1、关于房价问题数学建模分析近几年，我国出台了一系列事关民生国情的利民政策，但房价的持续增高仍让很多人把买房当成了一种奢望。本文根据题目要求，进行了合理假设，主要从影响房价的因素方面考虑，建立相应数学模型，根据数据分析了我国当前房价的合理性，预测房价未来走势，提出具体措施使房价回归合理，并进行定量分析。分析题目，我们分为三个问题进行讨论建模：问题一，房价合理性评判；问题二，未来房价走势；问题三，房价的应对及建议。问题一中针对各代表性城市现今房价是否合理的问题，我们以代表性城市上海、西安为例，做出合理的假设，采用了经济学领域的关于正态分布的模型，评定房价的合理性。最后我们认为 2008 年以来上海高
2、速增长的房价是不合理的；而西安虽然房价在不断上涨，但城市居民收入水平也有了比较大的提高，其增长比例基本还能维持协调，故西安的房价比较稳定合理。问题二，利用了灰色马尔科夫预测对未来两年的具有代表性的几个城市的房价进行了定量的预测，从而得出这样的结论：西 安房 价 增 长 相 对 来 说 较 为 平 稳 ， 涨 幅 不 大 ； 有 较 明 显 上 升 趋 势 的 是 成 都 和 徐 州 的 房 价 ， 在 未 来 几 年 里 ， 成 都 、 徐 州 、 西 安 的房 价 大 致 在 5000 元 左 右 ； 而 北 京 、 上 海 的 房 价 ， 从 10 年 起 有 很 明 显 的 上 升 趋
3、势 ， 而 且 涨 幅 在 8000 10000 元 左 右 ，若 没 有 国 家 政 策 等 特 别 因 素 影 响 ， 未 来 两 年 里 ， 仍 然 会 呈 现 出 持 续 增 高 的 趋 势 ， 并 且 涨 幅 不 会 低 于 8000 元 。 问 题 三 ， 主要 就 针 对 现 实 的 房 价 问 题 对 社 会 造 成 的 影 响 及 提 出 了 一 些 建 设 性 的 意 见 。关 键 词 ： 房 价 升 高 数 学 模 型 正 态 分 布 模 型 灰色马尔科夫预测 意见一问题重述房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取
4、消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。二、问题分析题目要求依据建筑成本、居民收入等影响房价变化的因素，对具有代表性城市的房价进行合理性定量评估并定量预测房价未来走势、控制合理房
5、价的措施和对经济发展的影响。我们将问题进行分述如下三个部分，并对其分别建模：2-1 房价合理性分析模型考虑评判房价的合理性，我们首先想到与房价密切相关的各种因素，认为房屋的合理定价应该由房屋所在城市的经济发达程度、环境优美度、居民归属感等生活标准来反应，而这些项目又有很多是难以量化的指标，因此我们采用了城市居民年人均收1入刻画生活标准。房屋的价格应该满足本市居民的居住需要，于是这部分我们没有引入投资等市场因素。2-2 房价未来走势模型本问是对房价的走势进行估计和预测房地产价格的高低涉及社会生活中多方面的经济利益 ,也是百姓生活中 关注比较多 比较重要的问题 之一 较为准确地预测 未来房地 产的
6、销售 价格 ,对社 会经济发展和人民 生活极其 重要 ,可以 为经济决策提供参考 ,故其研究意义相当重大 经分析可知 本问要用到相关的数学模型为华中科技大学控制科学与工程系,教授，博士生导师邓聚龙于 1982 年提出的灰色模型，据大量学者的经验表明，该预测模型的算法可以提高预测的精度。灰色模型的定义如下： 如果一个系统具有层次、 结构关系的模糊性， 动态变 化的随机性， 指标数据的不完备或不确定性， 则称这些特为灰色性。 具有灰色性 的系统称为灰色系统。 在灰色系统理论中， 利用较少的或不确切的表示灰色系统 行为特征的原始数据序列作生成变换后建立的用以描述灰色系统内部事物连续 变化过程的模型，
7、称为灰色模型，简称 GM模型。灰色预测方法的特点表现在： 首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值从而可利用微 分方程式处理数据， 而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数， 对生成数 列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性2-3 后期房价应对模型 要求我们根据前面的分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响。提出控制房价使之合理的措施，涉及到影响房价的具体因素。三、数学模型的建立及求解模型假设 ：引起房地产市场波动的因素有很多，居民收入、供求比例、空置率、货币政策、建设成本、国家政策和人口结构及变化趋势等众多因素。我们从
