1、1初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判
2、断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8几何部分很多概
3、念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分线定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。有鉴于此，特编写该读本，供教学之用，希望认真学习。目 录1.1 数与式的运算21.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.分式1.2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）22 二次函数2.2.1 二次函数 y ax2 bx c 的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方
4、程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.1绝对值3绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数 和数 之间的距离baab例 1 解不等式： 413x练 习1填空：（1）若 ，则 x=_；若 ，则 x=_54x（2）如果 ，且 ，则 b_；若 ，则 c_ba1a212选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若 ，则 （B）若 ，则 abab（C）若 ，则 （D）若 ，则3化简
5、：|x5|2 x 13|（x5） 1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；2()abab4（2）完全平方公式 22()abab我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；223()（2）立方差公式 ；abab（3）三数和平方公式 ；22()()ccca（4）两数和立方公式 ；33（5）两数差立方公式 22()abab对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例 1 计算： 22(1)(1)()xxx例 2 已知 ， ，求 的值4abc4abc22abc练 习1填空：（1） （ ） ；21()943aba（2） ；(m264(m)(
6、3 ) 2)cc2选择题：（1）若 是一个完全平方式，则 等于 （ ）kx2 k（A） （B） （C） （D）m214m213m216m（2）不论 ， 为何实数， 的值 （ ）ab8ab（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式一般地，形如 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为(0)a无理式. 例如 ， 等是无23b2ab5理式，而 ， ， 等是有理式21x22xya1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们
7、的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与 ， 与 ， 与 ， 与 ，等23a362323等 一般地， 与 ， 与 ， 与 互为有理化因式axxbyxbyaxb分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进(0,)abb行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 的意义2a
8、,0,.例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1） ； （2） ； （3） b2(0)ab64(0)xy例 2 计算： 3()例 3 试比较下列各组数的大小：（1） 和 ； （2） 和2106426例 4 化简： 204205(3)(3)例 5 化简：（1） ； （2） 94521(01)xx例 6 已知 ，求 的值 3232,xy223xy6练 习1填空：（1） _ _；3（2）若 ，则 的取值范围是_ _ _；2(5)(3)5xxx（3） _ _；46910（4）若 ，则 _ _2x 1xx2选择题：等式 成立的条件是 （ ）2x（A） （B） （C） （D）02x02x3若 ，求 的值2
9、21abab4比较大小：2 （填“ ”，或“”） 3 5 41.1. 分式1分式的意义7形如 的式子，若 B 中含有字母，且 ，则称 为分式当 M0 时，分式 具有下列性质：A0BAAB； 上述性质被称为分式的基本性质MA2繁分式像 ， 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式abcd2mnp例 1 若 ，求常数 的值54()xABx,A例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数） ；1()1n（2）计算： ；2390（ 3） 证 明 ： 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n， 有 11234()2n例 3 设 ，且 e1，2c 25ac 2a 20，求 e 的值a练 习1填空题：对
10、任意的正整数 n， ( )；1(2)12n2选择题：若 ，则 （ ） （A ） （B） （C） （D）3yxyx4554563正数 满足 ，求 的值,2xy4计算 11.34910习题 1.1A 组1解不等式： 8(1) ； (2) ；13x327x(3) 62已知 ，求 的值y3xy3填空：(1) _；1819()(2)(2)若 ，则 的取值范围是_；2aa(3) _1123456B 组1选择题：（1）若 ，则 （ ）2abba（A） （ B） （C） （D）0b0ba（2）计算 等于 （ ）1a（A） （B） （C） （D）aaa2填空： （1） ， ，则 _ _；a13b225ba（2）
11、若 ，则 _ _；220xy23xy3已知： ，求 的值1,3xy4解方程 21()()0x5计算： 134591.2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法91十字相乘法例 1 分解因式：（1）x 23x 2； （2）x 24x12；（3） ； （4） ()aby1y2提取公因式法与分组分解法例 2 分解因式：（1） ； （2） 329xx22456xyxy3关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于 x 的方程 的两个实数根是 、 ，则二次三项式0abx1x2就可分解为 2(0)abc12()x例 3
12、 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1） ； （2） 224xy练 习 1选择题：多项式 的一个因式为 （ ）225xy（A） （B） （C） （D）3xy3xy5xy2分解因式：（1）x 26x8； （2）8a 3b 3； （3）x 22x1； （4）4()()y习题 1.21分解因式：（1） ； （2） ； 31a42139x（3） ； （4） 22bcacb54yxy2在实数范围内因式分解：（1） ； （2） ； 253x 23x（3） ； （4） 24y 2()7()1x103 三边 , , 满足 ，试判定 的形状ABCabc22bcabcABC4分解因式：x 2x (a 2a)
