1、第一章 导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。4、 会求分段函数的导数。5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初
2、等函数的导数公式；4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。2. 1 导数概念一、引例1直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻 t 质点的坐标为 s, s 是 t 的函数: sf(t), 求动点在时刻 t0 的速度. 考虑比值, 这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0 内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻 t0 的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令 t t00, 取比值 的极限, 如果这个极限存在, 设为 v
3、 , 即, 这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度. 2切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M, 在点 M 外另取 C 上一点 N, 作割线 MN. 当点 N 沿曲线C 趋于点 M 时 , 如果割线绕点旋转而趋于极限位置 MT, 直线就称为曲线有点处的切线. 设曲线 C 就是函数 yf(x)的图形. 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0f(x0)处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y), 于是割线 MN 的斜率为, 其中 为割线 MN 的倾角. 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时, xx0. 如果当 x 0 时,
4、 上式的极限存在, 设为 k , 即存在, 则此极限 k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率 . 这里 ktan ,其中 是切线 MT的倾角. 于是, 通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线. 二、导数的定义1 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: . 令xxx0, 则yf(x0x)f(x0) f(x)f(x0), xx0 相当于x 0, 于是 成为或 . 定义 设函数 yf(x)在点 x0 的某个邻域内有定义, 当自变量 x 在 x0 处取得增量x( 点x0x 仍在
5、该邻域内 )时, 相应地函数 y 取得增量yf(x0x)f(x0); 如果y 与x 之比当x0时的极限存在, 则称函数 yf(x)在点 x0 处可导, 并称这个极限为函数 yf(x)在点 x0 处的导数, 记为 , 即, 也可记为 , 或 . 函数 f(x)在点 x0 处可导有时也说成 f(x)在点 x0 具有导数或导数存在. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 . 在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 如果极限 不存在, 就说函数 yf(x)在点 x0 处不可导. 如果不可导的原因
6、是由于 , 也往往说函数 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大. 如果函数 yf(x)在开区间 I 内的每点处都可导, 就称函数 f(x)在开区间 I 内可导, 这时, 对于任一 x I, 都对应着 f(x)的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数 yf(x)的导函数, 记作 , , , 或 . 导函数的定义式: . f (x0)与 f (x)之间的关系: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 xx0 处的函数值, 即. 导函数 f (x)简称导数, 而 f (x0)是 f(x)在 x0 处的导数或导数 f (x)在 x0 处
7、的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义f(x)在 的左导数 : ;f(x)在 的右导数 : .如果极限 存在, 则称此极限值为函数在 x0 的左导数 .如果极限 存在, 则称此极限值为函数在 x0 的右导数 .导数与左右导数的关系 .2求导数举例例 1求函数 f(x)C（C 为常数）的导数. 解: . 即(C ) 0. 例 2 求 的导数 解 例 3 求 的导数解 例 2求函数 f(x)x n (n 为正整数)在 xa 处的导数. 解: f (a) (x n1ax n2 a n1)na n1. 把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n1, 即 (x n)nx n1. (C)=0
8、, , , .更一般地, 有(x )x 1 , 其中 为常数. 例 3求函数 f(x)sin x 的导数. 解: f (x) . 即 (sin x)cos x . 用类似的方法, 可求得 (cos x )sin x . 例 4求函数 f(x)a x(a0, a 1) 的导数. 解: f (x) . 特别地有(e x )e x . 例 5求函数 f(x)log a x (a0, a 1) 的导数. 解: . 解: . 即 . :特殊地 . .3单侧导数: 极限 存在的充分必要条件是及 都存在且相等.f(x)在 处的左导数 : , f(x)在 处的右导数 : . 导数与左右导数的关系: 函数 f(
9、x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x0) 和右导数 f (x0)都存在且相等. 如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在, 就说 f(x)有闭区间a, b上可导 . 例 6求函数 f(x)x|在 x0 处的导数. 解: , , 因为 f (0) f (0), 所以函数 f(x)|x|在 x0 处不可导. 四、导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f (x0)在几何上表示曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处的切线的斜率, 即f (x 0)tan , 其中 是切线的倾角. 如果 yf(x)在点
10、x0 处的导数为无穷大, 这时曲线 yf(x)的割线以垂直于 x 轴的直线xx0 为极限位置, 即曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处具有垂直于 x 轴的切线 xx0. :由直线的点斜式方程, 可知曲线 yf(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为yy0f (x0)(xx0). 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 yf(x)在点 M 处的法线如果f (x0)0, 法线的斜率为 , 从而法线方程为. 例 8. 求等边双曲线 在点 处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程 . 解: , 所求切线及法线的斜率分别为, .所求切线方程为 , 即 4xy40.