8、中提取重要因素对次要因素作出如下假设：1 城市消费状况用人均收入来代替。2 忽略消费成本如交通费用、物业费用、停车费用等对住房价格的影响。3 政府宏观调控政策，仅考虑税收政策、货币政策 、土地政策的影响。忽略其他政策的影响。4 在同一地区房价为销售均价，没有街道区域差异。6 根据经济发展状况分别对部分城市来概括全国城市的房屋均价，排除特殊情况。3-1 城市房价合理性模型建立及分析符号说明： :单位面积商品房售价esM2:当地人均住房居住面积Sqr:预期使用当年全年收入归还房贷所需年数eT:购买商品房支付的总价rM:当地人均年收入eS= *resSqr模型建立若以当地人均年收入 作为人口收入正态
9、分布模型的 x=0，人均年收入的 2n倍定为 x=n，则 xN(0,1)，函数图e象如图 3-1(a)所示。图 3-1（ a）令 Te 年内可用全年工资购买人均住房面积住房的下限倍率为 Br。根据假设及上述，得出 Br：2log()esrMSqrBTP=1()r一以上海市区居民购房为例（数据见表 3-1-1）3表 3-1-1令能够使用 Te 年全年收入购买人均住房面积住房的人口比例为 P，假设 5 年为合理还贷期，通过查阅标准正态分布表，得到的年份、Br 值及 P 值如表 3-1(a)所示。表 3-1-1(a)从表中可以看出，从 2002 年以来，在不计算贷款利率及房产税率的情况下，能够用 5
10、 个整年工资来购买人均住房面积住房的上海市区居民的比例一直低于 50%，并且每年都呈下降趋势，特别是在 2006 年炒房潮爆发以后，比例加速下降，直到年份住房面积（ 2m）商品房销售均价(元每平方米) 人均年收入(元)2002 13.1 5539 132502003 13.8 6032 148672004 14.8 6640 171752005 15.5 6952 186452006 16 8102 206682007 16.5 10293 236232008 16.9 13659 266752009 17.2 15467 288382010 17.8 19168 31838年份 Br P20
11、02 0.131 0.4482003 0.163 0.4352004 0.195 0.4232005 0.208 0.4172006 0.327 0.3722007 0.523 0.2982008 0.791 0.2142009 0.884 0.1892010 1.1 0.13642010 年竟然下降到 13.6%。作者查询了相关的资料，发现加拿大等欧美国家的房屋均价折合成人民币和上海现在的房价相差无几，但收入水平却远高于上海市民的收入水平，于是造成了加拿大居民和上海居民的生活水平的巨大差距。同时，资料显示，加拿大中产阶级房屋贷款限额是年收入的 3 倍，这个比例对于上海中产阶级来说，可能都难以
12、支付房屋购买的首付。随着上海的发展及其成为了亚洲第一大港，房屋价值的增长也是正常的现象，但房屋价格的高速增长不符合上海本地居民的人均收入水平，因此我们认为 2006年以来上海高速增长的房价是不合理的。2以曲靖市区居民购房为例（数据如表 3-1-2 所示）表 3-1-2曲靖市区居民购房情况表采用了 2008 至 2009 年度的数据。同样以五年作为合理还贷期，计算得到表 3-1-2(a)。表 3-1-2(a)从表中我们可以看到，曲靖的房价从 2008 年到 2010 年有上涨，但是城市居民收入水平也有了比较大的提高，使得能够使用5 年全年工资还清购房债务的人口比例保持稳定并有所上升。这说明曲靖的
13、房价比较稳定合理。3结果分析对房价合理性的分析应该从当地居民能够用合理的资金购买到合理面积、合理地段住房的角度入手，而不像房价预测一样需要考虑市场等因素，因此我们选取了人均收入和人均住房居住面积来刻画某地房价的合理性。经过我们对各类型城市通过建立的模型进行分析，如果某地区能够用 5 年当年全年工资购买当地人均住房居住面积住房的居民的比例小于 1/3，则说明该城市的房市已经出现过热（房价收入比已经大于 6） ，房价不合理。3-2. 未 来 房 价 变 化 的 灰 色 预 测 模 型模 型 假 设本 模 型 不 考 虑 未 来 突 发 事 件 ， 如 经 济 低 迷 或 举 办 大 型 活 动 ，
