 定 在 第 七 水平 ， 基 于 问 题 一 得 到 的 六 个 一 元 回 归 方 程 进 行 求 解 。方 法 2： 基 于 以 三 种 肥 料 为 自 变 量 ， 以 产 量 为 因 变 量 的 三 元 二 次 回 归 方KNP、 、程 进 行 求 解 。5.4.2.1 基于一元回归方程收益最大化模型的求解查 找 到 的 肥 料 与 产 量 价 格 如 下 表 。表 5 肥 料 及 产 量 价 格 （ 江 苏 农 业 网 ）商品 N（元/吨） P（元/吨） K（元/吨） 土豆（元/吨） 生菜（元/吨）价格 1560 3295 3500 2200 2400以 一 种 肥 料
33、 施 肥 量 作 物 自 变 量 ， 另 外 两 种 肥 料 施 肥 量 固 定 在 第 七 水 平 ， 将 原数 据 以 及 肥 料 与 产 量 价 格 数 据 带 入 模 型 进 行 求 解 ， 计算得到土豆的收益表达式为：210.1522(4.79.034)(1.560329.16350.72)386)( )(.)NPKmnnppk k 生菜的收益表达式为： 20.3524(1.04)(1.563290.1350.72).)(167)67.NPKmnnppk k利用 Matlab 软件求解 得到如下最大收益结果：ax()m12表 6 作物最大收益与肥料施肥量作 物 收 益 施 用 量 N
34、 肥 P 肥 K 肥最 大 收 益 (元 ) 92830 88841 11506土 豆施 肥 量 （ kg） 288.67 410.68 5946最 大 收 益 （ 元 ） 47137 134190 生 菜施 肥 量 （ kg） 209.06 23154其 中 以 一 种 肥 料 施 肥 量 作 物 自 变 量 ， 另 外 两 种 肥 料 施 肥 量 固 定 的 第 七 水 平 值 表中 没 有 给 出 ， 例 如 当 土 豆 N 肥 的 施 肥 量 为 ，P、K 肥施肥量分别为第8.(/)kgha七水平值，即 、 时产量最大。196(/)kgha372(/)kgha结 果 分 析 ： 观 察
35、 表 6， 看 出 生 菜 K 肥 施 肥 量 无 穷 大 时 ， 收 益 也 趋 近 于 无 穷 大 ，这 显 然 不 符 合 实 际 情 况 ， 因 此 基 于 一 元 线 性 回 归 方 程 收 益 最 大 化 模 型 需 要 改 进 。5.4.2.2 基于一元二次回归方程收益最大化模型的改进根 据 问 题 中 一 元 线 性 回 归 模 型 的 结 果 ， 随着 N 肥用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大，然后当 N 肥用量继续增加时，农作物的产量反而会降低，在一定范围内，农作物产量随着 P 肥和 K 肥的用量的增加一直增加。结合表5 最大收益与肥料施肥量的结果，分
36、析看出，N、P 肥施肥量固定在第七水平，随着 K肥的施肥量的增加，K 肥成本小于产量收益会造成收益趋近于无穷大。由问题一得到的反映施肥量与产量关系的一元回归方程如下： (15)210.1524.79.034386NPiKYnp土 豆(16) 20.3541627NiPKiYk生 菜只有土豆与生菜的 为一元二次函数，虽然这六个函数是通过检验值选取的，Ni但题中数据有限，很可能产生偶然误差，显著性高并不一定能够反映作物的实际规律，根据（公理 1） ，一元二次回归方程能够较好地反映作物产量与施肥量的关系，据此本文以六个一元二次函数重新对土豆与生菜作物产量与施肥量的关系进行拟合。(17)2fYabxc
37、利用 eviews 软件处理原数据得到如下回归结果与检验值：1322()14.7509.0343216fNnPpfKkk土 豆 27()6.940.054123.1fkk生 菜表 7 一元二次回归方程检验结果作物 肥料 ()ap()x2()p2RDW()PFN 0.0000 0.0000 0.0000 0.986290 2.141965 0.000000P 0.0000 0.0032 0.0221 0.864483 2.217384 0.000916土豆K 0.0001 0.0197 0.1109 0.788507 0.843805 0.004350N 0.0000 0.0000 0.0001
38、 0.924907 1.849664 0.000116P 0.0002 0.0001 0.0018 0.958787 1.597617 0.000014生菜K 0.0000 0.5140 0.9539 0.452235 2.456459 0.121641其中 p 表示系数 P 值的检验，生菜中 K 的检验值未通过，由图 9，生菜施肥量与产量的散点图观察得，散点图各点分布极不规律，本文认为是题中数据有限产生的偶然误差，对此忽略不计。图 9 生菜施肥量与产量的散点图基 于 收 益 最 大 化 模 型 ：14(18)7max(),(),ax()()NPKPNKPkmSfnbpbfk利用 Matlab
39、 软件求解 得到如下最大收益结果：ax表 8 作物最大收益与肥料施肥量作 物 收 益 施 用 量 N 肥 P 肥 K 肥最 大 收 益 (元 ) 92830 90245 93661土 豆施 用 量 （ kg） 288.6631 251.7938 534.4460最 大 收 益 （ 元 ） 47137 53195 48513生 菜施 用 量 （ kg） 209.0625 542.8434 2656其 中 以 一 种 肥 料 施 肥 量 作 物 自 变 量 ， 另 外 两 种 肥 料 施 肥 量 固 定 的 第 七 水 平 值 表中 没 有 给 出 ， 例 如 当 土 豆 N 肥 的 施 肥 量
