1、一元二次方程【课标要求】能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实实世界的一个有效的数学模型。理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。能根据具体问题中的实际意义，检验结果是否合理。要点剖析1、一元二次方程一元二次方程的定义包含着三个条件：整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2.一元二次方程的一般形式： 2+ + 0（ 0， 、 、 是常数）。其中 2 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项， ， 分二次项、一次项的系数；各项及系数要注意包括符号。注意 任何一个一元二次方程不可缺少二次项，即 0；但可以缺少一次项和常数项，即、均可以为
2、 0.2、一元二次方程的解的意义使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.注意 一元二次方程在实数范围内可以无解，但是有解就一定有两个解（相等或不相等）；可以用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解，以及求待定常数.3、一元二次方程的解法（1）直接开平方法：直接开平方法是解一元二次方程最基本的解法，它主要针对：（ - ） 2 （ 0）形式的方程求解，它的理论依据是平方根的定义。（2）因式分解法：当一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以让每个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，分别解出这两个一元二次方程的两个解。（3）配方法将一元二次方程 2+
3、 + 0（ 0）通过配方变为：（ - ） 2 （ 0）的形式，然后利用开平方求解的方法叫做配方法。（4）公式法将一元二次方程 2+ + 0（ 0）的求根公式为:（其中 2-4 0）acbx24注意 求根公式法适用于所有一元二次方程，公式使用的条件是： 2-4 0，当 2-40 时，一元二次方程无实数根。用公式法解一元二次方程一般步骤：把一元二次方程化为一般形式；确定公式中的 a、b、c 的值求出 2-4的值；若 2-40 ，则把 a、b、c 及 2-4的值代入求根公式求解；当 2-4 0 时，一元二次方程无实数根。4、列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的
4、步骤一样，即“审、设、列、解、检验、答”。三、难点突破一元二次方程的重点是一元二次方程的解法及其应用；难点是从实际问题的数量关系寻求相等关系，从而抽象出方程模型。(1)解一元二次方程的本质是转化。如配方就是把一元二次方程转化为（+a） 2b（b0）的形式，再用直接开平方法去解。公式法直接把方程中的“未知”转化为“已知”；分解因式法通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程等(2)寻找等量关系常用的方法辅助图形寻找等量关系根据常见的数量关系寻找等量关系(如速度、时间、路程等)用表格摘录条件寻找等量关系。利用图形的计算公式寻找等量关系从不同的角度寻找等量关系抓住 “不变量”寻找等量关系按试题
5、所述的事情发展顺序寻找等量关系分析题中的“关键词”寻找等量关系(3)要注意一些隐含条件，防止多解、漏解或考虑不全面。如在求有关一元二次方程中的待定系数时，要注意考虑二次项系数不能为零和满足方程有实数根等；在实际问题中要考虑解是否满足试题所提供的实际背景等。四、典例讲解1、一元二次方程的有关概念例 1.(2007 株州) 已知 x=1 是一元二次方程 2+-400 的一个解，且 ab求 的值。22222、解一元二次方程例 2.方程 x(x+3)=x+3 的解是 （ ）A、 x=1 B、 x1=0, x2=-3C、x 1=1, x2=3 D、 x1=1, x2=-3例 3.解方程： 403、一元二
6、次方程的应用例 4.(2007 安徽). 据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006 年的利用率只有 30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使 2008 年的利用率提高到 60%，求每年的增长率。(取1.41)2点拨 这一道题是正增长率问题，弄清增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2=n 求解，其中 mn 。对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m(1-x)2=n，即可求解，其中 mn 。4、一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用(探究创新题)例 5.若关于 的一元二次