11、 所求法线方程为 , 即 2x8y150. 例 9 求曲线 的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为 x0 则切线的斜率为. 于是所求切线的方程可设为. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上 , 因此, 解之得 x0=4. 于是所求切线的方程为 即 3xy40 四、函数的可导性与连续性的关系设函数 yf(x)在点 x0 处可导, 即 存在. 则. 这就是说, 函数 yf(x)在点 x0 处是连续的. 所以, 如果函数 yf(x)在点 x 处可导, 则函数在该点必连续. 另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例 7 函数 在区间(, )内连续, 但在点 x0 处
12、不可导. 这是因为函数在点 x0 处导数为无穷大. 2 2 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1 如果函数 u=u(x)及 v=v(x)在点 x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点 x 具有导数 并且u(x)v(x)=u(x)v(x) u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x) 证明 (1) =u(x)v(x).法则(1)可简单地表示为(uv)=uv (2) =u(x)v(x)+u(x)v(x), 其中 v(x+h)=v(x)是由于 v(x)存在, 故 v(x)在点 x 连续. 法则(2)可简单地表示为(uv)=uv+uv. (3) 法
13、则(3)可简单地表示为. (uv)=uv, (uv)=uv+uv, .定理 1 中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 uu(x)、vv(x) 、ww(x)均可导 则有(uvw)uvw (uvw)=(uv)w=(uv)w+(uv)w=(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw. 即 (uvw)=uvw+uvw+uvw. 在法则(2)中 如果 v=C(C 为常数), 则有 (Cu)=Cu. 例 1y=2x 3-5x 2+3x-7, 求 y解: y=(2x 3-5x 2+3x-7)= (2x 3)-5x 2)+3x)-7)= 2 (x 3)- 5 x 2)+ 3 x
14、)=23x 2-52x+3=6x 2-10x+3. 例 2. , 求 f (x)及 . 解: , . 例 3y=e x (sin x+cos x), 求 y. 解: y=e x )(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x)= e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x)=2e x cos x. 例 4y=tan x , 求 y. 解: .即 (tan x)=sec2x . 例 5y=sec x, 求 y. 解: =sec x tan x . 即 (sec x)=sec x tan x . 用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式:
15、(cot x)=-csc2x , (csc x)=-csc x cot x . 二、反函数的求导法则定理 2 如果函数 x=f(y)在某区间 Iy 内单调、可导且 f (y)0, 那么它的反函数 y=f 1(x)在对应区间 Ixx|xf(y) yIy内也可导, 并且 或 简要证明: 由于 xf(y)在 I y 内单调、可导( 从而连续) 所以 xf(y)的反函数 yf 1(x)存在 且 f 1(x)在 I x 内也单调、连续 任取 x I x 给 x 以增量x(x0 xxI x) 由 yf 1(x)的单调性可知yf 1(xx)f 1(x)0 于是 因为 yf 1(x)连续 故从而.上述结论可简
16、单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例 6设 x=sin y 为直接函数 则 yarcsin x 是它的反函数 函数 xsin y 在开区间 内单调、可导 且(sin y)cos y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x(1 1)内有 类似地有: . 例 7设 x=tan y 为直接函数 则 yarctan x 是它的反函数 函数 xtan y 在区间 内单调、可导 且(tan y)sec2 y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x( )内有 . 类似地有: . 例 8 设 xa y(a0 a 1)为直接函数 则 yloga x 是它的反函数 函数 xa y 在区
