1、角平分线和线段的垂直平分线 一、知识点讲解： 1. 定理 1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理 2：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2.角平分线另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 3.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题。 4.如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理。其中一个叫另一个的逆定理，虽然一个命题都有逆命题，但一个定理并不都有逆定理。 5.定理：线段垂直平分线
2、上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6.线段的垂直平分线另一种定义：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 二、例题精讲 例 1.已知如图，在 ABC中，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：ADEF。 分析：欲证 ADEF，就要证AOE=AOF= EOF=90。所以要考虑证AEO AFO。由题中条件可知 AEO，AFO 已有一边（公共边）一角对应相等，只要证出AE=AF 问题就解决了，所以需先证明 AEDAFD。 证明：AD 是BAC 的平分线，DEAB， DFAC （
3、已知） DE=DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） 在 RtAED和 RtAFD中 RtAEDRtAFD(HL), AE=AF(全等三角形的对应边相等) 在 AEO和 AFO中 AEO AFO, AOE=AOF (全等三角形对应角相等) AOE= EOF=90， AD EF（垂直定义）。 例 2.写出下列定理的逆命题，并判断真假。 (1)同位角相等，两直线平行。 (2)如果 x=3，那么 x2=9. (3)如果 ABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，ABC 的三个外角中只有两个钝角。 (4)如果 ABCABC，那么 BC=BC, AC=AC, ABC= ABC 。 解：(
4、1)的逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题。 (2)的逆命题是：x 2=9, 则 x=3。它是一个假命题。 (-3) 2=9, x=3 或 x=-3. (3)的逆命题是：如果 ABC的每个内角取一个对应外角时，若三个外角中只有两个钝角，那么 ABC是直角三角形。 它是一个假命题，因为 ABC还可能是钝角三角形。 (4)的逆命题：如果在 ABC和 ABC中，BC=BC，AC=AC ，ABC=ABC ，那么 ABCABC 。 这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。 例 3.已知：如图，M，N 分别在AOB 的两边上，求作一点 P，使点 P 到 M，N 两点的
5、距离相等，且到AOB 两边的距离相等。 作法：1、连结 MN，作线段 MN 的垂直平分线 CD。 2、作AOB 的平分线 OE，交 CD 于 P，点 P 即为所求。 例 4.在等腰直角三角形 ABC 中，已知 AB=AC，B 的平分线交 AC 于 D。 求证：BC=AC+AD 分析：如图：BD 为ABC 的平分线，DA AB，利用角平分线的性质，可以转化 AD，方法是作 DE 垂直 BC 于 E，则有 AD=DE，容易得到 DE=CE，AB=BE。 证明：过 D 作 DE 垂直 BC 于 E， BD 为ABC 的平分线， A=90 AD=DE （角平分线的性质） 在 RtABD和 RtEBD中
6、， RtABD RtEBD（HL） AB=EB ABC 为等腰直角三角形（已知），C=45 DE 垂直 BC 于 E，DEC=90 ，C=EDC=45，DE=EC （等腰三角形的性质） BC=BE+CE=AB+DE=AC+AD 说明：这种方法是利用角平分线的性质作 DEBC，实际上是在长的线段 BC 上，作出了 BE=AB=AC，所以只要再证明 AD=EC 就可以证明结论。相应的，还可以将线段 AB 补长，方法如下。 方法二：如图，延长 BA 到 M，使得 AM=AD，连接DM。 证明提示：只要证明三角形 BDM 和三角形 BDC 全等即可。（容易证明M=C=45） 例 5.已知：如图，1=2
7、，BC=BD。求证：AC=AD。 分析：注意利用图形的对称性，连结 CD，只须证明直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线。 证明：连结 CD 交 AB 于点 E， BC=BD，1=2， BE 是等腰 CBD顶角平分线（三角形角平分线定义） BE 垂直平分 CD（等腰三角形顶角平分线平分且垂直底边） 直线 AE 是线段 CD 的垂直平分线，又点 A 在直线 AE 上， AC=AD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。） 说明：还可以证明 CBA和 DBA全等。 小结：主要内容是角平分线的性质定理和它的逆定理以及线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。能够利用它们证明两个角相等或两条线段相等
8、；对于原命题和逆命题的关系，要能说出题设和结论都比较简单的命题的逆命题。 同步练习： 一、写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）对顶角相等； （2）两直线平行，同位角相等。 （3）如果 a=-b, 那么|a|=|b|。 （4）若 ab=0,则 a=0. 二、填空题： 在等腰 ABC中，AB=AC，BAC=120 。AB 的垂直平分线交 BC 于 D，且 DC=6 厘米，则DAC=_, BC=_, 点 D 到 AB 的距离是_，点 D 到 AC 的距离为_。 三、已知如图，在 RtABC中，C=90 ，AB 的垂直平分线交 BC 于D，CADDAB=12，求B 的度数。 四、如图所示，已知，
9、三角形 ABC 中，ABAC,P 在 ABC的角平分线 AD 上。求证：AB-ACBP-PC. 五、如图：BFAC，CEAB，CE、BF 交于 D，且 BD=CD。求证：D 在BAC 的平分线上。 六、如图，在 RtABC中，C=90 ，AC=BC，AD 是 BAC 的平分线，DE AB ，垂足为E。求证：DBE 的周长等于 AB。 七、在 ABC中，已知 AB 的垂直平分线交 AC于 E，ABC 和 BEC的周长分别为 24 厘米和 14 厘米，求 AB 长。 答案： 一、1. 若两个角相等，则这两个角是对顶角，假命题。 2同位角相等，两直线平行，真命题。 3如果|a|=|b|，那么 a=-b，假命题。 4若 a=0, 则 ab=0 真命题。 二、90, 9cm, 1.5cm, 3cm 三、B=36 四、提示：在 AB 上取 AE=AC，在 BEP中，BP-PEAC ，AD 是 ABC的角平分线，P 是 AD 上一点，求证 AB-ACPB-PC。 分析：证明不等关系，一般要把所证明的有关线段放在一个三角形内。通过角平分线这一条件可以构造全等三角形：在 AB 上截取 AC=AC，则有ACPACP，AC=AC,PC=PC。在 BPC中，BC+CPPB, 即 AB-ACPB-PC，从而得出 AB-ACPB-PC。
