1、线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1 、线段垂直平分线的性质（ 1 ）垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .C定理的数学表示： 如图 1，已知直线 m 与线段 AB垂直相交于点D，且 AD BD，若点 C在直线 m 上，则 AC BC.定理的作用：证明两条线段相等（ 2）线段关于它的垂直平分线对称.mADB图1课堂笔记：2 、线段垂直平分线性质定理的逆定理（ 1）线段垂直平分线的逆定理：C到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 .m定理的数学表示：如图2，已知直线 m 与线段 AB垂直相交于点 D，且 AD BD，若 AC BC，则
2、点 C在直线 m 上 .ADB定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.图2课堂笔记：A3 、关于三角形三边垂直平分线的定理ik（ 1）关于三角形三边垂直平分线的定理：O三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 .Bj图3C定理的数学表示：如图3，若直线 i , j , k 分别是 ABC 三边 AB、 BC、 CA的垂直平分线，则直线 i ,j , k 相交于一点 O，且 OAOBOC.定理的作用： 证明三角形内的线段相等.（ 2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则
3、它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部 .反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部， 则该三角形是锐角三角形； 三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例 1如图 1，在 ABC 中， BC 8cm，AB 的垂直平分线交AB 于点 D ，交边 AC 于点 E， BCE 的周长等于 18cm，则 AC 的长等于（）A 6cmB 8cmC 10cmD 12cm课堂笔记：针对性练习：A已知： 1) 如图 ， AB=AC=14cm,AB的 垂
4、直 平分 线交AB于点 D ，交AC于点E，如果 EBC 的周长是 24cm，那么 BC=2) 如图， AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果DBC=8cm，那么 EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果 A=28E度，那么 EBC 是BC例 2. 已知： AB=AC ，DB=DC ， E 是 AD 上一点，求证： BE=CE 。课堂笔记：针对性练习：已知：在 ABC 中， ON 是 AB 的垂直平分线 ,OA=OC 求证：点 O 在 BC 的垂直平分线ANOBC例 3. 在 ABC 中
5、，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50， ABC 的底角 B 的大小为 _ 。课堂笔记：针对性练习：1. 在 ABC 中， AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40，则底角 B 的大小为 _ 。例 4、 如图 8，已知 AD是 ABC的 BC边上的高，且 C 2 B，A求证： BD ACCD.证明：在 BD 上取一点 E，使 DEDC ，连接 AE，则 AEAC，课堂笔记：B图 8DC课堂练习：AC AD，BC BD，则（）1. 如图，=A. CD垂直平分 ADB. AB垂直平分 CDC.CD平分 ACBD.以上结论均不对2. 如果
6、三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形 C. 钝角三角形D. 等边三角形3. 下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条； 点P 在线段 AB外且 PA PB，过 P 作直线 MN，=则 MN是线段 AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个，BC，那么 DBC的周长是（）4. ABC中，AB的垂直平分线交 AC于 D，如果 AC=5 cm =4cmA.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 c
7、m5. 已知如图，在 ABC中， AB=AC，O是 ABC内一点，且 OB=OC，求证： AOBC.6. 如图，在 ABC中， AB=AC， A=120， AB的垂直平分线MN分别交 BC、 AB于点 M、N. 求证： CM=2BM.课后作业：1. 如图 7，在 ABC中，AC23，AB的垂直平分线交AB于点 D，交 BC于点 E， ACE的周长为 50，求 BC边的长 .ADB图 7EC2. 已知：如图所示， ACB ， ADB 都是直角，且 AC=AD ， P 是 AB 上任意一点，求证： CP=DP 。线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解4 、角平分线的性质定理：角平分线的性质定
8、理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.BDE定理的数学表示： 如图 4，已知 OE是 AOB的平分线， F 是 OE上一点，F若 CF OA于点 C，DF OB于点 D，则 CFDF.O图 4CA定理的作用 ：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.课堂笔记：5 、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点 P 在 AOB的内部，且 PC OA于 C， PDBD OB于 D，若 PCPD，则点 P 在 AOB的平分线上 .P定理的作用： 用于证
9、明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线O图 5CA注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.课堂笔记：6 、关于三角形三条角平分线的定理：A（ 1）关于三角形三条角平分线交点的定理：F三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等 .RQI定理的数学表示：如图 6，如果 AP、 BQ、CR分别是 ABC的内角EB图 6P DCBAC、 ABC、 ACB的平分线，那么： AP、 BQ、 CR相交于一点I ； 若 ID、 IE 、 IF 分别垂直于BC、 CA、 AB于点 D、E、F，则 DIEI FI.定理的作用： 用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（ 2）
10、三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.7 、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（ 1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（ 3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课堂笔记：经典例题：例 1、 已知：如图，点 B、C 在 A 的两边上，且PEAB，PFAC，垂足分别是 E、 F。求证： PE=PF课堂笔记：AB=AC，P 为 A 内一点， PB=PC，FBPACE针对性练习：已知：PA、PC 分别是 ABC 外角 MAC 和 NCA 平分线，它们交于P， PD BM 于 D，PF BN 于F，
11、求证： BP 为 MBN 的平分线。例 2 、如图 10，已知在直角梯形 ABCD中， ABCD， ABBC， E 为 BC中点，连接AE、 DE， DE平分 ADC，求证： AE平分 BAD.课堂笔记：DCFEA图 10B针对性练习：如图所示， AB=AC ，BD=CD ， DE AB 于 E，DF AC 于 F，求证： DE=DF 。例 3、 如图 11-1 ，已知在四边形 ABCD中，对角线 BD平分 ABC，且 BAD与 BCD互补，求证： AD CD.课堂练习：1. ABC 中， AB=AC ， AC 的中垂线交 AB 于 E， EBC 的周长为 20cm，AB=2BC ，则腰长为
12、_。2. 如图所示，AB/CD ，O 为 A 、C 的平分线的交点， OEACAB 与 CD 之间的距离等于 _。于 E，且OE=2，E则BDDCACFEABMOECDAB已知：如图， B= C=900，DM 平分 ADC ， AM 平分 DAB 。求证： M B=MC课后作业：1. 如右图，已知 BEAC于 E， CFAB于 F， BE、CF相交于点 D，若 BD=CD.求证： AD平分 BAC.2. 如图所示，直线 l1 ，l2 ，l3 表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处l 3l1l2