17、间 I y( )内单调、可导 且(a y)a y ln a 0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x(0 )内有 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数 lntan x 、 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理 3 如果 u=g(x)在点 x 可导, 函数 y=f(u)在点 u=g(x)可导, 则复合函数 y=fg(x)在点 x可导, 且其导数为或 . 证明: 当 u=g(x)在 x 的某邻域内为常数时, y=f(x)也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当 u=g(x)在 x 的某邻域内不等于常数
18、时 , u0, 此时有, = f (u)g (x ).简要证明 例 9 , 求 .解 函数 可看作是由 ye u ux3 复合而成的 因此 例 10 求 .解 函数 是由 ysin u 复合而成的 因此 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例 11lnsin x, 求 . 解: . 例 12 , 求 . 解: . 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设 yf(u) u(v) v(x) 则 例 13y=lncos(e x), 求 . 解: . 例 14 , 求 . 解: . 例 15 设 x0 证明幂函数的导数公式(x ) x 1 解 因为 x (e ln x
19、)e ln x 所以(x )(e ln x) e ln x( ln x) e ln x x1 x 1 四、基本求导法则与导数公式1基本初等函数的导数(1)(C)0,(2)(x) x1,(3)(sin x)cos x,(4)(cos x)sin x,(5)(tan x)sec2x,(6)(cot x)csc2x,(7)(sec x)sec xtan x,(8)(csc x)csc xcot x,(9)(a x)a x ln a,(10)(e x)ex,(11) ,(12) ,(13) ,(14) (15) ,(16) .2函数的和、差、积、商的求导法则设 uu(x), vv(x)都可导, 则(1
20、)(u v)uv,(2)(C u)C u,(3)(u v)uvuv,(4) .3反函数的求导法则设 x=f(y)在区间 Iy 内单调、可导且 f (y)0, 则它的反函数 y=f 1(x)在 Ixf(Iy)内也可导, 并且 或 4复合函数的求导法则设 yf(x), 而 ug(x)且 f(u)及 g(x)都可导, 则复合函数 yfg(x)的导数为或 y(x)f (u)g(x).例 16. 求双曲正弦 sh x 的导数 .解 因为 , 所以, 即 (sh x)=ch x. 类似地, 有(ch x)=sh x. 例 17. 求双曲正切 th x 的导数 解 因为 , 所以.例 18. 求反双曲正弦
21、arsh x 的导数 解 因为 , 所以. 由 , 可得 . 由 , 可得 . 类似地可得 例 19y=sin nxsinn x (n 为常数), 求 y. 解: y=(sin nx) sin n x + sin nx (sin n x)= ncos nx sin n x+sin nx n sin n-1 x (sin x ) = ncos nx sin n x+n sin n-1 x cos x =n sin n-1 x sin(n+1)x . 2. 3 高阶导数一般地, 函数 yf(x)的导数 yf (x)仍然是 x 的函数. 我们把 yf (x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数, 记作
22、 y、 f (x)或 , 即 y(y), f (x)f (x) .相应地, 把 yf(x)的导数 f (x)叫做函数 yf(x)的一阶导数. 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, , 一般地, (n1)阶导数的导数叫做 n 阶导数, 分别记作y, y (4), , y (n) 或 , , , . 函数 f(x)具有 n 阶导数, 也常说成函数 f(x)为 n 阶可导. 如果函数 f(x)在点 x 处具有 n 阶导数, 那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数. y称为一阶导数 y y y (4
23、) y(n)都称为高阶导数 例 1yax b , 求 y. 解: ya, y0. 例 2ssin t, 求 s. 解: s cos t , s 2sin t . 例 3证明: 函数 满足关系式 y 3y10. 证明: 因为 , 所以 y 3y10.例 4求函数 yex 的 n 阶导数. 解; yex , yex , yex , y( 4)ex , 一般地, 可得y( n)ex , 即 (ex)(n)ex . 例 5求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数. 解: ysin x, , , , , 一般地, 可得, 即 . 用类似方法, 可得 . 例 6求对函数 ln(1x)的 n 阶导数解: yln(
