1、第 1 页（共 11 页）高一 11.21 作业：指数与对数的综合一选择题（共 5 小题）1 （2015四川）某食品保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位：）满足函数关系 y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k，b 为常数） 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是（ ）A16 小时 B20 小时 C24 小时 D28 小时2 （2015天津）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2 |xm|1（m 为实数）为偶函数，记 a=f（log 0.53） ，b=f（log 25） ，c=f（2m ） ，则 a，b，c
2、 的大小关系为（ ）Aabc Bc ab Ca cb Dcba3 （2014河北模拟）设 a1，函数 f（x）=log ax 在区间a，2a 上的最大值与最小值之差为 ，则 a=（ ）A B2 C D44 （2014山东）已知函数 y=loga（x+c） （a ，c 为常数，其中 a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）Aa1，c1 Ba 1，0c1 C0a 1，c1 D0a1，0c15 （2012河北）当 0x 时， 4xlog ax，则 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （ ， 1） C （1， ） D （ ，2）二填空题（共 7 小题）6 （2015福建）若函数 f（
3、x）=2 |xa|（aR）满足 f（1+x）=f（1 x） ，且 f（x）在m，+）上单调递增，则实数m 的最小值等于 7 （2015上海）方程 log2（9 x15）=log 2（3 x12）+2 的解为 8若函数 f（x）= （a 0 且 a1）的值域是 4，+） ，则实数 a 的取值范围是 9 （2015上海）设 f1（x）为 f（x）=2 x2+ ，x 0，2的反函数，则 y=f（x）+f 1（x）的最大值为 10 （2008天津）设 a1，若仅有一个常数 c 使得对于任意的 xa，2a ，都有 ya，a 2满足方程logax+logay=c，这时 a 的取值的集合为 第 2 页（共
4、11 页）11 （2006江西）设 f（x）=log 3（x+6）的反函数为 f1（x） ，若f 1（m）+6 f 1（n）+6 =27，则 f（m+n ）= 12 （2005北京）设函数 f（x）=2 x，对于任意的 x1，x 2（x 1x2） ，有下列命题f（x 1+x2）=f（x 1）f（x 2） ；f（x 1x2）=f（x 1）+f（x 2） ； ；其中正确的命题序号是 三解答题（共 3 小题）13 （2011上海）已知函数 f（x）=a2 x+b3x，其中常数 a，b 满足 ab0 （1）若 ab0，判断函数 f（x）的单调性；（2）若 ab0，求 f（x+1）f（x）时的 x 的取
5、值范围14 （2010上海）已知函数 f（x）=log a（82 x） （a0 且 a1）（1）若函数 f（x）的反函数是其本身，求 a 的值；（2）当 a1 时，求函数 y=f（x）+f（x）的最大值15 （2006重庆）已知定义域为 R 的函数 是奇函数（）求 a，b 的值；（）若对任意的 tR，不等式 f（t 22t）+f（2t 2k）0 恒成立，求 k 的取值范围第 3 页（共 11 页）第 4 页（共 11 页）高一 11.21 作业：指数与对数的综合参考答案与试题解析一选择题（共 5 小题）1 （2015四川）某食品保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位：）满足函数关系 y
6、=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k，b 为常数） 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是（ ）A16 小时 B20 小时 C24 小时 D28 小时【考点】指数函数的实际应用菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出 ek，e b 的值，运用指数幂的运算性质求解 e33k+b 即可【解答】解：y=e kx+b （e=2.718为自然对数的底数，k，b 为常数） 当 x=0 时，e b=192，当 x=22 时 e22k+b=48，e22k= =e
7、11k=eb=192当 x=33 时，e 33k+b=（e k） 33（e b）=（ ） 3192=24故选：C【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解2 （2015天津）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2 |xm|1（m 为实数）为偶函数，记 a=f（log 0.53） ，b=f（log 25） ，c=f（2m ） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bc ab Ca cb Dcba【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性得出 f（x）=2 |x|1= ，利用单调性
8、求解即可【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）=2 |xm|1（m 为实数）为偶函数，f（ x）=f（x） ，m=0，f（ x）=2 |x|1= ，f（ x）在（0，+ ）单调递增，第 5 页（共 11 页）a=f（log 0.53）=f（log 23） ，b=f（log 25） ，c=f （2m）=f（0）=0，0log 23log 25，cab，故选：B【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题3 （2014河北模拟）设 a1，函数 f（x）=log ax 在区间a，2a 上的最大值与最小值之差为 ，则 a=（ ）A B2 C D4【考点】对数函数的单
