1、1第九章部分习题解答92解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重力。如图（a）所示，假设重物 的加速gM21, 2度 的方向竖直向下，则重物 的加速度 竖直向11a上，两个重物惯性力 为I21,F1IaFI（a）该系统有一个自由度，假设重物 有一向下的虚位2移 ，则重物 的虚位移 竖直向上。由动力学普遍方程有 2x1M1x（a）（b）02I1I21 FgW根据运动学关系可知（c）21x21a将(a)式、(c)式代入(b) 式可得，对于任意 有02x（b）212m/s8.4gMa方向竖直向下。取重物 为研究对象，受力如图（ b）所示，由牛顿第二定律有 2
2、2aMTg解得绳子的拉力 。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。N1.56T94解：如图所示该系统为保守系统，有一个自由度，取 为广义坐标。系统的动能为2)(21RlmTM1gM2gFI2FI1 x2 x1M2gTa22取圆柱轴线 O 所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为 cos)(sinRlmgV拉格朗日函数 ，代入拉格朗日方程TL0)(dt整理得摆的运动微分方程为。0sin)(2gRl96解：如图所示，该系统为保守系统，有一个自由度，取弧坐标 为广义坐标。系统的动s能为21SmT取轨线最低点 O 所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为ghV由题可知 ，因此有 。则拉格
3、朗日函数bsds4inbsdSo842221smgVTL代入拉格朗日方程 ，整理得摆的运动微分方程为 。解得质点0)(sdt 04sbg的运动规律为 ，其中 为积分常数。)21in(0tbgAs 0,A913解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度 绕铅垂轴 AB 转动，该系统有一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能为零势面h 零势面322)sin(1)(rmrT如图所示，取 为零势位，图示瞬时系统的势能为0)cos1(mgrV则拉格朗日函数 )cos1()sin(222 mgrrTL代入拉格朗日方程 ，整理得质点的运0)(Ldt动微分方程为 sin)co(2rg2.求维持圆环
4、作匀速转动的力偶 M如果求力偶 ，必须考虑圆环绕铅垂轴 AB 的一般转动。因此解除 “圆环绕铅垂轴AB 匀速 转动 ”这一约束，将力偶 视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度 和圆环绕轴 AB 的转角 为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以 代替 ，则拉格朗日函数为 )cos1()sin(2122 mgrmrVTL力偶 为非有势力，它对应于广义坐标 和 的广义力计算如下：取 ，M 0,在这组虚位移下力偶 所做的虚功为 ，因此力偶 对应于广义坐标 的广义0WM力 ；取 ，在这组虚位移下力偶 所做的虚功为 ，0Q0, W因此力偶 对应于广义坐标 的广义力 。QM代入拉格朗日方程 ，整理可得0
5、)(Ldtsinrg代入拉格朗日方程 ，整理可得MQLdt)(零势位4Mmrr2sinsin2圆环绕铅垂轴 AB 以匀速 转动，即 ，代入上式可得 。0,2sinmr914解： 以刚体为研究对象，有一个自由度。如图（a ）所示，取 和 OC 的夹角 为广义GO3坐标。若以框架 为动系，则刚体的相对运动是以角速度 绕轴 的定轴转动，OC21 21牵连运动是以角速度 绕 轴的定轴转动，绝对角速度 是 和 的矢量和。以a为 轴， 为 轴，建立一个固连在刚体上的坐标系，该刚体的角速度 可表21OxG3y a示成 a zjisinco（a） （b）由于坐标系 的三个坐标轴为过 点的三个惯量主轴，则系统的
6、动能为zyxO3 3O)sin()cos(212322JJT取 为零势位，图示瞬时系统的势能为 ，则拉格朗日函数0 1mglV)cos1()si()cs( 23221 glJJVL代入拉格朗日方程 ，整理可得物体的运动微分方程为0)(Ldt sincosin)(321 mglJJxzy zGO3垂直于 O1O2 的平面y5915解：框架（质量不计）以匀角速度 绕铅垂边转动，系统有一个自由度，取 AB 杆与铅垂边的夹角 为广义坐标。若以框架为动系，AB 杆上任意一点的速度是该点相对于框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直, 因此杆 AB 的动能可表示为相对于框
7、架运动的动能和随框架转动的动能之和。如图所示，AB 杆相对于框架作平面运动， “速度瞬心”为 O 点，设 AB 杆的质心为 C，由几何关系可知，则质心为 C 的速度大小为 。杆 AB 相对于框架运动的动能lBOCAlv2221 3)(1mllmvT杆 AB 随框架转动的动能 2202sin)sin(lxdl系统的动能 。21T假设 时杆势能为零，则任意位置系统的09势能为 。则拉格朗日函数cosmglV cos)sin(3222mglmlVTL代入拉格朗日方程 ，整理得系统的运动微分方程0)(dt 0sin3cosin42gl由于角 描述的是杆 AB 相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相
8、对运动微分方程。917解：取楔块 A，B 构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块 A 水平滑动的位移 ，以及楔块 B 相对于 A 滑动的位移 为广义坐标。若以楔块 A 为动系，则楔块 A 的速xs度 ，楔块 B 的速度 ，以及 B 相对于 Avv的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）COxsAvBr6BrAv系统的动能为 )sin()co(221 221B sxgPmT 2221cos)(gxPg取过 轴的水平为零势面，某瞬时系统的势能为 。则拉格朗日函数x sin2PVsin1co1)(21 222gxgxgVTL 水平力 对应于广义坐标 和 的广义力计算如下：取 ，在这组虚