24、1x), y(1x)1, y(1x)2, y(1)(2)(1x)3, y(4)(1)(2)(3)(1x)4, 一般地, 可得y(n)(1)(2) (n1)(1x)n , 即 . 例 6求幂函数 yx (是任意常数)的 n 阶导数公式. 解: yx1, y(1)x2, y(1)(2)x3, y ( 4)(1)(2)(3)x4, 一般地, 可得y (n)(1)(2) (n1)xn , 即 (x )(n) (1)(2) (n1)xn . 当n 时, 得到(xn)(n) (1)(2) 3 2 1n! . 而 (x n)( n1)0 . 如果函数 uu(x)及 vv(x)都在点 x 处具有 n 阶导数
25、, 那么显然函数 u(x)v(x)也在点 x 处具有 n 阶导数, 且(uv)(n)u(n)v(n) . (uv)uvuv(uv)uv2uvuv, (uv)uv3uv3uvuv , 用数学归纳法可以证明, 这一公式称为莱布尼茨公式. 例 8yx2e2x , 求 y(20). 解: 设 ue2x , vx2, 则(u)(k)2k e2x (k1, 2, , 20), v2x , v2, (v)(k) 0 (k3, 4, , 20), 代入莱布尼茨公式, 得y (20)(u v)(20)u(20)vC 201u(19)vC 202u(18)v220e2x x220 219e2x 2x 218e2x
26、 2220e2x (x220x95). 2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数显函数: 形如 yf(x)的函数称为显函数. 例如 ysin x , yln x+e x . 隐函数: 由方程 F(x, y)0 所确定的函数称为隐函数.例如, 方程 xy3 10 确定的隐函数为 y . 如果在方程 F(x, y)0 中, 当 x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程 F(x, y)0 在该区间内确定了一个隐函数. 把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际
27、问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来. 例 1求由方程 e yxye0 所确定的隐函数 y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对 x 求导数得(e y)(xy)(e)(0), 即 e y yyxy0, 从而 (xe y0). 例 2求由方程 y5+2y-x-3x7=0 所确定的隐函数 yf(x)在x=0 处的导数 y|x0. 解: 把方程两边分别对 x 求导数得5yy2y121x 60,由此得 . 因为当 x=0 时, 从原方程得 y=0, 所以. 例 3. 求椭圆 在 处的切线方程. 解: 把椭圆
28、方程的两边分别对 x 求导, 得. 从而 . 当 x2 时, , 代入上式得所求切线的斜率. 所求的切线方程为, 即 . 解: 把椭圆方程的两边分别对 x 求导, 得. 将 x2, , 代入上式得,于是 ky|x2 . 所求的切线方程为, 即 . 例 4求由方程 所确定的隐函数 y的二阶导数. 解: 方程两边对 x 求导, 得, 于是 . 上式两边再对 x 求导, 得. 对数求导法: 这种方法是先在 yf(x)的两边取对数, 然后再求出 y 的导数. 设 yf(x), 两边取对数, 得ln y ln f(x), 两边对 x 求导 , 得, y f(x)ln f(x). 对数求导法适用于求幂指函
29、数 yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数. 例 5求 yx sin x (x0)的导数. 解法一: 两边取对数, 得ln ysin x ln x, 上式两边对 x 求导, 得, 于是 . 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 : yx sin xe sin xln x , . 例 6. 求函数 的导数. 解: 先在两边取对数( 假定 x4), 得ln y ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4), 上式两边对 x 求导 , 得,于是 .当 x1 时, ; 当 2x3 时, ; 用同样方法可得与上面相同的结果. 注 严格来说, 本题应分 x4, x1, 2x3 三种情况
30、讨论, 但结果都是一样的.二、由参数方程所确定的函数的导数设 y 与 x 的函数关系是由参数方程 确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数. 在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数 t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设 x(t)具有单调连续反函数 t(x), 且此反函数能与函数 y(t)构成复合函数y(x) , 若 x(t)和 y(t)都可导, 则, 即 或 . 若 x(t)和 y(t)都可导, 则 .例 7. 求椭圆 在相应于 点处的切线方程. 解: . 所求切线的斜率为 .