14、 如 奥 运 会 、 世 博 会 等 因 素 对 房 价 产 生 的 影 响 。年份 住房面积 单位面积住宅销售价格 曲靖市人均年收入2008 17.0 4397 152072009 17.6 4913 189632010 18.2 5398 21807年份 Br P2008 -0.02 0.5082009 -0.133 0.5532010 -0.15 0.5653城 市 年 平 均 房 价 的 预 测 为 基 于 历 史 情 况 的 变 化 。不 考 虑 政 府 政 策 调 控 引 起 房 价 的 大 起 伏 变 化符 号 说 明： 居 民 收 入 （ 单 位 ： 元 ） ；x1： 人 均
15、GDP（ 单 位 ： 元 ） ；2： 土 地 均 价 （ 单 位 ： 元 /m ） ;2： 房 地 产 商 营 业 利 润 （ 单 位 ： 万 元 ） ；x4模 型 的 建 立根 据 计 量 经 济 学 观 点 ， 基 于 灰 色 马 尔 科 夫 预 测 可 以 得 到 房 价 关 于 时 间 变 化 的 模 型 1。设 (0)x是 n 维 非 负 序 列 ，(1)x 为(0) 的 1 - AGO 序 列 ，)(z为()x 的 紧 邻 均 值 生 成 序 列 ， a,uT= ,则 GM（ 1,1） 模 型 为 灰 色 方 程 的 白 化 方 程 ， 其 中 ，yBT1)（ bax)()dt b
16、kaz)1(0)； k=1,2， ， n；)()(101ixkxi；njxjjzzz ,32,)1()(,3,)1(21)()()()1( y= ,B=Tnx)(,)(,2x00() 1)(3-)1(nzGM(1,1)灰 色 微 分 方 程 的 响 应 序 列 为 ： kabexkx .,2,)0(1)( 利 用 最 小 二 乘 法 估 计 参 数 a,b 后 ， 代 入 上 式 进 行 数 据 还 原 即 得 预 测 值 ：)()1()(0)0) kxkxk这 反 映 了 原 始 数 据 的 总 体 变 化 趋 势 。利 用 GM(1,1)模 型 最 终 可 以 得 到 房 价 的 变 化
17、趋 势 ， 进 而 求 得 未 来 房 价 走 势 。6模 型 的 求 解通 过 查 找 资 料 得 到 各 地 的 房 价 数 据 ：年 份 成 都 （ 元 ） 上 海 （ 元 ） 北 京 （ 元 ） 西 安 （ 元 ） 徐 州 （ 元 ）2001 1161 4300 4715.9 3270 17432002 1226 4688 4467 3390 18752003 1436 5118 4582 3360 22782004 1572 6385 4751 3470 26262005 1978.66 6698 6776 3485 23002006 2196.4 8627 6232 3510 30
18、002007 2462.3 15000 15162 3720 33602008 3187.41 14099 13222 4460 36002009 3523.56 15404 15051 4720 45002010 4324.13 19168 22310 5130 4632表 3-2-1： 01 10 年 代 表 性 城 市 房 价 均 价基 于 灰 色 马 尔 科 夫 预 测 预 测 房 价根 据 已 建 立 模 型 ， 依 据 表 9 数 据 ， 得 到 预 测 结 果 和 预 测 图 像 ：成 都 （ 元 ） 上 海 北 京 西 安 徐 州原 始 预 测 原 始 预 测 原 始 预 测
19、原 始 预 测 原 始 预 测1161 1161 4300 4300 4715.9 4715.9 3270 3270 1743 17431226 1238.749 4688 3406.905 4467 2502.293 3390 3338.365 1875 1948.6681436 1425.01 5118 4438.485 4582 3392.602 3360 3397.234 2278 2162.7981572 1639.277 6385 5782.418 4751 4599.68 3470 3457.141 2626 2400.4581978.66 1885.762 6698 7533.
