1、高三数学第考轮专题复习系列-三角函数与复数一、大纲解读复数部分：加强数学思想方法的训练：转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体思想；突破关键知识：理解复数、实数、虚数、共轭复数的概念和复数的几何表示；熟练应用复数相等的条件；掌握复数的运算法则，及复数加减法的几何意义及应用；复数问题实数化方法 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高考对复数的考查难度较低，希望同学们复习时熟练掌握基础知识，复习有的放矢，策略得当，准确求解，保证与此有关的考高题目不丢分二、高考预测复数部分是高考必考内容之一，主要考查复数的有关概念和运算复数在高考中题型多为选择题和填空题，均为容易题.估计 2009 年高考对
2、这部分的考查不会有大的改变 .复数部分仍然会重点考查有关概念的复数基本运算，问题难度相当，均为容易题.三、重点剖析1.复数有关概念：实数、虚数、纯虚数、虚部、实部、共轭复数、复数相等等概念的理解、正确应用及复数的加减乘除四则运算法则的理解和正确应用复数 ),(Rbai)0(0)(ab非 纯 虚 数纯 虚 数）虚 数 （实 数 复数相等： ,Rdcbcadici 且 共轭复数： ab与 ()， 互为共轭复数注意： Raz2，biz2为纯虚数或零； z； z是纯虚数 0z且 例 1（08 年高考广东卷理 2）设 Ra，且 2()i为正实数，则 （08 年高考湖北卷理 11）设 1z是复数， 12z
3、， （其中 1表示复数 1z的共扼复数） ，已知 2z的实部是 ，则 2的虚部为 分析：求出复数的实虚部，利用复数的虚部为零，实部大于零求解即可；将 1z和2z都写成 ),(Rbai的形式，利用复数相等列方程组求解解： 2 2110,iaia设 bizRyxiz1),(21 ，由 12zi得：()biixyx ()1byxy评注：注意掌握复数有关概念的典型特征和两个复数相等的充要条件易错指导：用概念解题要抓住概念的本质列式，计算时注意正确使用复数的运算法则.2.复数的模的定义及求解方法、复数几何意义（点的表示和向量表示） 、及其相关的运算复数的模： 2|bai),(R几何意义：复数 ,iz可用
4、点 ()Zab， 或用 OZ表示例 2 已知 2|1|i（ 0a， i为虚数单位） iz的对应点为 A,O为原点，则 AOxcos 分析：根据复数模的定义求出 ，再用三角函数定义求解即可解： 121|2| aia，因为 0a所以 1则 ,A，|OA根据三角函数定义知： 21cosAOx评注：注意熟练记忆复数的模的公式，注意复数与三角的结合问题的求解易错指导：复数的模常常和点、向量相结合考查，注意交汇知识的正确应用，注意向量的两种几何表示：点表示：弄清各象限点的坐标的符号；向量表示：注意复数与平面向量交汇，弄清平面向量的基本运算法则.以上是对本专题重点内容的分，希望同学们针对以上几方面，复习时抓
5、住重点，提高解题准确性，提升解决问题的能力，减少失误的发生四、规律总结1复数中常见的重要结论 )(*Nn： ，nmz ，）（ mznz212； iiiinn342414,； 2()abiab， ()iai； ,2)1(ii， ,1,ii0321nni；设 i3，则 ),(, *2313Nkkkk 21，3； 210， 120()nn2共轭复数的运算性质： ),0()(, 21212121 zzzz* |,)()RzNnzn 为 纯 虚 数3复数中的解题方法和策略：证明复数是实数的策略： ),(0Rbabiaz az2 Rz证明复数是纯虚数的策略： bi为纯虚数 0,ba),(R；bizb20时
6、 ，为纯虚数； z是纯虚数 z且 复数方程求解策略：利用求根公式；利用韦达定理；利用复数相等的定义求解复数模的求解策略：利用定义求复数的模；利用几何意义求复数的模；利用复数对应的向量关系求复数的模；利用方程思想求解复数的模解决复数问题基本策略：复数相等策略；分母实数化策略；利用几何意义转化为点或向量策略；借助于特殊结论求解策略五、能力突破2.复数与三角函数的交汇例已知复数 sin2,cos21ziz，则 |21z的最大值为 .本题简介：主要考查复数的乘法运算、复数模的求解、三角公式和三角函数有界性的熟练应用.分析：把 |21z表示出来，然后利用三角函数的有界性求最大值.解： |sin2|co|
7、 i222 cosin40sin4cos41i0， |21z的最大值为 1.反思：本题以复数为切入点，重点考查了复数的模的计算方法、三角函数有关公式、最值的求解、均值不等式等内容，涉及的知识较多，基础性较强，所以求解此类问题的关键是熟练掌握所学基础知识5.复数和逻辑知识的交汇例 5 izRmimz 23),(4()1(221 则 1m是 2z的（ ）A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件本题简介：本题主要考查复数相等的充要条件，考查充要、充分不必要、必要不充分等等条件的判断方法.分析：先求出 21z的充要条件，再判定 1m与充要条件的关系.解：由 432m解得 2或 ，所以
