1、202浅议初高中数学知识点衔接（补充知识点）第一讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式代数式中有整式（多项式、单项式） 、分式、根式。它们具有实数的属性，可以进行运算。在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式） ，并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便。由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式。在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没
2、有涉及，因此本节中要补充。基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容。一、乘法公式【公式 1】 cabcbacb2)(22【例 1】计算： 【公式 2】 (立方和公式)322)【例 2】计算： )(【公式 3】 (立方差公式)322( baba【例 3】计算：（1） （2）)416)2m（3） （4）16(2( 222 )(yxyx【例 4】已知 ，求 的值。03x【例 5】已知 ，求 的值。cba11()()()abccab二、根式式子 叫做二次根式，其性质如下：(0)(1) (2) 2a2|(3) (4) (,0)bb(0,)bab【例 6】化简下列各式：(1) (2) 22(3)(31
3、)22(1)() (1)xx【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1) (2) (3) 23ab382x1x 41051nmnm3x203【例 8】计算：(1) (2) 2(1)()()abab ab【例 9】设 ，求 的值23,xy3xy三、分式当分式 的分子、分母中至少有一个是分式时， 就叫做繁分式，繁分式的化简常用AB AB以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质【例 10】化简 1x【例 11】化简2239617xx第二讲 因式分解一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(立方和公式)223(
4、)abab(立方差公式)【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) (2) 38x 30.1257【例 2】分解因式：(1) (2) 341ab76ab二、分组分解法1分组后能提取公因式【例 3】把 分解因式。205xybx【例 4】把 分解因式。22()()acdacd2分组后能直接运用公式【例 5】把 分解因式。2xy【例 6】把 分解因式。248z分析：先将系数 2 提出后，得到 ，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再24xyz和第四项形成平方差形式，可继续分解因式。三、十字相乘法1 型的因式分解2()xpqx204【例 7】把下列各式因式分解：(1) (2) 276x
5、2136x【例 8】把下列各式因式分解：(1) (2) 25425【例 9】把下列各式因式分解：(1) (2) 226xy22()8()1xx2一般二次三项式 型的因式分解axbc大家知道， 反过来，就得到：21211212()()cacac1212 ()axcx我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，121212,ac12ac这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次项系1acxb数 ，那么 就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于b2axbc12()()x1,ac2,ac下一行。这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相
6、乘法。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。【例 10】把下列各式因式分解：(1) (2) 215x 22568xy四、其它因式分解的方法1配方法【例 11】分解因式 261x2拆、添项法【例 12】分解因式 324第三讲 一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判断式【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) (2) (3) 2310x2491y25(3)60x【例 2】已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的范x30xkk围：(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相
7、等的实数根；(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根。205【例 3】已知实数 、 满足 ，试求 、 的值。xy210xyxyxy二、一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么：2 ()abca12,1212,xx说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”。上述定理成立的前提是 。0【例 4】若 是方程 的两个根，试求下列各式的值：12,x207x(1) ； (2) ； (3) ； (4) 。1212(5)x12|x【例 5】已知关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出 的值。x()04kk(1) 方程两实根的积
8、为 5； (2) 方程的两实根 满足 。12,x12|x【例 6】已知 是一元二次方程 的两个实数根。12,x2kx(1)是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；k113()()k若不存在，请您说明理由。(2)求使 的值为整数的实数 的整数值。12xk第四讲 不 等 式初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识。本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识。一、一元二次不等式及其解法1形如 的不等式称为关于 的一元二次不等式。20() (0)axbca中 x2一元二次不等式 与二次函数 及一元二2xc中 2 (0)ya
9、bca次方程 的关系(简称：三个二次)。以二次函数 为例： 6(1) 作出图象；(2) 根据图象容易看到，图象与 轴的交点是x (3,)20，即当 时， 。就是说对应的一元二次方程32x中0y 6x的两实根是 。(3) 当 时， ，对应图像位于 轴的上x中 x 方。就是说 的解是 。26x32x中当 时， ，对应图像位于 轴的下方。就是说 的解是30y 260x206。32x一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象。如果图象与 轴有两个交点 ，此时对应的一元二次方程有两个x12(,0),x不相等的实
10、数根 (也可由根的判别式 来判断)。12, 那么(图 1)： 12 ( abcax中20)x如果图象与 轴x只有一个交点(,0)2ba，此时对应的一元二次方程有两个相的实数根 (也可由根的判别式 来判断)。2xba0那么(图 2)： 0 () 2bxcaxa无解2b如果图象与 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式 来判断) 。0那么(图 3)： 取一切实数20 () axcax无解b如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根 那么“ ”12,x0型的解为 (俗称两根之外