9、调性与特殊点菁优网版权所有【分析】因为 a1，函数 f（x）=log ax 是单调递增函数，最大值与最小值之分别为 loga2a、log aa=1，所以loga2alogaa= ，即可得答案【解答】解a1，函数 f（x）=log ax 在区间a，2a 上的最大值与最小值之分别为 loga2a，log aa，loga2alogaa= ， ，a=4，故选 D【点评】本题主要考查对数函数的单调性与最值问题对数函数当底数大于 1 时单调递增，当底数大于 0 小于 1时单调递减4 （2014山东）已知函数 y=loga（x+c） （a ，c 为常数，其中 a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（
10、 ）Aa1，c1 Ba 1，0c1 C0a 1，c1 D0a1，0c1【考点】对数函数图象与性质的综合应用菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：函数单调递减，0a1，当 x=1 时 loga（x+c）=log a（1+c）0，即 1+c1，即 c0，当 x=0 时 loga（x+c）=log ac0，即 c1，即 0c 1，故选：D【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础5 （2012河北）当 0x 时， 4xlog ax，则 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （ ， 1） C （1
11、， ） D （ ，2）【考点】对数函数图象与性质的综合应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题第 6 页（共 11 页）【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：0x 时，14 x2要使 4xlog ax，由对数函数的性质可得 0a1，数形结合可知只需 2log ax，即 对 0x 时恒成立解得 a1故选 B【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题二填空题（共 7 小题）6 （2015福建）若函数 f（x）=2 |xa|（aR）满足 f（1+x）=f（1 x） ，且 f（x）在m，+）上
12、单调递增，则实数m 的最小值等于 1 【考点】指数函数单调性的应用菁优网版权所有【专题】开放型；函数的性质及应用【分析】根据式子 f（1+x ）=f（1 x） ，对称 f（x）关于 x=1 对称，利用指数函数的性质得出：函数 f（x）=2|xa|（aR ） ，x=a 为对称轴，在1，+）上单调递增，即可判断 m 的最小值【解答】解：f（1+x）=f（1 x） ，f（ x）关于 x=1 对称，函数 f（x）=2 |xa|（a R）第 7 页（共 11 页）x=a 为对称轴，a=1，f（ x）在1，+）上单调递增，f（ x）在m，+）上单调递增，m 的最小值为 1故答案为：1【点评】本题考查了指数
13、型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题7 （2015上海）方程 log2（9 x15）=log 2（3 x12）+2 的解为 2 【考点】对数的运算性质菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【解答】解：log 2（9 x15）=log 2（3 x12）+2，log 2（9 x15）=log 24（3 x12），9x15=4（3 x12） ，化为（3 x） 2123x+27=0，因式分解为：（3 x3） （3 x9） =0，3x=3，3 x=9，解得 x=1 或 2经过验证：x=1 不满足
14、条件，舍去x=2故答案为：2【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题8 （2015福建）若函数 f（x）= （a 0 且 a1）的值域是4，+） ，则实数 a 的取值范围是 （1，2 【考点】对数函数的单调性与特殊点菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】当 x2 时，满足 f（x）4当 x2 时，由 f（x）=3+log ax4，即 logax1，故有 loga21，由此求得 a 的范围【解答】解：由于函数 f（x） = （a 0 且 a1）的值域是4，+） ，故当 x2 时，满足 f（x）4当 x2 时，由 f（x）=3+log ax4
15、，log ax1，log a21，1 a2，故答案为：（1，2【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题第 8 页（共 11 页）9 （2015上海）设 f1（x）为 f（x）=2 x2+ ，x 0，2的反函数，则 y=f（x）+f 1（x）的最大值为 4 【考点】反函数菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】由 f（x）=2 x2+ 在 x0，2 上为增函数可得其值域，得到 y=f1（x）在 上为增函数，由函数的单调性求得 y=f（x）+f 1（x）的最大值【解答】解：由 f（x）=2 x2+ 在 x0，2 上为增函数，得其值域为 ，可得 y=f1（x）在
16、 上为增函数，因此 y=f（x）+f 1（x）在 上为增函数，y=f（x）+f 1（x）的最大值为 f（2）+f 1（2）=1+1+2=4故答案为：4【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题10 （2008天津）设 a1，若仅有一个常数 c 使得对于任意的 xa，2a ，都有 ya，a 2满足方程logax+logay=c，这时 a 的取值的集合为 2 【考点】对数的运算性质；函数单调性的性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由 logax+logay=c 可以用 x 表达出 y，转化为函数的值域问题求解【解答】解：log ax+logay=c