8、 是 21z的充分条件.选 A.反思：判断（或）求充分条件或必要条件时，一般都需先求出充要条件，再利用条件对应集合之间的包含关系，来确定所给条件是什么条件.六、高考风向标考查方向一：考查复数中的有关概念，包括复数中的实数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等、复数的模等定义及其应用等例（08 年高考福建卷理 1）若复数 iaa)1(23(2是纯虚数，则实数 a 的值为（ ）A1 B2 C1 或 2 D分析：直接按纯虚数满足的条件列式求解即可解：因为 iaa)(3(2是纯虚数且 Ra，所以 01232a，解得 ，所以选感悟：注意纯虚数的虚部不等于零，这是解题易错点对复数的有关概念：实数、纯虚数、虚
9、数、共轭复数、复数相等这些概念的考查一直是高考对复数考查的重点之一，只要熟练掌握这些概念的本质特征，准确列式，此类问题便可迎刃而解考查方向二：考查复数有关运算例（08 年高考海南宁夏卷文 3）已知复数 iz1，则 12z（ ）A2 B2 C i2 D i2i分析：本题就是很简单的复数运算问题，直接按运算法则求解即可解：将 iz1代入得 21)(22iiz，选感悟：简单的复数运算仍然是高考对复数考查的重点之一，但要求不高，属于必须得分的题目，只要注意熟练掌握复数的加减、乘除及乘方运算，注意运算的正确性七、实战演练一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题
10、，每小题 5 分，共 60 分）1复数 izi1,321， 为虚数单位，若 12z，则复数 z（ ）A 5B 53 C i531 D i53 2用“更相减损术”计算得 60和 2的最大公约数为（ ）A20 B40 C5 D103已知 24iai是实数，则实数 a（ ）A 1B 8C 23D （08 广东 5 月模拟）运行如图的算法流程图，当输出 y的值为时，输入 x的值为（ ）.A B 1 C D 2设 i为虚数单位，复数 )sin)(co51iz为纯虚数，且 为第四象限角，cos则（ ）A 135 B. C. 132 D. 13给出以下算法： 0,SX；2；3；?4如果 3；执行 5S；否则
11、执行 2S；5S输出 ；6结束.则算法完成后，输出的 X的值等于（ ）题 图4)17(log2xxy22y输 出结 束 1开 始 x输 入 是 否是 否A 32 B 4 C 1 D 9若复数 z 满足对应关系 izf2)(，则 )1(ifi（ ）A 1i B2 C D08 （浙江衡州 08 高三 4 月质检）如右图，输入 n，输出的是（ ）A2005 B65 C64 D639当 132m时，复数 32ii在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限10某工程的工序流程图如图（工时单位：天）.现已知工程总时数为 10 天，则工序 c 所需工时为（ ）天A6 B4 C
12、7 D511在如下程序框图中，已知： xef)(0，则输出的结果是（ ）A xe208 B xe209 C e209 D 20812 （成都 08 第二次诊断（理）改编）设复数 1zbi R在复平面内的对应点为Z，若 2|O（O 为复平面原点） ，则 |2| ii取得最小值时， z（ ）A B i C 1 D第 II 卷二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）是)()(1xffii1i否i开 始 )(0xf输 入 8)(xfi输 出 结 束 题 图8开 始 n输 入 2)1(m0是 n输 出结 束 否题 图13Input xIf 0 Then1yElse xEnd IfP
13、rint y（第 22 题）13右图是计算 91531 的程序框图，判断框应填的内容是_,处理框应填的内容是_.14中学生小刚早上起床后要做以下事情：洗脸刷牙（5 分钟） 、烧水（8 分钟） 、泡面（3分钟） 、吃饭（10 分钟） 、上网查今天语文课要用到的一个资料（5 分钟）.则他做完这些事情用的最短时间为 15若关于 x的方程 012)(2mixi有实数根 t，则 tim1的共轭复数为 16如下图是成品加工流程图，从图中可以看出，一件成品必须经过的工序次数是_三解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）在复平面上，设点 A、 B
14、、 C ，对应的复数分别为 ,142ii过 A、 B、 C 做平行四边形ABCD求： OD对应的复数 1z；若 |z，求 |z的最大值18 （本小题满分分）某“儿童之家”开展亲子活动，计划活动按以下步骤进行：首先，儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家” 然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前的准备；同时，另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周的表现。第三步，按照亲子活动方案进行活动第四步，启导员填写亲子活动总结记录；同时，家长填写亲子活动反馈卡最后，启导员填写服务跟踪表你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗?19 （本小题满分 12 分）已知复数 Rmiz214和 sin3cos
