1、1,静力学,工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；(b)图中去了风力为空间平行力系。,2,静力学,5-1 空间汇交力系,3,静力学,2、一次投影法（直接投影法） 由图可知：,4,静力学,3、力沿坐标轴分解：若以 表示力沿直角 坐标轴的正交分量，则：,而：,所以：,5,静力学,1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多 边形方法求合力。即：合力等于各分力的矢量和,二、空间汇交力系的合成：,6,静力学,三、空间汇交力系的平衡：,几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。,空间汇交力系平衡的
2、充要条件是：力系的合力为零，即：,7,例1,如图所示起重杆A端用球形铰链固定在地面上，B端用绳CB和DB拉住，连线CD平行于 x 轴。已知：CE=EB=DE， =30，CDB平面与水平面的夹角 EBF=30 ，重物P=10 kN，试求起重杆所受的压力和绳的拉力。,8,9,10,静力学,5-2-1 空间力偶系,力偶的转向为右手螺旋定则。空间力偶是一个自由矢量。,11,二、空间力偶的等效定理只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。,=,=,=,=,12,静力学,由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：力偶矩的大小=力偶矩的方向与力偶作用面
3、法线方向相同转向遵循右手螺旋规则。,三、空间力偶系的合成与平衡,由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和,13,静力学,投影式为：,显然空间力偶系的平衡条件是：,14,静力学,在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量。例 汽车反镜的球铰链,5-2-2 力对点的矩与力对轴的矩,一、力对点的矩的矢量表示,15,静力学,即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。,如果r 表示A点的矢径，则：,16,静力学,定义：它是代数量，方向规定 + ,二、力对轴的矩,结论：
4、力对/它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。,证,17,静力学,力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。,18,静力学,即：,三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系,证,通过O点作任一轴Z，则：,由几何关系：,所以：,定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。,19,静力学,例2 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内 求：力P对三个坐标轴的矩,解：选研究对象；画受力图；选坐标列方程。,20,静力学,21,静力学,把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标
5、系扩充为空间坐标系。,5-3-1 空间一般力系向一点简化,设作用在刚体上有 空间一般力系,向O点简化（O点任选）,22,静力学,根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系： 和附加力偶系注意 分别是各力对O点的矩。,23,静力学,合成 得主矢 即 （主矢 过简化中心O，且与O点的选择无关） 合成 得主矩 即： （主矩 与简化中心O有关）,24,静力学,若取简化中心O点为坐标原点，则：主矢大小主矢方向根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:则主矩大小为：主矩方向：,25,静力学,空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。,5-3-2 空间一般力系简化结
6、果的讨论,1、若 , 则该力系平衡（下节专门讨论）。,2、若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。,3、若 则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。 （此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,26,静力学,4、若 此时分三种情况讨论。即： ,27,静力学,若 时，为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动） 例 拧螺丝 炮弹出膛时炮弹螺线,28,静力学,M 使主矢R搬家，搬家的矩离：,所以在O点处形成一个力螺旋。 因为M/ 是自由矢量， 可将M/搬到O处,M/不变，,R不平行也不垂直M0，最一般的成任意
7、角在此种情况下，首先把MO 分解为M/和M 将M/和M 分别按、处理。,29,静力学,一、空间任意力系的平衡充要条件是：,所以空间任意力系的平衡方程为：还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。,5-3-3 空间一般力系的平衡方程及应用,30,静力学,空间汇交力系的平衡方程为：因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。,空间平行力系的平衡方程，设各力线都 / z 轴。因为均成为了恒等式。,31,静力学,1、球形铰链,二、空间约束,观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为
8、反力偶。 例,32,静力学,球形铰链,33,静力学,2、空间固定端,34,静力学,3、滑动轴承,35,静力学,4、止推轴承,36,静力学,5、带有销子的夹板,37,静力学,例3 曲杆ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求：支座反力(如图所示)及m1=?,38,静力学,解：,39,静力学,空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。,5-4 平行力系的中心 物体的重心,一、空间平行力系的中心、物体的重心,1、平行力系的中心,由合力矩定理：,40,静力学,41,静力学,如
9、果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。 由合力矩定理：,物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n- )，常用积分法求物体的重心位置。,二、重心坐标公式：,42,静力学,同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：,43,解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段,下面用积分法求物体的重心实例：,例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。,O,静力学,44,静力学,三、重心的求法： 组合法,解：,45,静力学,简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。,实验法：悬挂法,称重法,46,例4,
10、求：其重心坐标,已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。,47,解:厚度方向重心坐标已确定，,则,用虚线分割如图，,为三个小矩形，,其面积与坐标分别为,只求重心的x,y坐标即可。,48,例5,求：其重心坐标。,已知：等厚均质偏心块的,49,解：用负面积法，,由,而,得,由对称性，有,小圆（半径为 ）面积为 ，为负值。,小半圆（半径为 ）面积为 ,为三部分组成，,设大半圆面积为 ，,50,静力学,例 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N求：平衡时(匀速转动)力Q=？(Q力作用在C轮的最低点）和轴承A , B的约束反力？,解：选研究对象 作
11、受力图 选坐标列方程 最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。,51,静力学,52,静力学,53,静力学,方法(二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。,54,静力学,一、概念及内容：1、空间力偶及空间力对点之矩是矢量，2、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。3、空间力系合力投影定理：4、空间力系的合力矩定理：5、空间力对点之矩与对轴之矩的关系：,第五章 空间力系习题课,55,静力学,二、基本方程1、空间力系的平衡方程,空间一般力系,空间汇交力系,空间力偶系,空间x轴力系,空间xoy 面的力系,四矩式、 五矩式和六矩式的附加
12、条件均为使方程式独立。,56,静力学,2、空间力系的几个问题： x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选的六个轴。 取矩方程不能少于三个（MO是矢量） 空间力系独立方程六个（空间物体六个自由度）平面三个自由度 空间力系中也包括摩擦问题。,57,静力学,2、解题技巧：用取矩轴代替投影轴，解题常常方便投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力平行或相交 一般从整体局部的研究方法。摩擦力F = N f ，方向与运动趋势方向相反。,3、注意问题：力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现）空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。求物体重心问题常用组合法。对于均质物体，重心、中心、形心为
13、同一点。,58,静力学,例2 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求:绳BE、BF的拉力和杆AB的内力,由C点：,解：分别研究C点和B点作受力图,59,静力学,由B点：,60,静力学,此题训练： 力偶不出现在投影式中 力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影 力争一个方程求一个支反力 了解空间支座反力,例3 曲杆ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?,61,静力学,解：,62,静力学,例4 已知：AB杆, AD,CB为绳, A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCE=600, 且AD水平，AC铅直。求平衡时，TA，TB及支座A、B的反力。,解：思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程解出一个未知数。,63,静力学,64,静力学,
