1、 新 课 程 论 坛 生 活 中 的 实 例 与 数 学 建 模吕 杨 春(江 苏 省 前 黄 高 级 中 学 , 213161)1985年 美 国 组 织 了 第 一 届 大 学 生 数 学 建模 竞 赛 (简 称 MCM ) ,成 为 世 界 上 第 一 个 举 办此 类 竞 赛 的 国 家 ,此 后 每 年 一 届 . 中 学 数 学 建模 和 大 学 建 模 不 同 , 大 学 数 学 建 模 涉 及 的 范围 较 为 广 泛 , 而 中 学 数 学 建 模 要 贴 近 中 学 生的 生 活 实 际 ,具 有 一 定 的 实 践 性 和 趣 味 性 ;大学 数 学 建 模 涉 及 的
2、数 学 知 识 较 高 , 而 中 学 数学 建 模 以 初 等 数 学 为 主 ,适 合 中 学 生 的 知 识 水对 一 切 正 整 数 k都 成 立 , 也 即 ( d2 - 2d) k4 +( 4a1 d - 2d2 ) k3 + ( 2a1 - d) ( 2a1 - d - 2) k2 =0对 一 切 正 整 数 k都 成 立 ,这 等 价 于d2 - 2d = 0,4a1 d - 2d2 = 0,( 2a1 - d) ( 2a1 - d - 2) = 0,解 之 得 a1 = 0,d = 0;或 a1 = 1,d = 0;或 a1 = 1,d = 2.故 有 3个 满 足 条 件
3、的 等 差 数 列 :an = 0, an = 1, an = 2n - 1.例 3 已 知 f ( ) = sin2 + sin2 ( + ) +sin2 ( + ) ,其 中 , 是 常 数 ,且 满 足 0 ,是 否 存 在 这 样 的 , ,使 f ( ) = 32 恒成 立 ?分 析 假 设 存 在 这 样 的 , ,使 f ( ) =32 成 立 . 由 f ( ) =32 整 理 得 关 于 的 方 程 有无 穷 解 ,即 可 获 解 .解 假 设 存 在 这 样 的 , ,使 f ( ) = 32成 立 ,则 由 f ( ) = 32 ,得1 - cos 22 +1 - cos
4、(2 + 2 )2 +1 - cos(2 + 2 )2 = 32 . ( 1 + cos 2 + cos 2 ) cos 2 - ( sin 2+ sin 2 ) sin 2 = 0对 任 意 都 成 立 ,即 方 程( 1 + cos 2 + cos 2 ) cos 2 - ( sin 2 +sin 2 ) sin 2 = 0有 无 穷 解 .0 ,1 + cos 2 + cos 2 = 0,sin 2 + sin 2 = 0.解 之 得 = 3 , = 23 . 故 存 在 这 样 的 , ,使f ( ) = 32 恒 成 立 .例 4 已 知 函 数 f ( x) = sin 2x +
5、acos 2x的 图 象 关 于 直 线 x = - 8 对 称 ,求 a的 值 .分 析 f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x = - 8对 称 , f - 8 + x = f - 8 - x 对 任 意 x都 成 立 . 整 理 后 利 用 关 于 x的 方 程 有 无 穷 解 即得 a的 值 .解 f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x = - 8 对称 , f - 8 + x = f - 8 - x , 即 ( a +1) sin 2x = 0对 任 意 x都 成 立 , a + 1 = 0,即a = - 1.74第 8期 高 中 数 学 教 与 学 1994-2010
6、China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/平 ,在 建 模 过 程 中 一 般 不 需 要 补 充 大 量 知 识即 可 入 手 .在 2003年 正 式 颁 布 的 普 通 高 中 新 课 程方 案 (试 验 ) 指 出 ,中 学 数 学 建 模 将 成 为 高 中数 学 的 一 个 专 题 课 程 . 这 一 变 化 ,凸 显 了 数 学的 应 用 价 值 , 反 映 了 社 会 生 活 的 各 个 方 面 对数 学 教 育 新 的 要 求 . 数 学 建 模 教 学 是 一
7、 个 引导 学 生 学 数 学 、 做 数 学 、 用 数 学 的 过 程 , 这 对于 提 高 学 生 数 学 素 质 , 培 养 创 新 能 力 大 有 益处 ,也 是 由 应 试 教 育 向 素 质 教 育 转 变 的 一 条有 效 途 径 . 目 前 ,中 学 数 学 建 模 教 学 的 最 大 困难 是 教 材 问 题 , 这 就 要 求 教 师 在 自 己 的 视 野范 围 内 因 地 制 宜 地 收 集 、 改 造 、 编 制 适 合 学 生使 用 ,从 而 贴 近 学 生 生 活 实 际 的 数 学 建 模 问题 ,同 时 注 意 问 题 的 开 放 性 与 可 扩 展 性 .