20、28 6776 6236.232 3485 3518.104 2300 2664.2332196.4 2169.309 8627 9814.289 6232 8455.066 3510 3580.142 3000 2956.9932462.3 2495.49 15000 12785.97 15162 11463.35 3720 3643.274 3360 3281.9233187.41 2870.717 14099 16657.44 13222 15541.98 4460 3707.52 3600 3642.5583523.56 3302.363 15404 21701.16 15051 21
21、071.77 4720 3772.898 4500 4042.8224324.13 3798.913 19168 28272.07 22310 28569.05 5130 3839.429 4632 4487.0694370.124 36832.59 38733.83 3907.134 4980.1325027.225 47985.16 52515.21 3976.032 5527.376表 3-2-2： 01 10 年 及 11 年 、 12 年 代 表 性 城 市 房 价 及 预 测 值7图 3-2-2(a)： 01 10 年 及 11 年 、 12 年 代 表 性 城 市 房 价 及 预
22、 测 值根 据 处 理 后 的 序 列 得 到 2011 年 、 12 年 的 房 价 预 测 值 ：表 3-2-3： 11 年 、 12 年 代 表 性 城 市 房 价 预 测 值通 过 上 面 两 种 方 法 对 房 价 进 行 预 测 ， 可 以 更 加 准 确 得 到 房 价 的 未 来 变 化 及 具 体 数 据 。根 据 图 像 可 以 看 出 ， 未 来 几 年 里 ， 西 安 房 价 增 长 相 对 来 说 较 为 平 稳 ， 涨 幅 不 大 ； 有 较 明 显 上 升 趋 势 的 是 成 都 和 徐 州 的 房 价 ，在 未 来 几 年 里 ， 成 都 、 徐 州 、 西 安
23、 的 房 价 大 致 在 5000 元 左 右 ； 而 北 京 、 上 海 的 房 价 ， 从 08 年 起 有 很 明 显 的 上 升 趋 势 ，而 且 涨 幅 在 8000 10000 元 左 右 ， 若 没 有 国 家 政 策 等 特 别 因 素 影 响 ， 未 来 两 年 里 ， 仍 然 会 呈 现 出 持 续 增 高 的 趋 势 ， 并 且 涨幅 不 会 低 于 8000 元3-3 分析模型的结论3-3-1 房价上升对的社会一些影响近年来，房价不断攀升。我国部分地区已经出现了房地产过热，主要表现在房地产开发投资高速增长，房价持续飙升，上涨幅度已经远远超出经济总体增长水平及其它行业产品
24、与服务的涨升幅度。房价增长过快的趋势，不仅是房地产行业健康运行的突出矛盾，也是整个国民经济继续平稳发展的一个不稳定因素。通过分析以上统计数据，我们得出以下对于经济的影响：1.影响居民生活消费水平，严重影响民间创业积极性过热的房价导致居民消费支出减少，房价上涨过快在带动住房消费和家居类商品消费的同时，在一定程度上却抑制了其他消费，这种虚假的购买力，透支着中国未来的经济2.贫富差距拉大，财富过于集中，影响社会稳定。在房价过快增长的情况下，低收入阶层不仅没有能力购买可以增值的房产，反而会因为房价上涨过快而更加贫困。年 份 成 都 （ 元 ） 上 海 北 京 西 安 徐 州2011 年 4370.12
25、4 36832.59 38733.83 3907.134 4980.1322012 年 5027.225 47985.16 52515.21 3976.032 5527.37683加剧金融风险的聚集。房价持续上涨导致高房价，使居民购房不得不依赖银行金融支持。个人住房按揭贷款的增加使整个银行体系的风险累积，引起金融部门流动性下降和全社会金融风险的增加。4.拉高物价水平，提高了劳动力成本，降低了制造业的国际竞争力，境外资本炒做房产掏空国民财。5.晚婚情况会更加严重，甚至出现多数婚龄群体结不起婚的问题，影响社会稳定。6.加剧产业结构的不平衡。高房价与高利润使社会经济要素配置错位，致使房地产业投资居高