17、， =cxy=ac得 ，单调递减，所以当 xa，2a 时，所以 ，因为有且只有一个常数 c 符合题意，所以 2+loga2=3，解得 a=2，所以 a 的取值的集合为2故答案为：2【点评】本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力11 （2006江西）设 f（x）=log 3（x+6）的反函数为 f1（x） ，若f 1（m）+6 f 1（n）+6 =27，则 f（m+n ）= 2 【考点】反函数；函数的值菁优网版权所有【专题】创新题型【分析】先求出 f（x）=log 3（x+6）的反函数为 f1（x） ，由f 1（m）+6 f 1（n）+6=27，第 9 页（共 11 页）解出 m+n
18、，进而求出 f（m+n） 【解答】解：f 1（x）=3 x6故f 1（m）+6 f 1（x） +6=3 m3n =3m+n =27，m+n=3，f（ m+n）=log 3（3+6）=2 故答案为 2【点评】本题考查反函数的求法及求函数值是基础题12 （2005北京）设函数 f（x）=2 x，对于任意的 x1，x 2（x 1x2） ，有下列命题f（x 1+x2）=f（x 1）f（x 2） ；f（x 1x2）=f（x 1）+f（x 2） ； ；其中正确的命题序号是 【考点】指数函数的图像与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对进行逐一进行判定即可【
19、解答】解： = ，所以对于成立，+ ，所以对于 不成立，函数 f（x）=2 x，在 R 上是单调递增函数，若 x1x 2 则 f（x 1）f（x 2） ，则 ，若 x1x 2 则 f（x 1）f（x 2） ，则 ，故正确说明函数是凹函数，而函数 f（x）=2 x 是凹函数，故正确故答案为：【点评】本题考查指数函数的性质，指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质三解答题（共 3 小题）13 （2011上海）已知函数 f（x）=a2 x+b3x，其中常数 a，b 满足 ab0 （1）若 ab0，判断函数 f（x）的单调性；（2）若 ab0，求 f（
20、x+1）f（x）时的 x 的取值范围【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点菁优网版权所有【专题】计算题第 10 页（共 11 页）【分析】 （1）先把 ab0 分为 a0，b0 与 a0，b 0 两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断（2）把 ab0 分为 a0，b 0 与 a0，b0 两种情况；然后由 f（x+1）f（x）化简得 a2x2b3 x，再根据a 的正负性得 或 ；最后由指数函数的单调性求出 x 的取值范围【解答】解：（1）若 a 0，b0，则 y=a2x 与 y=b3x 均为增函数，所以 f（x）=a2 x+b3x 在 R 上为增函数；若 a0，b 0，则
21、 y=a2x 与 y=b3x 均为减函数，所以 f（x）=a2 x+b3x 在 R 上为减函数（2）若 a 0，b0，由 f（x+1）f（x）得 a2x+1+b3x+1a2 x+b3x，化简得 a2x2b3 x，即 ，解得 x ；若 a0，b 0，由 f（x+1）f（x）可得 ，解得 x 【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法14 （2010上海）已知函数 f（x）=log a（82 x） （a0 且 a1）（1）若函数 f（x）的反函数是其本身，求 a 的值；（2）当 a1 时，求函数 y=f（x）+f（x）的最大值【考点】反函数；函数的最值及其几何意义菁优网版权所有【专题】计
22、算题【分析】 （1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出 a 的值（2）当 a1 时，先求出函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式求出最值【解答】解：（1）函数 f（ x）=log a（8 2x） ，82 x =af（x） ，x= ，故反函数为 y= ，log a（82 x）= ， a=2（2）当 a1 时，由题意知，8 2x0， x3，函数 y=f（x）+f（x）的定义域（ 3，3） ，函数 y=f（x）+f（ x）=log a（8 2x）+ = ，2x+2x2，当且仅当 x=0 时，取等号0658（2 x+2x ）49，当 a1 时，函数 y=f（x）+f（x
23、）在 x=0 处取得最大值 loga49【点评】本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，基本不等式的应用第 11 页（共 11 页）15 （2006重庆）已知定义域为 R 的函数 是奇函数（）求 a，b 的值；（）若对任意的 tR，不等式 f（t 22t）+f（2t 2k）0 恒成立，求 k 的取值范围【考点】指数函数单调性的应用；奇函数菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （）利用奇函数定义，在 f（x）=f（x）中的运用特殊值求 a，b 的值；（）首先确定函数 f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式 f（t 22t）+f（2t 2k）0 转化为关于 t 的一元二次不等式，最
24、后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围【解答】解：（）因为 f（ x）是奇函数，所以 f（0）=0 ，即又由 f（1）= f（ 1）知 所以 a=2，b=1经检验 a=2，b=1 时， 是奇函数（）由（）知 ，易知 f（x）在（，+）上为减函数又因为 f（x）是奇函数，所以 f（t 22t）+f（2t 2k）0等价于 f（t 22t） f（2t 2k）=f（k2t 2） ，因为 f（x）为减函数，由上式可得： t22tk2t 2即对一切 tR 有： 3t22tk0，从而判别式 所以 k 的取值范围是 k 【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略