31、切点的坐标为 , . 切线方程为 , 即 bxay ab 0. 例 8抛射体运动轨迹的参数方程为 , 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. yv2t g t 2解: 先求速度的大小. 速度的水平分量与铅直分量分别为x (t)v1, y(t)v2gt, 所以抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为. 再求速度的方向, 设 是切线的倾角, 则轨道的切线方向为. 已知 x(t), y(t), 如何求二阶导数 y? 由 x(t), , . 例 9计算由摆线的参数方程 所确定的函数 yf(x)的二阶导数. 解: (t2n, n 为整数). (t2n, n 为整数). 三、相关变化率设 xx(t)及
32、yy(t)都是可导函数 而变量 x 与 y 间存在某种关系 从而变化率 与 间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率 例 10 一气球从离开观察员 500f 处离地面铅直上升 其速度为 140m/min(分) 当气球高度为 500m 时 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升 t(秒) 后 其高度为 h 观察员视线的仰角为 则 其中 及 h 都是时间 t 的函数 上式两边对 t 求导 得已知 (米/秒) 又当 h500(米)时 tan 1 sec2 2 代入上式得所以 (弧度/秒) 即观察员
33、视线的仰角增加率是每秒 0 14 弧度 2. 5 函数的微分一、微分的定义引例 函数增量的计算及增量的构成. 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由 x0 变到 x0x, 问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为 x, 面积为 A, 则 A 是 x 的函数: Ax2. 金属薄片的面积改变量为A(x0x)2(x0)2 2x0x (x)2. 几何意义:2x0x 表示两个长为 x0 宽为x 的长方形面积; (x)2 表示边长为x 的正方形的面积. 数学意义: 当x0 时, (x)2 是比x 高阶的无穷小, 即(x)2o(x); 2x0x 是x 的线性函数, 是A 的主要部分, 可以近似地
34、代替A. 定义 设函数 yf(x)在某区间内有定义, x0 及 x0x 在这区间内 , 如果函数的增量y f(x0x)f(x0)可表示为yAxo(x), 其中 A 是不依赖于x 的常数, 那么称函数 yf(x)在点 x0 是可微的, 而 Ax 叫做函数 yf(x)在点 x0 相应于自变量增量x 的微分, 记作dy, 即dy A x. 函数可微的条件: 函数 f(x)在点 x0 可微的充分必要条件是函数 f(x)在点 x0 可导, 且当函数 f(x)在点 x0 可微时, 其微分一定是dyf (x0)x. 证明: 设函数 f(x)在点 x0 可微, 则按定义有yAxo(x), 上式两边除以x, 得
35、. 于是, 当 x0 时 , 由上式就得到. 因此, 如果函数 f(x)在点 x0 可微 , 则 f(x)在点 x0 也一定可导 , 且 Af (x0). 反之, 如果 f(x)在点 x0 可导 , 即存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成, 其中0( 当x0), 且 Af(x0)是常数, x o(x). 由此又有y f (x0)xx . 因且 f (x0)不依赖于x, 故上式相当于yAxo(x), 所以 f(x)在点 x0 也是可导的. 简要证明 一方面 别一方面 以微分 dy 近似代替函数增量 y 的合理性: 当 f (x0)0 时, 有. ydyo(d y). 结论: 在 f (x
36、0)0 的条件下, 以微分 dyf (x0)x 近似代替增量yf(x0x)f(x0) 时, 其误差为 o(dy) 因此 在|x| 很小时 有近似等式y dy . 函数 yf(x)在任意点 x 的微分, 称为函数的微分, 记作 dy 或 d f(x), 即dyf (x)x , 例如 d cos x (cos x)x sin x x ; dex(e x)xexx . 例 1 求函数 yx2 在 x1 和 x3 处的微分. 解 函数 yx2 在 x1 处的微分为dy(x2)|x1x2x; 函数 yx2 在 x3 处的微分为dy(x2)|x3x6x . 例 2求函数 yx3 当 x2, x 0. 02
37、 时的微分. 解: 先求函数在任意点 x 的微分dy(x3)x3x2x . 再求函数当 x2, x0. 02 时的微分dy|x2x0.02 3x2| x2, x0.02 3220.020.24. 自变量的微分: 因为当 yx 时, dydx(x)xx, 所以通常把自变量 x 的增量x 称为自变量的微分, 记作 dx, 即 dxx. 于是函数 yf(x)的微分又可记作dyf (x)dx. 从而有 . 这就是说, 函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”. 二、微分的几何意义当y 是曲线 yf(x)上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点
