1、1第一课时根式及分数指数幂1整数指数幂的概念 奎 屯王 新 敞新 疆*)(Nnaan个奎 屯王 新 敞新 疆)0(0*),0(1Nnan2运算性质： 奎 屯王 新 敞新 疆)()(,Znbamnnm3注意 可看作 = = 奎 屯王 新 敞新 疆nmnmnmanma 可看作 = = 奎 屯王 新 敞新 疆nba)(nbn)(nb二、讲解新课：1根式：计算（可用计算器） = 9 ，则 3 是 9 的平方根 ；2 =125 ，则5 是125 的立方根 ；3)(若 =1296 ，则 6 是 1296 的 4 次方根 ；46 =693.43957 ，则 3.7 是 693.43957 的 5 次方根 .
2、57.3定义：一般地，若 则 x 叫做 a 的 n 次方根 奎 屯王 新 敞新 疆*),1(Nnaxn叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数 奎 屯王 新 敞新 疆a例如，27 的 3 次方根表示为 ，-32 的 5 次方根表示为 ， 的 3 次327526a方根表示为 ；16 的 4 次方根表示为 ，即 16 的 4 次方根有两个，6 4162一个是 ，另一个是- ，它们绝对值相等而符号相反.416416性质：当 n 为奇数时：正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数 奎 屯王 新 敞新 疆记作： 奎 屯王 新 敞新 疆nax当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个（互为相反
3、数） 奎 屯王 新 敞新 疆记作： 奎 屯王 新 敞新 疆n负数没有偶次方根， 0 的任何次方根为 0 奎 屯王 新 敞新 疆注：当 a 0 时， n0，表示算术根，所以类似 416=2 的写法是错误的.常用公式根据 n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：当 n 为任意正整数时，( na) =a.例如，( ) =27，( ) =-32.327532当 n 为奇数时， =a；当 n 为偶数时， =|a|= .na)0(例如， =-2， =2； =3， =|-3|=3.3)2(5432)(根式的基本性质： ， （a 0）.nmnp注意，中的 a 0 十分重要，无此条件则公式不成立. 例如 .
4、3628)(用语言叙述上面三个公式：非负实数 a 的 n 次方根的 n 次幂是它本身. n 为奇数时，实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 本身；n 为偶数时，实数 a 的 n次幂的 n 次方根是 a 的绝对值.若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.三、讲解例题：例 1 求值 = -8 ；3)8( = |-10| = 10 ；203 = | | = ；44)3(3 = |a- b| = a- b .2ba去掉ab结果如何？练习求值： 63125.2)( ;24371分析：（1）题需把各项被开方数变为
5、完全平方形式，然后再利用根式运算性质；解： 负 去 掉 绝 对 值 符 号 。上 绝 对 值 ， 然 后 根 据 正注 意 ： 此 题 开 方 后 先 带2)2(33| )()( )2(2)3(2)2(324676)( 奎 屯王 新 敞新 疆63232332125.)(2666引例：当 a0 时 奎 屯王 新 敞新 疆510251)(a 奎 屯王 新 敞新 疆3432 奎 屯王 新 敞新 疆2)(a4 奎 屯王 新 敞新 疆2121)(aa上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子、用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义 .正数的正分数指数幂的意义(a0,
6、m,nN *,且 n1) 奎 屯王 新 敞新 疆nm要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂作如下规定.2.规定：(1) (a0， m,nN *,且 n1) 奎 屯王 新 敞新 疆nm1(2)0 的正分数指数幂等于 0.(3)0 的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a0 时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质: 奎 屯王 新 敞新 疆)()(,Qnbamnnm说明：
7、若 a0， P 是一个无理数，则 表示一个确定的实数，上述有理指数pa幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.三、讲解例题：例 2 求值： .43213)86(,0,8解： 奎 屯王 新 敞新 疆)(2335奎 屯王 新 敞新 疆827)3()2(816( 64)41010)(1043)3(23)(2 练习用分数指数幂的形式表示下列各式：(式中 a0) 奎 屯王 新 敞新 疆aa,322解： 奎 屯王 新 敞新 疆251 奎 屯王 新 敞新 疆43213212332)(aa例 3 计算下列各式（式中字母都是正数） .)(2);()61834 65131212nmbb分析
8、：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号 奎 屯王 新 敞新 疆（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤 奎 屯王 新 敞新 疆解 abba4)3(6)()(106531212132323841)()nmn练习：计算下列各式： 4325)15)(;0分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算 奎 屯王 新 敞新 疆（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算 奎 屯王 新 敞新 疆6解：第二课时分数指数幂的应用1根式的运算性质：当 n 为任意正整数时，( na) =a.当 n 为奇数时， =a；当 n 为偶数
9、时， =|a|= .na)0(根式的基本性质： ， （a 0）.mnp2分数指数幂的运算性质： )()(,Qnbanmn二、讲解范例：例 1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1) （） （） 43 a32)(ba（） （） （6）3)(ba32b43解：（） 17414a(2) 87142822)( aaa (3) 332)(b65321232)1(aa .555)(12412541232437（） 4343)()(ba（） 31232b（） 2134343 )()()( ba例 3 计算下列各式： ； (a0).45)12(32解：原式= 451243124414123 5
10、)( = ；154125原式= .6532321aa例 4 化简： )()(4121yxyx41414121 )()(yxyx例 5 已知 x+x-1=3,求下列各式的值： .)2(,)1(2312xx50352)()(1212112121xxx所 以 得又 由852)13(1) )2()()2(22111323xxxx （第三课时指数函数引例 1（P57）：某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，x细胞个数：2，4，8，16，y由上面的对应关系可知，函数关系是 .
