1、育才中学 2010 届高三数学第一轮总复习教案 合情推理与演绎推理 杨忠武- 1 -合情推理与演绎推理一、归纳推理例 1 （1）观察圆周上 n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3 个点可以连 3 条弦，4 个点可以连 6 条弦，5 个点可以连 10 条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式 1.设平面内有 条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用n)3(表示这 条直线交点的个数，则 =_；当 时， （用 表)(nf 4(f 4n)(f n示）变式 2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成 4 条线段,同时将圆分割成 4 部分;画三条线段,
2、彼此最多分割成 9 条线段,同时将圆分割成 7 部分.那么(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的 n(n2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?育才中学 2010 届高三数学第一轮总复习教案 合情推理与演绎推理 杨忠武- 2 -强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第 36 个圆的颜色应是 .2.由 , , ,若 ab0,m0，则 与 之间的大小关系为 .1078591025319mab3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.A，B 为定点，动点 P 满足|PA|+|PB|=2a|
3、AB|，得 P 的轨迹为椭圆由 a1=1，a n=3n-1，求出 S1，S 2，S 3，猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式由圆 x2+y2=r2的面积 r2，猜想出椭圆 =1 的面积 S= ab2byx科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第 60 个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例 1.在等差数列 中，若 ，则有等式na01naa21成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 中，若 ，),9(1921 Na nb19则
4、有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列” ，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列a 等和数列，且 ，公和为 5。那么 的值为n21a18a_，这个数列前 n 项和 的计算公式为_。nS2.若数列 是等差数列，则有数列)(*Nna类比上述性质，相应地：若数列;)(,.*321 也 是 等 差 数 列Nnabn 是等比数列，且 ，则有数列)(*c0c。dn 也 是 等 比 数 列)(_,*育才中学 2010 届高三数学第一轮总复习教案 合情推理与演绎推理 杨忠武- 3 -（二）几何中的类比例 1.如图 1，若射线 OM
5、，ON 上分别存在点 M1，M 2与点 N1，N 2，则 = ；如图 2，若不21NOMS21O在同一平面内的射线 OP，OQ 和 OR 上分别存在点 P1，P 2，点 Q1，Q 2和点 R1，R 2，则类似的结论是什么？例 2 . 已知 O 是ABC 内任意一点，连结 AO、BO、CO 并延长交对边于 A,B,C,则 + + =1,AOBC这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.+ + = + + = =1，ABCABSCOABSAC请运用类比思想，对于空间中的四面体 VBCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.强化练习1.在平面几何中，有勾股定理：“设 ABC 的两边 AB、AC 互
6、相垂直，则 ”拓展到 .22BCA空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .”育才中学 2010 届高三数学第一轮总复习教案 合情推理与演绎推理 杨忠武- 4 -2.在平面几何中，ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比 = ，把这个结论类比到空间：在三棱EBAC锥 ABCD 中（如图所示） ，而 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E，则得到的类比的结论是 .3.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方
7、形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两个棱长均为 a 的正42a方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .(三)解析几何中的类比例 1.已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线PM、 PN 的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双PkNPMkN曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明.12byax强化训练1.已知两个圆： ， 与 则由式减去式可得上述两12yx 1)3(22yx育才中学 2010 届高三数学第一轮总复
8、习教案 合情推理与演绎推理 杨忠武- 5 -圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .2如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 时,其离心率为 ,此类椭圆被称为“黄金椭FBA512圆”.类比“黄金椭圆”, 可推算出” 黄金双曲线”的离心率 e 等于 （ ）A. B. C. D. 51251251（四）定义、运算中的类比 例 1.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制 1 2 3 4 5 6 .二进制 1 10 11 100 101 110 观察二进制 1 位数，2 位数，3
9、位数时，对应的十进制的数，当二进制为 6 位数能表示十进制中最大的数是 强化训练1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mn=nm”类比得到“ab=ba” ；“（m+n）t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc” ；“(mn)t=m(nt)”类比得到“（ab）c=a（bc） ”；“t0,mt=xt m=x”类比得到“p0,ap=xp a=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|” ；“ = ”类比 bca得到“ = ”.cb以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 .2.下面使用类比推理恰当的是 .“若 a3=b3,则 a=b”类推出“若 a0=b
10、0，则 a=b”“(a+b)c=ac+bc”类推出“ = + ”c“(a+b）c=ac+bc”类推出“ = + (c0)”“（ab） n=anbn”类推出“(a+b) n=an+bn”3.下面给出了关于复数的四种类比推理：O xABFy育才中学 2010 届高三数学第一轮总复习教案 合情推理与演绎推理 杨忠武- 6 -复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量 a 的性质|a| 2=a2类比得到复数 z 的性质|z| 2=z2；方程 有两个不同实数根的条件是 可以类比得到：方程),(02 Rcbcbx 042acb有两个不同复数根的条件是 ；),(2Cz 2由向量加法的几何意义可以