7、方程 没有实数根，则 的取值x20xkk范围是 例 6.(2006 茂名) 先阅读，再填空解题(1)方程 x2-x-2=0 的根是 x1=2，x 2=-1，则 x1+x2=1，x 1x2=-2(2) 方程 2x2-7x+3=0 的根是 x1= ，x 2=3，则 x1+x2= ，x 1x2=12 72 32(3) 方程 x2-3x+1=0 的根是 x1= ，x 2= ，则 x1+x2= ，x1x2= 根据以上(1)、(2) 、(3)你能否猜出：如果关于 x 的一元二次方程mx2+nx+p=0(m0且 m、n、p 为常数且 b2-4ac0)的两根为 xx，那么 x1+x2、x 1x2 与系数 m、
8、n、p 有什么关系？请写出你的猜想并说明理由五、分层巩固1、基础巩固（一）填空题(1)、把方程（3x+2） 2=(x-3)2 化成一元二次方程的一般形式是 (2) 、方程 5x2=4x-1 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 (3) 若 x=1 时一元二次方程 ax2+bx2=0 的根，则 a+b= ；(4)写出一个两个实数根符号相反的一元二次方程(5) 已知关于 x 的方程（m+3）x 2+(m+5)x+m=0,若方程有且只有一个根，则 m= .若方程有两个相同的实根，则 m= 。(6)、设 x1、 x2 是方程 的两实数根，则 x1+x2= 024x，x 1x2= .(二 )选择题
9、(1)(2007 潍坊)关于 x 的一元二次方程 x2-5x+P2-2P+5=0 的一个根为1，则实数 p 的值是( )A、4 B、0 或 2 C、1 D、-1(2)若(x+1) 2-1=0，则 x 的值等于( )A、1 B、2 C、0 或 2 D、0 或-2(3)用配方法解方程 x2-4x+2=0，下列配方正确的是 ( )A、(x-2) 2=2 B、(x-2) 2=2 C、(x-2) 2=-2 D、(x-2) 2=6(4)某商品原价 200 元，连续两次降价 a%后售价为 148 元，下列所列方程正确的是( )A、200(1+a%)=148 B、200(1-a%)=148C、200(1-2a
10、%)=148 D、200(1+a 2%)=148 (三) 解答题(1)、用适当的方法解下列方程：2x2+3x+1=0 3x-21=3x 22x2-5x=0 x2+(1-3 )x =053(2)、如果关于 x 的方程(m-2)x 2-2(m-1)xm+2=0 的一个根是 1，求另一个根及 m 的值(3) 某商店进了一批服装，进价为每件 50 元按每件 60 元出售时，可销售 800 件；若单价每提高 1 元，则其销售量就减少 20 件今商店计划获利 12 000 元，问销售单价应定为多少元?此时应进多少件服装?(4)(2006 韶关)某商店从厂家以每件 18 元的价格购进一批商品，该商店可以自行
11、定价，据市场调查该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价 a 元，则可卖出(320-10a)件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的 25%。如果商店计划要获利 400 元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件(每件商品的利润=售价-进货价)？(5) 已知关于 x 的方程 x22(m+1)x+m=0当 m 取何值时,方程有两个实数根;为 m 选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根.2、能力提升(1)(2006 南充)等腰三角形的底和腰是方程 x2-6x+8=0 的两根，则这个三角形的周长为( )A、8 B、10 C、8 或 10 D、不能确定(
12、2)根据下列表格中二次函数 的自变量 与函数值 的对2yaxbcxy应值，判断方程 （ 为常数）的一个解 的20axbc， x范围是（ ） x6.17 6.18 6.19 6.202yaxbc0.30.10.20.4 6.1767.8x .8.9x.9.(3)已知 a 是一元二次方程 2005x2+2006x-2007=0 的一个根，则2005a+ 的值是( )2007+1A、2005 B、2006 C、2007 D、0(4)请写出一个根为 x=1，另一根满足-1x1 的一元二次方程 (5)关于 x 的一元二次方程 x2-x+a(1-a)=0 有两个不相等的正根，则 a可取值为 (只填写一个可能数值即可)(6)(2007 德阳)阅读材料，设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为x1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x2 = ，x 1x2= 填空已知 x1，x 2 是方程 x2+6x+3=0 的两个实数根，则 + 的值为 2112(7)(2006 海淀)已知下列 n(n 为正整数)个关于 x 的一元二次方程：x2-1=0 x2+x-2=0 x2+2x-3=0 x2+(n+1)x-n=0n请解上述的一元二次方程 ，并指出这 n 个方程的根具有什n么共同特点，写出一条即可。