40、为 ，P、K 肥施肥量分别为第.(/)kgha七水平值，即 、 时产量最大。196(/)kgha372(/)kgha结 果 分 析 ： 观 察 表 8， 与 表 6 中 的 结 果 相 比 ， 结 果 更 加 合 理 ， 更 符 合 实 际 情 况 ，改 进 后 的 模 型 具 有 较 高 的 实 用 性 。5.4.2.3 基于三元二次回归方程收益最大化模型的求解分 析 表 3， 表 4 最 大 产 量 与 施 肥 量 的 结 果 可 以 看 出 ， 基 于 如 下 三 元 二 次 回 归 方程 求 解 造 成 了 肥 料 大 量 的 浪 费 。(19)2221 3iYabncpcbkc表 示
41、 不 施 肥 的 产 量 ， 为 非 负 数 值 而 利 用 该 函 数 拟 合 出 来 的 常 数 项 为 负 ，(0,)f并 且 没 有 N、 P、 K 交 叉 相 乘 的 项 ， 没 有 考 虑 到 三 种 肥 料 的 交 互 影 响 ， 造 成 结 果 中三 种 肥 料 搭 配 不 科 学 情 况 的 出 现 。 因 此 加 入 经 济 因 素 后 再 基 于 该 函 数 求 解 是 不 合理 的 ， 本 文 将 该 函 数 进 行 改 进 。N、 P、 K 三 种 肥 料 都 是 农 作 物 生 长 的 基 本 肥 料 要 素 ， 本 文 近 似 认 为 如 果 三 种 肥料 都 不
42、 施 用 ， 农 作 物 没 有 产 量 。 由 于 原 点 并 不 在 数 据 的 范 围 ， 导 致 了 拟 合 误 差 。本 文 在 已 有 数 据 上 增 加 一 个 点 ， 增 加 N、 P、 K 三 种 肥 料 的 交 叉 项 。 利 用(0,)Eviews 软 件 处 理 原 数 据 与 增 加 的 点 对 重 新 进 行 三 元 二 次 拟 合 。iY得 到 反 映 产 量 与 施 肥 量 关 系 的 三 元 二 次 方 程 ：42425241Y0.4.80.31.610.7610.10inpknpknk土 豆 52626.9338i p生 菜表 9 改 进 的 三 元 二 次
43、 回 归 方 程 的 检 验 值15作物 1()ixp21()i2ixp2()i3()ixp23()i13()xp12() 2R DW土豆 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 - 0.95 1.54生菜 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01- 0.00 0.91 1.11检 验 均 通 过 ， 拟 合 效 果 显 著 。基 于 收 益 最 大 化 模 型 ：(20)max()Q()NPKiSfhhnbpkbwfY利 用 Matlab 软 件 计 算 得 到 如 下 结 果 ：表 10 作物最大收益与肥料施肥量作 物 最 大 收 益 (元
44、) N 肥 （ kg） P 肥 （ kg） K 肥 （ kg）土 豆 102500 363.98 243.80 620.1生 菜 52023 271.39 699.39 407.61 结 果 分 析 ： 比 较 表 8 与 表 10 的 结 果 看 出 ， 基 于 改 进 后 的 三 元 二 次 回 归 方 程 求解 得 到 的 收 益 更 大 ， 模 型 更 理 想 。5.5 问题四：模型的选择与建立5.5.1 基于线性规划收益最大化模型的选择与建立根据文献3，化肥污染主要是氮污染，本文近似认为 P、K 肥不会产生污染,在宏观估算农田氮污染时，依据 N 肥的施肥量就可以判定 N 污染程度，建
45、立了农田氮污染评价指标体系，为了便于计算，本文选取评价体系的宏观指标，并进行了改善和简化，得到如下的评价指标。表 11 氮 肥 污 染 程 度 评 价 体 系 表污染程度 无污染 轻度污染 中度污染 重度污染 强度污染污染指数 70根据文献4,我国大田作物无污染的施氮量标准为每季 ，此范围的1502/kgha施氮量不会引起氮素的明显流失，称为“平均适宜施氮量” 。基于收益最大化，本文取 ，得到污染指数计算公式。25/kgha(21)10%n以 N、P、K 肥料的调配比例为作为约束条件，以 n、p、k 表示三种肥料的施肥量，以 N 肥的施肥量表示 P、K 肥的施肥量，得到：16，12np12nk
46、其中 、 和 、 均为常系数，可以进行人为设定。122在此约束条件下，基于效益最大化模型，建立施加肥料的总收益:(22)(,)()NPKmSfnpkbpk综上建立如下线性规划收益最大化模型：(23)ax(,)()Pfnb(24)1 22Q()5/10%NPKiShnbpkwfYstnk5.5.2 基于线性规划收益最大化模型的求解文献5，经统计 N、P、K 肥料施加比例平均为 时最有利于作物的生长，1:0.54考虑到两种作物存在偶然误差，本文将该比例调整 。37:.05即 ， ， ，10.32.710.32.以轻度污染作为约束条件，即 ， 。5根 据 问 题 三 中 的 结 果 分 析 ， 通 过 改 进 后 的 三 元 二 次 回 归 方 程 求 解 得 到 的 收 益 更大 ， 模 型 更 理 想 ， 因 此 本 文 基 于 如 下 回 归 方 程 求 解 最 大 收 益 。42425241Y0.4.80.31.610.7610.10inpknpknk土 豆 52626.9338i p生 菜利用 lingo 软件求解得到收益最大化结果表 12 增加环保因素后作物收益最大化结果作 物 收 益