15、2izR,，若21，求证： 769.20 （本小题满分 12 分）下图是根据所输入的 x值计算 y值的一个算法程序, 若 x依次零 件 到 达 粗 加 工 检 验 不 合 格 返 修 加 工 检 验 不 合 格合 格 废 品不 合 格合 格精 加 工 检 验 合 格 成 品取数列 10n()N中的前 200 项，求所得 y值中的最小值.21 （本小题满分 12 分）求复数 sinco1z)23(的模的取值范围22 （本小题满分分）已知算法：（1）指出其功能（用算式表示） ， （2）将该算法用流程图描述之，用算法语句编写简单的程序附：参考答案与解析一、选择题：1C提示： iizz5312112
16、2A提示：直接利用“更相减损术”原理逐步运算即可.3B提示： iaaiia）（）（ 25425343为实数，所以 82502541aS1 输入 xS2 若 x 2，执行 S3； 否则，执行 S6S3 y = 1S4 输出 yS5 执行 S12S6 若 ，执行 S7； 否则执行 S102xS7 y = xS8 输出 yS9 执行 S12S10 y = 12S11 输出 yS12 结束提示：这是一个条件分支结构，实质是分段函数求最值问题，将函数定义域分为三段讨论即可求解.分段函数为： 12)7(log)(xxf ，当 8)17(log2x时，解得 39x，不合题意；当 82时，解得 2x，不合题意
17、；当 x时，解得 x，符合题意，所以当输入 x的值为时，输出 y的值为.B.提示：由 )cos5sin12()si5co12()sin)(co512 iz 为纯虚数得： 0ssin12由 ssi022，解得： 3co.因为 为第四象限角，所以 co，则 13co，选 B.提示：此算法的功能为求解 )(2975*NnS 当 S取到第一个大于或等于 32的值时， S的表达式中最后一项的值由 4342)3()3(975 2nnS 所以 时，此时 142XC提示：令 iz，则 if)(， iiifi 1)(1)( D提示：框图的功能是寻找满足 208nm的最小的自然数 n，可解得， 62n，所以 63
18、，则输出的 值为 3提示： miii)1()(，此复数的对应点为 )1,2(，因为 32m，所以0,23，所以此复数的对应点在第四象限10B提示：设工序 c 所需工时数为 x 天，由题设关键路线是 a c e g.需工时 1+x+4+1=10. x=4，即工序 c 所需工时数为 4 天11提示： eef）（)(1， xexff2)(12，xxff3)(23，所以 e08)(08题 图8开 始 n输 入 2)1(m0是 n输 出结 束 否12提示：根据题意可得： 41|2bOZ，解得 3b所以点 Z落在以 )3,1(),(BA为端点的线段上，如右图|2| izi表示线段 上的点到 )1,2(,0
19、FE的距离之和，显然当FE,共线时，和最小，此时，点 Z是直线 AB与 的交点，由图知，交点为 ），（ 01，所以 1z5.38 5432()261.708fxxx8.0)7.63，当 5时， 275,1xv，5.13.275.2 xv二、填空题13 9i， i提示：这是一个当型循环结构，由条件可知判断的条件是：；处理框所填的是： 2i1421分钟提示：根据流程，可以先烧水，泡面，在烧水泡面的11分钟里，可以同时洗脸刷牙和上网查资料，这样最短可用去11分钟，然后吃饭用10分钟，这样他做完这些事情用的最短时间为21分钟15 i413提示：设方程的实根为 t，代入方程得 0122mitit ，可化
20、为02)(2mixi，所以有 021tm，解得 ，所以 ti1 iii 43)1(，所以其共轭复数为 i41316提示：从图中可以看出，一件成品必须经过的工序次数是粗加工、检验、精加工或返修加工、检验，至少四次三、解答题：17解：由题知平行四边形三顶点坐标为(0,1),(4,2)ABC，设 D 点的坐标为 xy因为 ，得 (1,)4,2)y，yx1231 2 3 4DCoABExyOABF题 图12得 41,2.xy得 3xy，即 (,)D，所以 ），（OD，则 对应的复数为 iz31因为 1|z，所以复数 的对应点在以 ),(为圆心，以为半径的圆上，则 |的最大值为 123|18解：19解：
21、因为 Rmiz214， sin3cos2izR,，所以，若 21，则 in3s2，消去 m可得： isin4，可化为 169832）（ ，则当 8sn时， 取最小值 169；当1sin时， 取最大值 7所以 6920解：此程序的功能是求解函数 )0(1xy的函数值根据题意知 )20,(10*nNnx则当 1且 *时， x；当 1且 *Nn时， 0x；所以 )10(ny，可以化为 )1(02y，儿 童 之 家 ”儿 童 和 家 长 如 约 来 到 “活 动 前 准 备接 待 儿 童 做 流 本 周 表 现接 待 家 长 交按 亲 子 活 动 方 案 活 动活 动 总 结 记 录启 导 员 填 写
22、 亲 子 活 动 反 馈 卡家 长 填 写 亲 子启 导 员 填 写 服 务 跟 踪 表当 10n时， 1时， y有最小值 10；当 0n时，则 10n时， y有最小值 1因为 ，所以所得 值中的最小值为.21解： 2sin4)si21(cos2sin)co1(| 22 z ，所以 |sin|因为 3，所以 43，所以 12，则 )2,(sin2|z，即 z的模的取值范围为 ),(22解：（1）算法的功能为： )(12xy（2）程序框图为：程序语句为： )“(xinput；2f1y；xifels；1yls；end),it(%yoprw.w.w.k.s.5.u.c.o.m开 始 x输 入 2是 否是 否12xy 12xyxy输 出结 束
