1、线段的垂直平分线 与角平分线复习巩固,1.线段垂直平分线定理,线段垂直平分线性质定理的作用:,几何语言：,知识回顾,1.线段垂直平分线定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.,线段垂直平分线定理的作用: 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,几何语言： 如图, MNAB ,垂足为C,AC=BC, P是MN上任意一点(已知), PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).,知识回顾,2.线段垂直平分线逆定理：,几何语言,定理的作用:从这个结论出发,你还能联想到什么?,知识回顾,2.线段垂直平分线逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直
2、平分线上.,几何语言 如图, PA=PB(已知), 点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).,定理的作用:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结论出发,你还能联想到什么?,知识回顾,已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法:,3.用尺规作线段的垂直平分线.,知识回顾,已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法:,3.用尺规作线段的垂直平分线.,1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.,2. 作直线CD.,则直线CD就是线段AB的垂直平分线.,请你说
3、明CD为什么是AB的垂直平分线,知识回顾,4.三角形三边垂直平分线定理:,几何语言,知识回顾,4.三角形三边垂直平分线定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.,几何语言 如图,在ABC中, c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知), c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).,提示:这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.,知识回顾,知识回顾,5.三角形三边垂直平分线定理的证明：,知识回顾,5.三角形三边垂直平分线定理的证明：,如图,在ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点
4、P, 连接AP,BP,CP.,点P在线段AB的垂直平分线上, PA=PB (或AB的中点). 同理,PB=PC. PA=PC. 点P在线段AB的垂直平分线上. AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.,6角平分线的性质定理,应用提示:,几何语言,知识回顾,6角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,应用提示: 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,几何语言 如图, OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA, PEOB,垂足分别是D,E(已知), PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,知识回顾,7.逆定理,几何语言,应用提示:,O,知识回顾,
5、7.逆定理 在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,几何语言 如图,PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知), 点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,应用提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么?,O,知识回顾,已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC. 作法:,8.用尺规作角的平分线.,知识回顾,已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC. 作法:,8.用尺规作角的平分线.,1.在OA和OB上分别截取O
6、D,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C.,3.作射线OC.,说明OC为什么是AOB的平分线.,提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.,则射线OC就是AOB的平分线.,知识回顾,9.三角形的三条角平分线定理:,几何语言,H,知识回顾,9.三角形的三条角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,几何语言 如图,在ABC中, BM,CN,AH分别是ABC的三条 角平分线,且PDAB,PEBC, PFAC(已知), BM,CN,AH相交于一点P, 且PD=PE=PF(三角形的三条角平分
7、线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).,提示: 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一.,H,知识回顾,10.三角形三个角平分线定理的证明,知识回顾,10.三角形三个角平分线定理的证明,如图,设ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,ABC的三条角平分线相交于一点P.,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PD=PF.,点P在BAC的平分线上(在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,知识回顾,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,巩固练习,巩固练习,巩固练习,巩固练习,巩固练习,巩固练习,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例题讲解,