11、)；“ ”型的解为 (俗称两根之间)；12xx中 0(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成 ，2224bacaxbca结合完全平方式为非负数的性质求解。207【例 1】解不等式 。260x【例 2】解下列不等式：(1) (2) （x-1）(x+2) (x-2)(2x+1)()3x【例 3】解下列不等式：(1) (2) (3) 28x240x20x【例 4】已知对于任意实数 ， 恒为正数，求实数 的取值范围。kk【 例 5】 已 知 关 于 的 不 等 式 的 解 为 ， 求 的 值 。x2(1)30x13二、简单分式不等式的解法【例 6】解下列不等式：(1) (2) 2301x 201x【例
12、 7】解不等式 【例 8】求关于 的不等式 的解。2mx【例 9】已知关于 的不等式 的解为 ，求实数 的值。x2k12xk第五讲 二次函数的最值问题【例 1】当 时，求函数 的最大值和最小值。223y【例 2】当 时，求函数 的最大值和最小值。1x1x【例 3】当 时，求函数 的取值范围。0()【例 4】当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)。t25yt【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 (件)与m每件的销售价 (元)满足一次函数 。x163,04mx(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件销售价 之间的函数关系式；yx(2) 若商场
13、要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？第六讲 简单的二元二次方程组在 初 中 我 们 已 经 学 习 了 一 元 一 次 方 程 、 一 元 二 次 方 程 及 二 元 一 次 方 程 组 的 解 法 ， 掌 握 了 用 消元 法 解 二 元 一 次 方 程 组 高 中 新 课 标 必 修 2 中 学 习 圆 锥 曲 线 时 ， 需 要 用 到 二 元 二 次 方 程 组 的解 法 因 此 ， 本 讲 讲 介 绍 简 单 的 二 元 二 次 方 程 组 的 解 法 。含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫做二元二次方程。由一个二元
14、一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组。一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解其蕴含208着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。【例 1】解方程组 20 (1)32xy【例 2】解方程组 ()8xy二、由两个二元二次方程组成的方程组1可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。【例 3】解方程组225() (1)432xyx
15、【例 4】解方程组21 ()xy【例 5】解方程组26 ()522可消二次项型的方程组【例 6】解方程组 3 (1)82xy第七讲 分式方程和无理方程的解法初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法。本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根。一、可化为一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程为一元二次方程【例 1】解方程 。2141x2用换元法化分式方程为一
16、元二次方程【例 2】解方程 223()401x【例 3】解方程 228(1)xx209二、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程1平方法解无理方程【例 4】解方程 71x【例 5】解方程 3232换元法解无理方程【例 6】解方程 25xx第八讲 直线、平面与常见立体图形（一课时）【例 1】正方体有多少个面？多少条棱？多少个顶点？多少对平行棱？【例 2】 正四面体棱长为 2，则表面积为 ； 圆锥半径和高都是 1，则表面积为 ；体积为 。 圆柱的一个轴截面是边长为 2 的正方形，则圆柱的体积为 ；表面积为 。【例 3】画图表示三个平面两两相交的几种情形。【例 4】一个正方
17、体的截面可以是正三角形、长方形、正六边形吗？为什么？第九讲 直线与圆，圆与圆的位置关系设有直线 和圆心为 且半径为 的圆，怎样判断直线 和圆 的位置关系？lOrlO观 察 图 3.3-1， 不 难 发 现 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 为 ： 当 圆 心 到 直 线 的 距 离 时 ， 直 线 和dr圆 相 离 ， 如 圆 与 直 线 ； 当 圆 心 到 直 线 的 距 离 时 ， 直 线 和 圆 相 切 ， 如 圆 与 直 线 ；Ol dr=O2l当 圆 心 到 直 线 的 距 离 时 ， 直 线 和 圆 相 交 ， 如 圆 与 直 线 。drO3l在直线与圆相交时，设两个交点分别为
18、A、 B.若直 线经过圆心，则 AB 为直径；若直线不经过圆心，如图 3.3-2，连结 圆心 和弦的中点 的线段 垂直于这条弦 ，且在ABM Rt OMA 中，为圆的半径 ， 为圆心到直线的距离 ， 为OrOdM弦长 的AB一半，根据勾股定理，有。22()ABd-=当直线与圆相切时，如图 3.3-3， 为圆 的切线，,PO可得， ，且在 Rt POA 中，PAB.P 22POA图 3.3-2图 3.3-3图 3.3-4图 3.3-3图 3.3-1210。如图 3.3-4， 为圆 的切线， 为圆 的割线，PTOPABO我们可以证得 PAT PTB，因而 。2T【例 1】如图 3.3-5，已知 O
19、 的半径 OB=5cm，弦 AB=6cm，D 是弧 AB 的中点，求弦 BD 的长度。【例 2】如图 3.3-6，已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 ，且这两条线的距离4为 3。求这个圆的半径。图 3.3-6设圆 与圆 半径分别为 ，它们可能有哪几种位置关系？1O2,()Rr图 3.3-7图 3.3-6图 3.3-6图 3.3-4图 3.3-5211观察图 3.3-7，两圆的圆心距为 ，不难发现：当 时，两圆相内切，如图12O12ORr（1） ；当 时，两圆相外切，如图（2） ；当 时，两圆相内含，如图12ORr（3） ；当 时，两圆相交，如图（4） ；当 时，两圆相外切，如 12图（5）
20、 。【例 3】如图 3.3-8，设圆 与圆 的半径分别为 3 和 2， ， 为两圆的交12 124,AB点，试求两圆的公共弦 的长度。AB1.如图 3.3-9， O 的半径为 17cm，弦 AB=30cm， AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为 D、 C，求弦 AC 和 BD 的长。2.已知四边形 ABCD 是 O 的内接梯形， AB/CD，AB=8cm,CD=6cm, O 的半径等于 5cm，求梯形 ABCD 的面积。3.如图 3.3-10， O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E， 1,5,60,oAEcmBDE求 CD 的长。4若两圆的半径分别为 3 和 8，圆心距为 13，试求两圆的公切线的长度。图 3.3-9图 3.3-10图 3.3-8