38、纵坐标的相应增量. 当|x| 很小时, |ydy|比|x| 小得多. 因此在点 M 的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段. 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dy f (x)dx可以看出, 要计算函数的微分 , 只要计算函数的导数, 再乘以自变量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分运算法则. 1. 基本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式: (x )x 1 d (x )x 1d x (sin x)cos x d (sin x)cos x d x (cos x)sin x d (cos x)sin x d x (tan x)sec 2 x d (tan
39、x)sec 2x d x (cot x)csc 2x d (cot x)csc 2x d x (sec x)sec x tan x d (sec x)sec x tan x d x (csc x)csc x cot x d (csc x)csc x cot x d x (a x )a x ln a d (a x )a x ln a d x (e x)e x d (e x)e x d x 2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则: 微分法则: (uv)=u v d(uv)=dudv(Cu)=Cu d(Cu)=Cdu (uv)= uv+uv d(uv)=vdu+udv 证明乘积的微分法则: 根据
40、函数微分的表达式, 有d(uv)=(uv)dx. 再根据乘积的求导法则, 有(uv)=uv+uv. 于是 d(uv)=(uv+uv)dx=uvdx+uvdx. 由于 udx=du, vdx=dv, 所以 d(uv)=vdu+udv. 3. 复合函数的微分法则设 y=f(u)及 u=(x)都可导, 则复合函数 y=f(x)的微分为dy=yx dx=f (u)(x)dx. 于由(x)dx=du, 所以, 复合函数 y=f(x)的微分公式也可以写成dy=f (u)du 或 dy=yu du. 由此可见, 无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数, 微分形式 dy=f (u)du 保持不变. 这一性
41、质称为微分形式不变性. 这性质表示, 当变换自变量时, 微分形式 dy=f (u)du 并不改变. 例 3y=sin(2x+1), 求 dy. 解: 把 2x+1 看成中间变量 u, 则dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1)cos(2x+1)2dx=2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例 4. , 求 dy. 解: . 例 5ye13xcos x, 求 dy. 解: 应用积的微分法则, 得dyd(e13xcos x)cos xd(e13x)e13xd(cos x)(cos x)e13x(3dx)e13x(sin xdx)e
42、13x(3cos xsin x)dx. 例 6在括号中填入适当的函数 , 使等式成立. (1) d( )xdx; (2) d( )cos t dt. 解: (1)因为 d(x2)2xdx, 所以, 即 . 一般地, 有 (C 为任意常数 ). (2)因为 d(sin t) cos tdt, 所以. 因此 (C 为任意常数). 四、微分在近似计算中的应用1函数的近似计算在工程问题中, 经常会遇到一些复杂的计算公式. 如果直接用这些公式进行计算, 那是很费力的. 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替. 如果函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数 f (x)0, 且x| 很
43、小时, 我们有ydy=f (x0)x, y=f(x0+x)-f(x0)dy=f (x0)x, f(x0+x)f(x0)+f (x0)x. 若令 x=x0+x, 即x=x-x0, 那么又有f(x) f(x 0)+f (x0)(x-x0). 特别当 x0=0 时 , 有 f(x) f(0)+f (0)x. 这些都是近似计算公式. 例 1有一批半径为 1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为 0. 01cm. 估计一了每只球需用铜多少 g(铜的密度是 8. 9g/cm 3)?解: 已知球体体积为 , R0=1cm, R=0. 01cm. 镀层的体积为V=V(R0+R)-V(R0)V (R0)R=4R 02R=43. 1412 0. 01=0. 13(cm3). 于是镀每只球需用的铜约为0. 13 8. 9 =1. 16(g). 例 2利用微分计算 sin 303