13、2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc 0（a0） ，用配方法可以将其变形为 因为 a0，所以，4a 20于是24()bax（1） 当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1,2 ；2ca（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x 2 ；ba（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 一定大于或等于零，因此，()ba原方程没有实数根由此可知，一元二次方程 ax2bxc 0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac叫做一元二次方程 a
14、x2bx c0（a0）的根的判别式，通常用符号 “”来表示综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，有（1） 当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1,2 ；24b（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根x1x 2 ；a（3）当 0 时，方程没有实数根例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x 23x30； （2）x 2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x 22xa02.1.2 根与系数的关系（韦达定理）11若一元二次方程 ax2bxc 0（a0）有两个实数根， ，14bx224bacx则有；2212a
15、cba2244(4)bbccx a 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是 x1，x 2，那么 x1x 2 ，x 1x2 这一关系也被称为bc韦达定理特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x 2 是其两根，由韦达定理可知 x1x 2p，x 1x2q，即 p(x 1x 2)，qx 1x2，所以，方程 x2px q0 可化为 x2(x 1x 2)xx 1x20，由于 x1，x 2 是一元二次方程 x2pxq0的两根，所以，x 1，x 2 也是一元二次方程 x2( x1x 2)x x1x20因此有以两个数 x1，x 2
16、 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是x2(x 1x 2)xx 1x20例 2 已知方程 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值56k例 3 已知关于 x 的方程 x22( m 2)xm 240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例 4 已
17、知两个数的和为 4，积为12，求这两个数例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x30 的两根（1）求| x 1x 2|的值； 12（2）求 的值；21x（3）x 13x 23说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则， ，4bac24bx| x 1x 2|224cbaca4|bac于是有下面的结论：若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则| x1x 2| （其中 b 24ac） |a今后，在求一元
18、二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2x a40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围练 习1选择题：（1）方程 的根的情况是 （ ）0322kx（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2(2 m1) xm 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 （ ）（A）m （B）m 1414（C）m ，且 m0 （D ）m ，且 m0 2填空:（1）若方程 x23x 10 的两根分别是 x1 和 x2，则 12（2）方程 mx2x2m0（m0）的根
19、的情况 是 13（3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 3已知 ，当 k 取何值时，方程 kx2axb0 有两个不相等的实数根？286|0ab4已知方程 x23x 10 的两根为 x1 和 x2，求(x 13)( x23) 的值习题 2.1A 组1选择题:（1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：方程 x22x 70 的两根之和为2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 ；3方程 3 x22x 0 的两根之和为2，两根之
20、积为 0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D ）4 个（3）关于 x 的一元二次方程 ax25xa 2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x 40 的两根为 ，则 2 2 （3）已知关于 x 的方程 x2ax 3a0 的一个根是2，则它的另一个根是（4）方程 2x22x 10 的两根为 x1 和 x2，则| x 1x 2| 3试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两
21、个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数B 组1选择题:14（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） （A ） （B）3 （C ）6 3（D）9（2）若 x1，x 2 是方程 2x24 x10 的两个根，则 的值为 （ ）12x（A）6 （B）4 （C）3 （D） 32（3）如果关于 x 的方程 x22(1m) xm 20 有两实数根 ，则 的取值范围为 （ ） （A） （B） （C）1 （D ）1 11（4）已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，那么方程 cx2(
22、 ab)x 0 的根的情况是 4c（ ） （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根（5）若关于 x 的方程 x2(k 21) xk10 的两根互为相反数，则 k 的值为 （ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若 m，n 是方程 x22005x10 的两个实数根，则 m2nmn 2mn 的值等于 （2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a 2bab 2b 3 的值是 3已知关于 x 的方程 x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2(x
23、1x 2)x 1x2，求实数 k 的取值范围4一元二次方程 ax2bx c0（a0）的两根为 x1 和 x2求：（1）| x 1x 2|和 ；1（2）x 13x 235关于 x 的方程 x24x m0 的两根为 x1，x 2 满足| x 1 x2|2，求实数 m 的值6 已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 4kx24kxk 10 的两个实数根（1）是否存在实数 k，使(2 x1x 2)( x12 x 2) 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；3（2）求使 2 的值为整数的实数 k 的整数值；1x15（3）若 k2， ，试求 的值12x7若关于 x 的方程 x2x a