11、x2引例 2：某种商品的价格从今年起每年降低 15%，设原来的价格为 1，x 年后的价格为 y，则 y 与 x 的函数关系式为 奎 屯王 新 敞新 疆xy85.0在 , 中指数 x 是自变量，底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量.85.0我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量的函数叫做指数函数.二、新授内容：1指数函数的定义：函数 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R 奎 屯王 新 敞新 疆)10(ayx且探究 1：为什么要规定 a0,且 a 1 呢？若 a=0，则当 x0 时， =0；当 x 0 时， 无意义. xxa若 a0 且 a1 奎
12、屯王 新 敞新 疆 在规定以后，对于任何 x R，都有意义，且 0. 因此指数函数的定义域是 R，值域是 (0,+).xaxa探究 2：函数 是指数函数吗？y3指数函数的解析式 y= 中， 的系数是 1.xxa有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 y= +k (a0 且 a 1，k Z)；有xa些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 y= (a0,且 a 1)，因为它可以化为 y= ，其中 0，且 1xa1a2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数 y= ，y= ，y= ，y= 的图象.x2xx10x列表如下：x -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 y=2 0.
13、13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 y= 1 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 x -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 10y= x10 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 y= 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 我们观察 y= ，y= ，y= ，y= 的图象特征，就可以得到x2x1x0x1的图象和性质 奎 屯王 新 敞新 疆)0(ayx且a1 01，所以函数 y= 在 R 是增函数，而x.2.5-0.2，所以， 1；
14、3.0711.93.232.82.62.42.21.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5fx = 1.7x 3.232.82.62.42.21.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4fx = 0.9x小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.例 3，求下列函数的定义域、值域： 奎 屯王 新 敞新 疆14.0xy153xy12
15、xy54.543.532.521.510.5-0.5-2 -1 1 2 3 4 5 6fx = 17x1.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-1.5 -1 -0.5 0.5 1fx = 0.8x12分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象 奎 屯王 新 敞新 疆 注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x 的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆解（1）由 x-10 得 x1所以，所求函数定义域为x|x1由 ，得 y1 奎 屯王 新 敞新 疆所以，所求函数值域为y|y0 且 y1 奎 屯王 新 敞新 疆说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可
16、以令 ，考察指数函数 y=tx1,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理 奎 屯王 新 敞新 疆t4.0（2）由 5x-10 得 奎 屯王 新 敞新 疆51x所以，所求函数定义域为x| 奎 屯王 新 敞新 疆x由 0 得 y115x所以，所求函数值域为y|y1 奎 屯王 新 敞新 疆（3）所求函数定义域为 R 奎 屯王 新 敞新 疆由 0 可得 +11 奎 屯王 新 敞新 疆x2x所以，所求函数值域为y|y1 奎 屯王 新 敞新 疆练习：求下列函数的定义域和值域： xay131)2(xy解：要使函数有意义，必须 , 01xax当 时 ； 当 时 0x 值域为 xax 1y要使函数有意义，必
17、须 即 033x 031x)21()(xy又 值域为 y,0例 4比较大小： ,32)5.(54).(0x13已知下列不等式，试比较 m、n 的大小：m 1 00 得 +10, +1021x21x12x所以 0 时，将指数函数 y= 的图象向右平行移动 m 个单位长度，就得到函数 y=987654321-6 -4 -2 2 4 6 83 01 31987654321-6 -4 -2 2 4 6 853 01 31163.532.521.510.5-0.5-3 -2 -1 1 2 31 D的图象；当 m1）的图像在直线 x=1 右侧的部分翻折到直线 x=1 左12x侧得到 的图像，是关于直线 x
18、=1 对称1xy3.532.521.510.5-0.5-3 -2 -1 1 2 3D17推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：函 数 y=f(x)y=f(x+a) a0 时，向左平移 a 个单位；a0 时，向上平移 a 个单位；a0 时，向下平移|a|个单位.y=f(-x) y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称.y=-f(x) y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称.y=-f(-x) y=
19、-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点轴对称.y=f(|x|) y=f(|x|)的图象关于 y 轴对称，x 0 时函数即 y=f(x)，所以 x0时的图象与 x 0 时 y=f(x)的图象关于 y 轴对称.y=|f(x)| ，y=|f(x)|的图象是 y=f(x).)(,)(fffy；0 与 y=f(x)0 图象的组合.y )(1xfy= 与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称.)(1xf探讨函数 和 的图象的关系，并证明关于 y 轴xay)10a且对称 奎 屯王 新 敞新 疆 证：设 P( , )是函数 的图象上任意一点1x)(且则 而 P( , )关于 y 轴的对称点 Q 是(- , ) 奎 屯王 新 敞新 疆xay1 1xy 即 Q 在函数 的图象上 奎 屯王 新 敞新 疆)(11xa由于 P 是任意取的,所以 上任一点关于 y 轴的对称点都在 的图xyxay象上 奎 屯王 新 敞新 疆同理可证： 图象上任意一点也一定在函数 的图象上xay x 函数 和 的图象关于 y 轴对称 奎 屯王 新 敞新 疆
