1、第一章函数与极限 授课题目（章节）1.1 映射与函数 教学目的与要求：1. 理解集合、区间、邻域等基本概念，掌握集合的运算及构造法2. 理解函数的概念；明确函数定义有两个要素；依赖关系、定义域；掌握函数表达式的运用3. 了解函数的基本性质；知道判定诸性质的思路4. 掌握将复合函数由外及里分解为简单函数的方法 教学重点与难点重点：理解集合、邻域的概念难点：函数的性质 讲授内容一.集合1 集合概念集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称：元）注：本课程中所有说的集合必须具有明确的界定，即对任何一个对象都可以按标准判断其是否属于所说的“总体” 介绍子集、真子集、
2、空集、集合的相等，等概念2. 集合的运算集合的基本运算有以下几种：并、交、差、直积介绍全集（基本集）与余集（补集）的概念3.区间和邻域设 0，点 的 领域是指满足 的一切实数 X 的集合。0X0X称为改邻域的中心， 成为该邻域的半径二.映射1. 定义：设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 ，使得对 X 中每个f元素 x，按法则 ，在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，则称 为从 Xf f到 Y 的映射，记作 、:其中 y 称为元素 x（在映射 下）的像，并记作 ，而元f ）（即 xfyxf),(素 x 称为元素 y（在映射 下）的一个原像注：映射是指两个集合之间的一种对应关系。判断
3、两集合之间的对应关系是否构成一个映射，关键是抓住两个要点：第一，对于第一个集合中的每一个元素，按照规则能否在另一个集合中找到一个与之对应的元素；第二，对于第一个集合中的每一个元素，第二个集合与之对应的元素是不是唯一的2. 逆映射定义：设 X 到 Y 的单射，则由定义，对每个 ，有唯一的f fRy。于是，我们可定义一个从 到 X 的新映射 ，即yxx）（适 合, f g，对每个 ，规定 。这个Rgf： fRyxxyg）（满 足， 这）（映射 称为 的逆映射，记作 RDfff 11,1， 值 域其 定 义 域2 复合映射：定义：设有两个映射 ，其中 ，则由映射 和ZYfXg21:,: 21Yg可以
4、定出一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 。显f ZxfXx）（映 成然，这个对应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射，这个映射称为映射 和 构f成的复合映射，记作 xgfxgfZgff ，）（） （， （：即 ,三.函数1. 函数的概念定义：设数集 ，通常简上 的 函 数为 定 义 在：， 则 称 映 射 DRfRD记为 ，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义xfy） ，（域，记作 ff， 即函数定义中，对每个 ，按对应法则 ，总有唯一确定的值 y 与之对应，Dxf这个值称为函数 在 x 出的函数值，记作 即 。因变量 yf ） ，（ x）（ xf与自变量 x 之间的这种依
5、赖关系，通常称为函数关系。函数值 的）（f全体所构成的集合称为函数 的值域，记作 或 即ffR，（ )DxyDfR),()(注：函数的概念中涉及五个因素：（1）自变量（2）定义域（3）应变量（4）对应规律（5）值域；在这五个因素中最重要的是定义域和因变量关于自变量的对应规律，这两者常称为函数的二要素介绍单值函数与多值函数的概念例.判断下列各对函数是否相同（1） f (x)=ln g(x)=2lnx2x(2) f (x)=1 g(x)= +x2sin2co(3) f (x)=|x| g(u)= 2u解：（2）中的 与 相同， （3）中的 与 相同）（ xf)g（ ）（ xf)g（例.求下列函数的
6、定义域（1） 321465)(xf(2 ) x7logl(3 ) xf21(解：（1） 3Df且（2） 7xf（3） 20f且2. 函数的几种特性（1） 函数的有界性（2） 函数的单调性(3 ) 函数的奇偶性定义：教材 132P例：判断 的奇偶性xxfln)(2解： )(1ln12xf为奇函数)(xf（4） 数的周期性3反函数于复合函数（5） 反函数定义：设函数 是单射，则它存在逆映射)(:Dff，称此映射 为函数 的反函数。Df)(:1 1f按此定义，对每个 ，使得 =y，于xfy有 唯 一 的),( ）（ xf是有 。这就是说，反函数 的对应法则是完全由函xf）（ 1 1f数 的对应法则所
7、确定的与反函数问题有关的题型主要有两类：判断给定函数是否存在反函数或求给定函数的反函数对严格单调函数有以下结论 严格单调函数必存在反函数（6） 复合函数有关的问题大致可分为两类：一是判断若干个函数能否构成复合函数;二是将一个复合函数分解为若干个简单函数复合函数的定义：设函数 ，函数1)(Dufy的 定 义 域 为，则由下式确定的函数1DgDxgu）（上 有 定 义 ， 且） 在（称为由函数 构成的复合函数，它的fy，）（ ）（） 和 函 数（ fyxu定义域为 D，变量 u 称为中间变量。函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为）（） （即 （ fxgff ,3. 函数的运算4. 初等函数定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数5. 双曲函数与反双曲函数小结与提问：小结：本讲内容十分重要，特别是缺点函数的两个要素务必弄懂；分段函数也须引起重视；函数的几种特性直接通过论证来判断；函数的反函数的存在性需重视。复合函数是本讲重点之一，掌握它，对学好微分与积分有很大的作用；要善于分析一个初等函数的结构提问：是否 ， 一定能复合成 y 为 x 的函数？）（ ufy）（ xg 课外作业6 (4)(6) 7 (3) 8. 12 .14（3） 17 21P