24、0 的一个大于 1、另一根小于 1，求实数 a 的取值范围22 二次函数2.2.1 二次函数 yax 2bxc 的图像和性质问题 1 函数 yax 2 与 yx 2 的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x 2，y x2，y2x 2 的图象，通过这些函数图象与函数1yx 2 的图象之间的关系，推导出函数 yax 2 与 yx 2 的图象之间所存在的关系先画出函数 yx 2，y 2x 2 的图象先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 4 1 0 1 4 9 2x2 18 8 2 0 2 8 18从表中不难看出，要得到 2x2 的值，只要把相应的 x2 的值扩大
25、两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数 yx 2，y 2x 2 的图象（如图 21 所示） ，从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x 2 的图象可以由函数 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y x2，y 2x2 的图象，1并研究这两个函数图象与函数 yx 2 的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 yax 2(a0)的图象可以由 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到在二次函数 yax 2(a0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题 2 函数
26、 ya( xh) 2k 与 yax 2 的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数 y2(x1) 21 与 y2x 2 的图象（如图 22所示） ，从函数的同学我们不难发现，只要把函数 y2x 2 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y2(x 1)21 的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数 y3x 2，y 3( x1) 21 的图象，研究它们图象之间的相互关系 图 2.2-2xyO1y2x 2y2(x1) 2y2(x1) 21yx 2y2x 2图 2.2-1
27、xOy16通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 ya( xh )2k( a0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax 2bx c(a0)的图象的方法：由于 yax 2bx ca(x 2 )c a( x2 )cbb242b= 4)2所以，yax 2bx c(a0)的图象可以看作是将函数 yax 2 的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax 2bx c( a0)具有下列性质：（1）当 a0 时
28、，函数 yax 2bxc 图象开口向上；顶点坐标为 ，对称轴为直线24(,)bacx ；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x2bb2a时，函数取最小值 y a24ac（2）当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴为直线24(,)bacx ；当 x 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小；当 xbb2a时，函数取最大值 y 2a24ac上述二次函数的性质可以分别通过图 2.23 和图 2.24 直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来
29、解决问题例 1 求二次函数 y 3x26x 1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象xyOx 2baA24(,)bac图 2.2-3xyOx 2baA24(,)bac图 2.2-4xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图 2.2517例 2 把二次函数 yx 2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx 2 的图像，求 b，c 的值例 3 已知函数 yx 2，2xa，其中 a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值 说明：在
30、本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题练 习1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A）y2x 2 （B）y 2x 24x2（C）y 2x 21 （D）y 2x 24x （2）函数 y2( x1) 22 是将函数 y2x 2 （ ） （A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 （C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向
31、上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的2填空题（1）二次函数 y2x 2mxn 图象的顶点坐标为(1，2)，则 m ，n （2）已知二次函数 yx 2+(m2)x2m，当 m 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m 时，函数图象经过原点（3）函数 y3( x2) 25 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x 时，函数取最 值 y ；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x 的变化情况，并画出其图象（1）yx 22x 3； （2）y16 xx 24已知函数 yx 22
32、x 3 ，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当18函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：（1）x2；（ 2）x 2；（3 ）2x1；（4）0x32.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax 2bxc (a0)；2顶点式：ya( xh )2k (a0)，其中顶点坐标是(h ，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数 yax 2bx c(a0) 的图象与 x 轴交点个数当抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴相交时，其函数值为零
