1、1.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数 和数 之间的距baab离例 1 解不等式： 413x解法一：由 ，得 ；由 ，得 ；00x3x若 ，不等式可变为 ，(1)4即 4，解得 x0，2又 x1，故 x0；若 ，不等式可变为 ，3()3x即 14，不存在满足条件的 x；若 ，不等式可变为 ，14即 4， 解得 x4 2x又 x3，故 x4综上所述，原不等式的解为： x0 或 x4解法二：
2、如图 111， 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离| PA|，即| PA| x1|；| x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离| PB|，即| PB| x3|所以，不等式 4 的几何意义即为3|PA| PB|4由| AB|2 可知，点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧故 x0，或 x4练 习1 （1）若 ，则 x=_；若 ，则 x=_.54x（2）如果 ，且 ，则 b_；若 ，则ba1a21cc_.2下列叙述正确的是（ ）（A）若 ，则 （B）若 ，则ab（C）若 ，则 （D）若 ，则ab3化简
3、：| x5|2 x 13|（ x5） 1 3A Bx0 4C DxP|x 1|x 3|图 111答案：1 （1） ； （2） ； 或 2D 33 x185411.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；2()abab（2）完全平方公式 2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；23()（2）立方差公式 ；2abab（3）三数和平方公式 ；2()ccca（4）两数和立方公式 ；33()（5）两数差立方公式 22对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例 1 计算： 22(1)(1)()xxx解法一：原式= 2= 42= 6x解法二
4、：原式= 2(1)(1)x= 3= 6例 2 已知 ， ，求 的值4abc4abc22abc解： 22()()8练 习1 （1） （ ） ；21()943aba（2） ；2()6(m)（3） 2cc)2 （1）若 是一个完全平方式，则 等于（ ）21xkk（A） （B） （C） （D）214m213m216m（2）不论 ， 为何实数， 的值（ ）ab8ab（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数答案：1 （1） （2） （3） 3ab1,442abc2 （1）D （2）A1.1.3二次根式一般地，形如 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不(0)a能够开得
5、尽方的式子称为无理式. 例如 ， 等是无理式，23ab2ab而 ， ， 等是有理式21x22xy1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与2， 与 ， 与 ， 与 ，等等 一23a362323般地， 与 ， 与 ， 与 互为有理化因xxbyaxbyaxb式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算
6、过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ；而对于二次根式的除法，通常先(0,)abb写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 的意义2a,0,.a例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1） ； （2） ； （3） b2(0)b64(0)xy解： （1） ；3（2） ；aa（3） 6334()xyxy例 2 计算： ()解法一： ()3(1)33 623解法二： 3131313() 2()3()例 3 试比较下列各组数的大小：（1） 和 ； （2） 和 .21106426解：（1）
7、(1)()11000又 2 1（2） 26()(26)2,1+ +又 42 ，2 4 2 ，6 6 2 .例 4 化简： 204205(3)(3)解：原式 4() 20 2041(3) 例 5 化简：（1） ； （2） 94521(01)xx解：（1）原式 （2）原式= ， 2 ，2(5)501x ， 所以，原式 . x例 6 已知 3232,xy253xy解： ，2232(3)()10xy，1 2222353()089xyxy练 习1 （1） _ _；3（2）若 ，则 的取值范围是_ _ _；2(5)(3)5xxx（3） _ _；46910（4）若 ，则 _ _12等式 成立的条件是（ ）2
8、x（A） （B） （C） （D）0x2x02x3若 ，求 的值21abab4比较大小：2 （填“” ，或“” ） 3 5 4答案：1 （1） （2） （3） （4） x8652C 31 41.1.分式1分式的意义形如 的式子，若 中含有字母，且 ，则称 为分式当 时，AB0BA0M分式 具有下列性质：； ，称为分式的基本性质M2繁分式像 ， 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式abcd2mnp例 1 若 ，求常数 的值54(2)xABx,AB解： ，()()2542()x 5,24A解得 ,3B例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数） ；1()1n（2）计算： ；2390（ 3）
9、 证 明 ： 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n， 有 11234()2n（1）证明： ，1()()n （其中 n 是正整数）成立()1（2）解：由（1）可知12390()()1 10（3）证明： 234()n 11()() ，n又 n2，且 n 是正整数， 一定为正数，1n 1 1234()n 12例 3 设 ，且 e1，2 c25 ac2 a20，求 e 的值ca解：在 2c25 ac2 a20 两边同除以 a2，得 2e25 e20，(2 e 1)(e2)0， e 1，舍去；或 e212 e2练 习1对任意的正整数 n， ( )；1(2)12n2若 ，则 （ ）23xyx（A）
10、（B） （C） （D）5445653正数 满足 ，求 的值,xy2xy4计算 11.3910答案：1 2B 3 412 291012 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1） x23 x2； （2） x24 x12；（3） ； （4） ()aby1y解：（1）如图 121，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3 x，就是x23 x2 中的一次项，所以，有 x23 x2( x1)( x2)说明：今后在分解与本例类似的二
11、次三项式时，可以直接将图 121 中的两个 x 用 1 来表示（如图 122 所示） （2）由图 123，得x24 x12( x2)( x6)（3）由图 124，得2)aby()ayb12xx图 121 1211图 122 2 611图 123 aybyxx图 124 11xy图 125（4） xy( x y)11xy( x1) ( y+1) （如图 125 所示） 2提取公因式法与分组分解法例 2 分解因式：（1） ； （2） 329x22456xyxy解：（1） = =329xx()(39)(3)()= 2或 32318x8x312x 22()()() 2（2） =22456xyxy245
12、6yy= 2()()3x= 或 =2222x=()(45)6yy= 3x3关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于 x 的方程 的两个实数根是 、 ，则二次三项0)ab1x2式 就可分解为 .2(0)abc12x例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1） ； （2） 21224xy解：（1）令 =0，则解得 ， ，121 =2x()()xx= 2（2）令 =0，则解得 ， ，24xy1(2)xy1(2)xy = 2()y练 习1多项式 的一个因式为（ ）2215xy（A） （B） （C） （D）3xy3xy5xy2分解因式：（1） x26 x8； （2）8 a3 b3；（3） x22 x1； （4） (1)(2)xyx答案：1 B 2 （1）( x2)( x4) （2） 22()4)abab（3） （4） 2)(1)yx