8、例 1 “ 马 能 否 跳 回 原 位 ” 问 题 :象 棋 盘 上有 一 只 马 (如 图 1) ,它 跳 七 步 能 回 到 原 来 的 位置 吗 ?探 究 建 立 直 角 坐 标 系 如 图 2,设 这 只 马的 坐 标 P ( x0 , y0 ) , 则 根 据 象 棋 规 则 中 的 马 的跳 法 ,则 P点 可 能 的 平 移 向 量 为( 1, 2) , ( 1, - 2) , ( - 1, 2) , ( - 1, - 2) ,( 2, 1) , ( 2, - 1) , ( - 2, 1) , ( - 2, - 1). 设 每 次 的 平 移 向 量 为( x1 , y1 ) ,
9、 ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) , ( x4 , y4 ) , ( x5 ,y5 ) , ( x6 , y6 ) , ( x7 , y7 ) ,当 马 跳 第 一 步 之 后 坐 标 为 ( x0 , y0 ) + ( x1 ,y1 ).当 马 跳 第 二 步 之 后 坐 标 为 ( x0 , y0 ) + ( x1 ,y1 ) + ( x2 , y2 ) 当 跳 完 7步 之 后 ,马 的 坐 标 即 为( x0 , y0 ) + ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) + ( x3 , y3 ) +( x4 , y4 ) + ( x5 , y5 ) + (
10、 x6 , y6 ) + ( x7 , y7 ) .若 能 回 到 原 位 ,则( x0 , y0 ) + ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) + ( x3 , y3 )+ ( x4 , y4 ) + ( x5 , y5 ) + ( x6 , y6 ) + ( x7 , y7 )= ( x0 , y0 ) ,即 ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) + ( x3 , y3 ) + ( x4 , y4 ) +( x5 , y5 ) + ( x6 , y6 ) + ( x7 , y7 ) = ( 0, 0) .平 移 向 量 ( xi , yi ) , i = 1,
11、2, 3, , 6, 7只 能在 中 取 ,但 是 若 把 中 的 8个 向 量 相 加 有 :( 1, 2) + ( 1, - 2) + ( - 1, 2) + ( - 1, - 2)+ ( 2, 1) + (2, - 1) + ( - 2, 1) + ( - 2, 1)= (0, 0).在 这 8个 向 量 中 , 任 意 去 掉 一 个 平 移 向量 ,都 不 能 使 向 量 和 为 ( 0, 0).综 上 ,在 实 际 操 作 中 ,马 跳 7步 不 能 回 到原 位 .思 考 :怎 么 样 才 能 使 马 跳 回 原 位 呢 ?如 果 要 让 马 能 跳 回 原 位 ,则 要 在 -
12、 1, 1, 2,- 2中 组 合 出 横 、 纵 坐 标 和 都 为 0的 平 移 向 量 ,而 且 由 于 每 个 平 移 向 量 的 横 坐 标 之 后 只 能 是1, - 1, 3, - 3. 进 而 分 析 得 :当 走 的 步 数 是 奇 数步 的 时 候 ,都 不 能 组 合 出 所 有 的 横 、 纵 坐 标 和都 为 0的 平 移 向 量 ,即 不 可 能 跳 回 原 位 . 如 果84高 中 数 学 教 与 学 2006年 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights res
13、erved. http:/这 只 马 跳 了 几 步 后 回 到 了 原 来 的 位 置 , 那 么它 跳 的 步 数 必 定 是 偶 数 .例 2 现 在 的 女 孩 子 都 喜 欢 穿 高 跟 鞋 ,是不 是 每 个 女 孩 都 适 合 穿 高 跟 鞋 ?高 跟 鞋 的 后跟 的 高 度 有 好 几 种 规 格 , 那 什 么 样 的 身 高 适宜 穿 什 么 样 的 规 格 ?这 些 都 是 有 讲 究 的 .研 究 表 明 , 当 一 个 人 的 下 肢 高 度 和 全 身高 的 比 例 正 好 是 黄 金 分 割 时 ,人 看 起 来 最 美 .设 某 女 孩 下 肢 躯 干 部 分