33、，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零） ，于是，不难发现，抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b 24ac 有关，由此可知，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴交点个数与根的判别式 b24ac 存在下列关系：（1）当 0 时，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线yax 2bxc(a0) 与 x 轴有两个交点，则 0 也成立（2）当 0 时，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点）
34、；反过来，若抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴有一个交点，则 0 也成立（3）当 0 时，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴没有交点；反过来，若抛物线 yax 2bxc(a0) 与x 轴没有交点，则 0 也成立于是，若抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴有两个交点 A(x1，0) ，B(x 2，0) ，则 x1，x 2 是方程ax2bxc0 的两根，所以x1x 2 ，x 1x2 ， 即 (x 1x 2)， x 1x2bbaca所以，yax 2bx ca( )c= ax2( x1x 2)xx 1x2a(xx 1) (xx 2)由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线
35、yax 2bxc(a0)与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(x x1) (xx 2) (a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：193交点式：ya( xx 1) (xx 2) (a0)，其中 x1，x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx1 上，并且图象经过点（3，1） ，求二次函数的解析式说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐
36、标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题例 2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1 ，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式例 3 已知二次函数的图象过点(1，22) ，(0，8) ，(2 ，8)，求此二次函数的表达式练 习1选择题:（1）函数 yx 2x 1 图象与 x 轴的交点个数是 （ ）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）无法确（2）函数 y (x1) 22 的顶点坐标是 （ ）12（A）(1，2) （B）(1，2) （C ）( 1，2) （D ）(1，2)2填空：（1）已知
37、二次函数的图象经过与 x 轴交于点(1，0) 和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为 ya (a0) （2）二次函数 yx 2+2 x1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 33根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点(1，2)，(0，3) ，(1，6)； （2）当 x3 时，函数有最小值 5，且经过点(1，11) ；（3）函数图象与 x 轴交于两点(1 ，0)和(1 ，0)，并与 y 轴交于2 2(0，2)202.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移
38、？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可例 1 求把二次函数 yx 24x 3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位；（2）向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位2对称变换问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点只改变
39、函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题例 2 求把二次函数 y2x 24x 1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线 x1；（2）直线 y1二、分段函数xyOx1A(1,1)A1(3,1)图 2.2721一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数例 3 在国内投递外埠平信，每封信不超过 20g 付邮资 80 分，超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分，超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分，依此类推，每封 xg(0
40、x 100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象分析：由于当自变量 x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式在解题时，需要注意的是，当 x 在各个小范围内（如 20x40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是 160 分） 解：设每封信的邮资为 y（单位：分） ，则 y 是 x 的函数这个函数的解析式为80,(,21640,9,83(40,1xyx由上述的函数解析式，可以得到其图象如图 2.29 所示x(克)y(分)O图 2.2920 40 60 80 10040032024016080222.3 方程与不等式2
41、.3.1 二元二次方程组解法方程 是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次2260xyxy数是 2 的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程其中 , , 叫做这个方程的二次项，2xy2, 叫做一次项，6 叫做常数项xy我们看下面的两个方程组：24310,;xy22,560.xy第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解例 1 解方程组例 2 解方程 240,.x
42、y 7,12.xy练 习1下列各组中的值是不是方程组 213,5xy的解? 23（1） （2） （3） （4） ,3;xy,;xy1,;xy2,3;xy2解下列方程组:（1） （2） 25,6;xy ,10;xy（3） （4）1,543;yx2,8.x2.3.2 一元二次不等式解法二次函数 y x2x6 的对应值表与图象如下：x 3 2 1 0 1 2 3 4y 6 0 4 6 6 4 0 6由对应值表及函数图象(如图 2.31)可知当 x2，或 x3 时，y0，即 x2x60；当 x2，或 x3 时，y0，即 x2x60；当2x3 时，y 0，即 x2x60这就是说，如果抛物线 y= x2x6 与 x 轴的交点是 (2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2x60的解就是x12，x 23；同样，结合抛物线与 x 轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2x6024的解是x 2，或 x3 ；一元二次不等式x2x60的解是2x 3上例表明：由抛物线与 x 轴的交