26、不下，并导致了上下游产业的畸形发展。3-3-2 就目前房价迅猛上涨，政府及有关部门可以从以下方面进行改善：1、切实调整住房供应结构，放缓一线城市的建设，加快二三四线城市的建设，完善城市公共配套措施。2、通过国家政策提高居民收入提高房价的合理性，不断发挥税收、信贷、土地政策的调节作用，加强国家的宏观调控。3、合理控制城市房屋拆迁的规模及进度，减缓被动性住房需求，防止民生建设的资本投资出现过热化。4、加强房地产行业的管理。虽然建房成本在房价中虽占有一定的比重，但是很大一部分价值处于开发商的非成本成分。所以合理优化房价，必须加强房地产行业管理。进一步严格房地产市场进入和退出制度，对开发企业资本、资金
27、、开发业绩等进行严格规定，并建立动态的考核体系，随时对房地产开发商进行监督，减少违规行为的发生并对地产企业经营行为进一步进行约束，从而促使房地产开发企业优胜劣汰，使其朝着有利于市场健康发展的方向投资。5、加快城镇廉价租住房的制度建设，规范经济适用房市场。建立住房保障基金，给中低收入家庭予以补贴，以帮助其实现购房意愿，可以鼓励置买二手房等，即政府必须完善廉租房建设计划。6、加强土地的管理。土地价格是房地产价格影响因素的重中之重，而我国目前关于土地方面的政策措施还有诸多不完备之处，针对这种状况，首先对土地政策措施提出建议。注意优化供地结构，加快存量地的盘活，以缓解房地产开发用地供应不足的压力。7、
28、完善房地产统计与信息披露制度，实现房地产开发商与消费者间的信息对称。3-3-3 对购房（新房）者提出一些建议：购房，无非考虑的就是地域条件和价格问题。 那么，首先要明确的就是购房动机。 比如， 确定购买来为自已居住； 或居住或观望价格上涨后转手售出； 直接买卖， 赚取差价等等情况。 前面分析我们知道， 影响房价的主要因素是房产成本和供需关系， 当然这是大的方面。 从小的方面讲就还有很多因素了， 这也是需要购房者加以考虑的因素像地理位置， 环境经济的发展程度区域发展前景等等 。都可以考虑进来。同样，这些因素也是针对不同人群而定的。9针对刚性购房者， 即买来就为了自己居住的人。 这一类的购房者不必
29、考虑太多的因素， 在排除价格因素之后只是环境及周边设施自已觉得满意即可， 任何时候想买都可以出手房地产价格长期趋势必然是向上的而且是螺旋上升的过程 。对于中低收入的家庭， 我们不建议去购买商品房， 而是去选择价格较低的保障性住房。 因为从影响房价的因素来考虑， 商品房的各项成本指标都会比普通保障性住房的高。 同时， 商品房往往会选择地理位置好的地段， 所以这也无形中抬高了成本。对于中长期的房地产投机者或投资者来说这一类人对于购置房产时要考虑的因素就多了。 他们需要结合多种制约因素， 主要从盈利的角度来考虑是否需要购买某处房产。 首先是分析建造成本， 房产能不能卖个好价钱， 建造的质量也是很关键
30、的。 在这一点的基础上， 再分析该地段房产价格的未来走势， 即是可以利用我们 在前面问题 中对房 价预测的数 学模型来预 测，利用科 学的方法分 析出未来。四 模型的评价1、本模型依赖于线性方程构建的想法，模型建立之后进行了修正得到的结果比较符合实际。方案简洁明了，易于操作；2、本模型建立过程中忽略了众多因素对房价的影响，导致模型的结果与真实值之间存在一定误差；3、模型建立过程中，适当在加入一些参数可能会使模型更加精细，更符合实际情况。4在大量数据中筛选出比较具有代表性的数据进行计算，在选取数据的时候能够比较具有针对性，比较能够反映近期的各因素和房价的走势，以此能够大致推算出未来的数据。5、收集的数据时间跨度不长，不能更完美地说明所求对象随时间变化的关系，预测未来的数值也具有偏大的不确定性。