14、 长 为 X厘 米 ,身 高为 L厘 米 ,鞋 跟 高 D厘 米 ,我 们 知 道 黄 金 分 割5 - 12 0. 618.由 此 模 型 , 可 计 算 出 一 个 女 孩 子 应 该 穿多 高 的 鞋 子 .计 算 公 式 : X + DL + D = 0. 618.以 身 高 168厘 米 ,下 肢 长 为 102厘 米 的 人为 例 ,所 穿 鞋 子 高 度 ,与 好 看 程 度 的 关 系 可 由下 表 说 明 :身 高 下 肢 长 原 比 例 鞋 跟 高 现 比 例168 102 0. 607 143 2. 5 0. 612 903168 102 0. 607 143 3. 55
15、 0. 615 273168 102 0. 607 143 4. 5 0. 617 391168 102 0. 607 143 5 0. 618 497由 此 可 见 ,这 个 女 孩 最 适 宜 穿 5厘 米 高 后跟 的 高 跟 鞋 .我 们 也 可 以 计 算 出 一 个 关 于 鞋 跟 高 度 D的 一 个 公 式 :D = 0. 618L - X1 - 0. 618 = 0. 618L - X0. 382 .根 据 这 个 公 式 , 我 们 可 以 知 道 一 个 身 高153厘 米 ,下 肢 长 为 92厘 米 的 女 士 , 应 穿 6. 6厘 米 的 高 跟 鞋 显 得 比
16、较 美 .例 3 商 场 促 销 问 题 . 某 报 纸 上 报 道 了 两则 广 告 ,甲 商 厦 实 行 有 奖 销 售 :特 等 奖 10 000元 1名 ,一 等 奖 1 000元 2名 ,二 等 奖 100元 10名 ,三 等 奖 5元 200名 ,乙 商 厦 则 实 行 九 五 折 优惠 销 售 . 请 你 想 一 想 :哪 一 种 销 售 方 式 更 吸 引人 ?哪 一 家 商 厦 提 供 给 消 费 者 的 实 惠 大 ?分 析 在 实 际 问 题 中 ,甲 商 厦 每 组 设 奖销 售 的 营 业 额 和 参 加 抽 奖 的 人 数 都 没 有 限制 ,所 以 我 们 认 为
17、 这 个 问 题 应 该 有 几 种 答 案 . 若 甲 商 厦 确 定 每 组 设 奖 , 若 参 加 人 数较 少 ,少 于 213 (1 + 2 + 10 + 200 = 213人 ) 人 ,人 们 会 认 为 获 奖 机 率 较 大 , 则 甲 商 厦 的 销 售方 式 更 吸 引 顾 客 . 当 甲 商 厦 的 每 组 营 业 额 较 多 时 , 它 给顾 客 的 优 惠 幅 度 就 相 应 的 小 . 因 为 甲 商 厦 提供 的 优 惠 金 额 是 固 定 的 ,共 14 000元 ( 10 000+ 2 000 + 1 000 + 1 000 = 14 000) . 假 设 两
18、 商厦 提 供 的 优 惠 都 是 14 000元 ,则 可 求 乙 商 厦 的营 业 额 为 280 000 元 (14 000 5% =280 000) .所 以 由 此 可 得 :( 1) 当 两 商 厦 的 营 业 额 都 为 280 000元时 ,两 家 商 厦 所 提 供 的 优 惠 同 样 多 .( 2) 当 两 商 厦 的 营 业 额 都 不 足 280 000元时 ,乙 商 厦 的 优 惠 则 小 于 14 000元 ,所 以 这 时甲 商 厦 提 供 的 优 惠 仍 是 14 000元 ,优 惠 较 大 .( 3) 当 两 家 的 营 业 额 都 超 过 280 000元时
19、 ,乙 商 厦 的 优 惠 则 大 于 14 000元 ,而 甲 商 厦的 优 惠 仍 保 持 14 000元 时 ,乙 商 厦 所 提 供 的 实惠 大 .像 这 样 的 问 题 , 我 们 在 日 常 生 活 中 随 处可 见 . 例 如 , 有 两 家 液 化 气 站 , 已 知 每 瓶 液 化气 的 质 和 量 相 同 ,开 始 定 的 价 也 相 同 ,为 了 争取 更 多 的 用 户 ,两 站 分 别 推 出 优 惠 政 策 . 甲 站的 办 法 是 实 行 七 五 折 出 售 , 乙 站 的 办 法 是 对客 户 自 第 二 次 换 气 以 后 以 7折 销 售 . 两 站 的
20、优惠 期 限 都 是 一 年 , 你 作 为 用 户 , 应 该 选 哪 家好 ?组 织 数 学 建 模 教 学 , 要 注 意 培 养 学 生 的兴 趣 ,引 导 学 生 用 数 学 知 识 解 决 生 活 中 的 实际 问 题 . 在 教 学 过 程 中 还 要 重 视 教 材 ,深 入 钻研 教 材 ,教 材 中 几 乎 每 年 都 有 一 定 量 及 具 有典 型 性 的 数 学 建 模 素 材 ,靠 我 们 去 发 掘 ,并 从中 总 结 出 数 学 建 模 思 想 , 如 可 以 用 数 列 思 想解 决 分 期 贷 款 的 还 款 问 题 .94第 8期 高 中 数 学 教 与 学 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/