9、位移Fs 0,下力 所做的虚功为 ，因此力 对应于广义坐标 的广义力 ；取xFW xFQx，在这组虚位移下力 所做的虚功为 ，因此力 对应0,sx sFWsco于广义坐标 的广义力 。cosQFs代入拉格朗日方程 ，整理可得xLdtF)(（a）FgsPco)21代入拉格朗日方程 ，整理可得)(QsLdtF（b）gxP)sinco(co222 由方程（a） 、 （b）解得楔块 A 的加速度： ，方向水平向右。siins21AFa楔块 B 的相对加速度： ，方向沿斜面向上。gPs)si(nco212Br 918解：取楔块 ABC 和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔7块
10、水平滑动的位移 ，以及圆柱的转角 （A 点 =0）为广义坐标。若以楔块为动系，则x楔块的速度 ，圆柱轴心 O 的速度 ，Avov以及轴心 O 相对 A 的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）rv圆柱在斜面上作纯滚动有： 。系rOr统的动能为 212O12A)(rmvmT212212 4)sin()cos( rmrx2112143)( mrm取过楔块上 A 点的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为 sin1rgV则拉格朗日函数 sin43cos)(21 121121 rgmrxrmxVTL 代入拉格朗日方程 ，整理可得0)(Ldt（a）0cos)(1rx代入拉格朗日方程 ，整理可得0)(L
11、dt（b）sin2co3gxr求解方程（a） 、 （b）得楔块的加速度： ，方向水平向左。mxa21cos)(3in圆柱的角加速度： ，顺时针方向。gr)(i221xAvOr零势面8921解：以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度（如图所示） 。设重物 的坐标为 ，重物 相对于滑轮 B 的轮心的位置为 。系统的动能1M1x2 2x为 2132121 )()(2xmxmT 21323221321 )()()( xx设 时系统的势能为零，则任意位置系统的势能为021x )()(213121 xgmxgmV23(拉格朗日函数 21323221321 )()()( xmx
12、xVTL 2321321 gmgm代入拉格朗日方程 ，整理可得0)(1xLdt（a）0)()( 321232321 g代入拉格朗日方程 ，整理可得0)(2xLdt（b）0)()( 3213232 gmm由方程（a） 、 （b）解得重物 的加速度1M，gxa323211 4)(初始时刻系统静止，若使 下降则 ，即： 。101321mx1x29922解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取平台的水平坐标 ，以及物体 相xM对于平台的坐标 （弹簧原长为坐标原点）为广义坐标。系统的动能为s221)(xgPT22211)( sPg设初始时刻势能为零，则任意时刻系统的势能为 21ksV则拉格朗日函
13、数 22221 1)( ksPgsxPgTL 水平力 对应于广义坐标 和 的广义力计算如下：取 ，在这组虚位移Fxs 0,下力 所做的虚功为 ，因此力 对应于广义坐标 的广义力 ；取FWx xFQx，在这组虚位移下力 所做的虚功为 ，因此力 对应于广义坐0,sx sW标 的广义力 。FsQ代入拉格朗日方程 ，整理可得FQxLdt)(（a）gsPx21)(代入拉格朗日方程 ，整理可得0)(FsLsdt（b）02kgsx由方程（a）)可得： （c）P)()(2121代入方程（b）得： （d）FgkssPxs0l10解微分方程（d）得： ，其中，： 。)(cos)(2121PkFptPkFs 212
14、)(Pkgp求导得： ，代入方程（c）可得ptPFgso1平台的加速度： ，方向水平向右；)cos1(2211 ptPgFxa物体 M 的加速度： ，方向水平向右。)(212 ts927解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块的水平坐标 ，以及杆 AB 与铅垂方向的夹角 为x广义坐标。如图所示，系统的动能为 2B2A1vmT)sin()cos(2221 llx2221 1)( lmlm设 时势能为零，图示瞬时系统的势能为 。拉格朗日函数0 )cos1(2glV(cos)(21 2222 llxlxVTL 拉格朗日函数中不显含广义坐标 和时间 t，存在循环积分和广义能量积分，即常数c
15、s)(21lmxx常数 )cos1(1o)(2 22221 glmllVT928AvBAv11解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块 B 沿斜面的坐标 ，以及杆sOD 与铅垂方向的夹角 为广义坐标。如图所示，杆 OD 作平面运动，有CBv则系统的动能为 2B212C1)(mlvmT 221221 4)cos()sin( smll 21121 6)()( lmlm设 时势能为零，某时刻系统的09,s势能为 2211 1sin)(cos2kgmlgmV拉格朗日函数 中不显含时间 t，存VTL在广义能量积分，即常数。929解：以圆柱和圆筒构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取 为广义坐标。系统的动能为, 22O120 )(1mrvRmT其中： 。圆柱相对于圆筒作纯滚动，)(O1rv由圆柱轴心 以及圆柱上与圆筒相接触的点的速度关系，可得： ，代入动能表达式有)(Rr RrmrmT )(21)(4324120 设 为零势位，图示瞬时系统的势能为： 。拉格朗日函数0 cosgVBvCBvC12)cos1)()(21)(43)2(4120 rRmgrRrRmVTL 拉格朗日函数中不显含广义坐标 和时间 t，存在循环积分和广义能量积分，即常数)(20rTL常数 )cos1)()(1)(412 2220 rRmgRrmRVT