11、类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是 ( )A. B. C. D. 4.定义 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A） 、DCBA,（B）所对应的运算结果可能是 ( )（1） （2） （3） （4） （A） （B）A. B. C. D.DB, , A, AC,三、演绎推理例 1.一切奇数都不能被 2 整除，2 100+1 是奇数，所以 2100+1 不能被 2 整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .例 2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面 ，直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线 ”的结论显然是错误的，这是
12、因为 babba（ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误例 3 “ AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线， AC,BD 互相垂直且平分。 ”补充以上推理的大前提是 。例 4由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。合情推理与演绎推理（答案）育才中学 2010 届高三数学第一轮总复习教案 合情推理与演绎推理 杨忠武- 7 -一、归纳推理例 1解析：（1）设 为 n 个点可连的弦的条数，则)(f变式 1.【答案】5， )2(1n解：由图 B 可得 ，5)4(f由 ， ， ，2)3(f 9)(f，
13、可推得n 每增加 1，则交点增加 个，16)1(n )(4)(nf 2)2(1n变式 2.（1）16，11（2） )2,强化训练1.答案 白色 2.答案 3.答案 4.答案 (5,7)mab二、类比推理（一）数列中的类比例 1.分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若 且,*Nqpnm则 ） ；,qpnmqpnmaa等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若 且,*则 ）.,qpnm由此，猜测本题的答案为： ).,17(*17221 Nnbbnn 事实上，对等差数列 ，如果 ，则na0k nkkaa22. 所以有：0kan21 11(n
14、） （ ）.从而对等比数列 ，如果 ，则有等式：nn122 *,Nkbk成立.),(121bbnk强化练习1.分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。解：a 是等和数列， ，公和为 5，n21a图 B育才中学 2010 届高三数学第一轮总复习教案 合情推理与演绎推理 杨忠武- 8 - ，则 ， ，知 ， （nN*） 。32a234a32na21 3，数列 a 形如：2，3，2，3，2，3，。18n 。为 奇 数为 偶 数nSn252.解析：由已知“等差数列前 n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前 n 项的
15、几何平均值也应该是等比数列”不难得到 。Nnccd也 是 等 比 数 列)(,.*321（二）几何中的类比例 1.解 类似的结论为： = .21RQPOV2O1R这个结论是正确的，证明如下：如图，过 R2作 R2M2平面 P2OQ2于 M2，连 OM2.过 R1在平面 OR2M2作 R1M1R 2M2交 OM2于 M1，则 R1M1平面 P2OQ2.由 = R1M1QOV31OS= OP1OQ1sinP 1OQ1R1M12= OP1OQ1R1M1sinP 1OQ1，6同理， = OP2OQ2R2M2sinP 2OQ2.2QPOV6所以 = .21R21由平面几何知识可得 = .OR所以 = .
16、所以结论正确.21RQPOV21例 2 . 证明 在四面体 VBCD 中，任取一点 O，连结 VO、DO、BO、CO 并延长分别交四个面于E、F、G、H 点.则 + + + =1.EDFBGCH在四面体 OBCD 与 VBCD 中：= = = .VEh1hSBCD31BCDVO同理有： = ； = ； = ，FVGVBHOVBDC + + +VEODBCHO= = =1. VVBDCC育才中学 2010 届高三数学第一轮总复习教案 合情推理与演绎推理 杨忠武- 9 -强化练习1.分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边体 积 面 积
17、 ； 二面角 平面角面 积 线段长； 由此，可类比猜测本题的答案：（证明略）.2ABCS2D2ABS2CD2.答案 = 3.答案 E83a(三)解析几何中的类比例 1.分析 类似的性质为：若 M、N 是双曲线 上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线12byax上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点 P 的位PMkNPMkN置无关的定值.证明：设点 M、P 的坐标为（ ） 、 （ ） ，则 N（ ）.nm,yx,nm,因为点 M（ ）在已知双曲线上，所以 ，同理 .n, 22ba22bxay则 （定值）.222xbxnyxykPN 强化训练1.分析
18、将题设中所给出的特殊方程、推广归纳到一般情况：设圆的方程为 ， 22)()(rbyax与 dc其中 或 ，则由式减去式可得两圆的对称轴方程.ab评注 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。2 答案： A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率 等于 .事实上对直角 应用勾股定理,e512ABF得 ,即有 ,2FB22()()()acbab注意到 , ,变形得 .bce10,ee从 而 512（四）定义、运算中的类比 例 1.解：通过阅读，不难发现： 1:1217,21206 ,2102,4,3,1 20 2100 写 成 二 进 制 为进 而 知 于是知二进制为 6 位数能
19、表示十进制中最大的数是。632: 5430 化 成 十 进 制 为育才中学 2010 届高三数学第一轮总复习教案 合情推理与演绎推理 杨忠武- 10 -强化训练1.答案 2 2.答案 3.答案：D 。解析：由复数的性质可知。4.答案：B。三、演绎推理例 1.一切奇数都不能被 2 整除，2 100+1 是奇数，所以 2100+1 不能被 2 整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .答案 一切奇数都不能被 2 整除， 大前提2100+1 是奇数， 小前提所以 2100+1 不能被 2 整除. 结论例 2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面 ，直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线 ”的结论显然是错误的，这是因为 babba（ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面 ,并不平行于平面内所有直线。例 3 “ AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线， AC,BD 互相垂直且平分。 ”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平分。例 4由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。答案： 。解析：是大前提，是小前提，是结论。
