1、第 7 章 直梁弯曲本章要点 理解弯曲的概念和实例 掌握截面法求剪力和弯矩 掌握剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 掌握横力弯曲（剪切弯曲）时正应力和切应力的计算 掌握横力弯曲变形的计算 掌握提高弯曲强度的措施,7.1 梁的类型及计算简图7.1.1 对称弯曲的概念承受设备及起吊重量的桥式起重机的大梁（图 7-1） 、承受转子重量的电机轴（图 7-2）等，在工作时最容易发生的变形是弯曲。其受力特点是：杆件都是受到与杆轴线相垂直的外力（横向力）或外力偶的作用。其变形为杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。图 7-1 桥式起重机的大梁 图 7-2 承受转子重量的电机轴工程中的梁，其横截面通常都
2、有一纵向对称轴。该对称轴与梁的轴线组成梁的纵向对称面（图 7-3） 。外力或外力偶作用在梁的纵向对称平面内，则梁变形后的轴线在此平面内弯曲成一平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。图 7-3 对称弯曲7.1.2 梁上的载荷作用在梁上的载荷可以简化为以下三种类型：(1)集中力 ；(2)集中力偶 ；(3)分布载荷，如图 7-4a 所示。7.1.3 梁的基本形式1.简支梁梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。如图 7-4a 所示。2.外伸梁梁的支座和简支梁相同，只是梁的一端或两端伸出在支座之外。如图 7-4b 所示。3.悬臂梁梁的一端固定，另一端自由。如图 7-4c 所示。在对称弯曲的情况下，梁的
3、主动力与约束反力构成平面力系。上述简支梁、外伸梁和悬臂梁的约束反力，都能由静力平衡方程确定，因此，又称为静定梁。在工程实际中，有时为了提高梁的强度和刚度，采取增加梁的支承的办法，此时静力平衡方程就不足以确定梁的全部约束反力，这种梁称为静不定梁或超静定梁。7.2 梁弯曲时的内力7.2.1 剪力和弯矩现以图 7-5 所示的简支梁为例来研究各横截面上的内力。P 1、P 2 和 P3 为作用于梁上的载荷， RA 和 RB 为两端的支座反力。为了显示出横截面上的内力，沿截面 mm 假想地把梁分成两部分，并以左段为研究对象。由于原来的梁处于平衡状态，所以梁的左段仍应处于平衡状态。作用于左段上的力，除外力
4、RA 和 P1 外，在截面 m-m 上还有右段对它作用的内力。把这些内力和外力投影于 y轴，其总和应等于零。一般说，这就要求截面 m-m 上有一个与横截面相切的内力 Q，图 7-4 梁的类型图 7-5 截面法求剪力和弯矩且由F y=0，得：RAP1Q=0Q= RAP1 (a)Q 称为横截面 m-m 上的剪力。它是与横截面相切的分布内力系的合力。若把左段上的所有外力和内力对截面 m-m 的形心 O 取矩，其力矩总和应等于零。一般说，这就要求截面 m-m上有一个内力偶矩，由M O=0，得：M+P1(x-a)-RAx=0M=RAx-P1(x-a) (b)M 称为横截面 mm 上的弯矩。它是与横截面垂
5、直的分布内力系的合力偶矩。从(a)式看出，剪力 Q 在数值上，等于截面 mm 以左所有外力在梁轴垂线（ y 轴）上投影的代数和。从(b)式算出，弯矩 M 在数值上，等于截面 mm 以左所有外力对截面形心的力矩的代数和。所以，Q 和 M 可用截面 mm 左侧的外力来计算。如以右段为研究对象，用相同的方法也可求得截面 mm 上的剪力 Q 和弯矩 M。且 Q 在数值上，等于截面 mm 以右所有外力在梁轴垂线上投影的代数和； M 在数值上，等于截面mm 以右所有外力对截面形心力矩的代数和。因为剪力和弯矩是左段与右段之间在截面 mm上相互作用的内力，所以，右段作用于左段的剪力 Q 和弯矩 M，必然在数值
6、上等于左段作用于右段的剪力 Q 和弯矩 M，但方向相反。把剪力和弯矩的符号规则与梁的变形联系起来，规定如下：如图 7-6a 所示变形情况下，截面的左段对右段向上错动时，截面上的剪力规定为正；反之，为负如图 7-6b 所示。如下图 7-6c 所示变形情况，即在横截面 mm 处弯曲变形凹向下时，这一横截面上的弯矩规定为正；反之，为负如图 7-6d 所示。图 7-6 剪力和弯矩的符号规则 图 7-7 求梁各横截面上的内力根据上述规定可知：对某一指定的截面来说，在它左 侧向上的外力，或右侧向下的外力将产生正的剪力；反之，即产生负的剪力。至于弯矩，则无论在指定截面的左侧或右侧，向上的外力产生正的弯矩，而
7、向下的外力产 生负的弯矩。【例 7-1】：图 7-7a 示的悬臂梁 AB ，长为 l ，受均布载荷 q 的作用，求梁各横截面上的内力。解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的 B 端为 x 处沿 m-m 截面将梁切开。现取左段为研究对象，作出受力图如图 7-7b 示，由平衡方程求得内力：Fy=0，-qx-Q=0Q=-qx MC=0，(qx 2)/2+M=0M=-(qx2)/2【例 7-2】：如图 7-8 所示简支梁受集中力 F=1000 N，集中力偶 M=4 kNm 和均布载荷q=10 kN/m 的作用，试根据外力直接求出图中 1-1 和 2-2 截面上的剪力和弯矩。图 7-8 求指定截面
8、的剪力和弯矩解：（1）求支反力 MB=0，F0.75 mF Ay 1 mM10 4 N/m0.5 m0.25 m=0FAy =-2000 NFy=0，F AyF0.5qF By=0FBy=8000 N（2）求截面内力 由左侧外力计算 1-1 截面：Q 1 =FAy =2000NM 1=FAy0.2m=2000N0.2m=400 Nm2-2 截面：Q 2 = FAyF q0.1=2000 N1000N 10 4 N/m0.1 m=4000 NM2 = FAy0.6 mF0.35 mMq0.1 m0.05 m=2000 N0.6m1000 N0.35 m 4000 Nm10 4 N/m 0.1 m
9、0.05 m=2400 Nm由右侧外力计算1-1 截面：Q 1= FByq0.5 F= 8000 N 10 4 N/m0.5 m1000 N=2000 NM1 = FBy0.8 mq0.5 m0.55 mMF0.05 m= 8000 N0.8 m10 4 N/m 0.5 m0.55 m4000 N1000 N0.05 m= 400 Nm2-2 截面：Q 2 = q0.4F By=10 kN/m0.4 m8 kN=4000 NM2 = FBy0.4 mq0.4 m0.2 m=8000 N0.4 m10 4 N/m0.4 m0.2 m=2400 Nm两侧计算结果完全相同，但截面 1-1 上的内力由
10、左侧计算较简便，截面 2-2 上的内力则由右侧计算较方便。由以上计算的结果可知，计算内力时可任取截面左侧或右侧，一般取外力较少的杆段为好。7.2.2 剪力方程和弯矩方程 以横坐标 x 表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为 x 的函数，即：Q= Q(x) ，M= M(x)，这就是梁的剪力方程和弯矩方程。7.2.3 剪力图和弯矩图为了形象地表明剪力和弯矩沿梁轴的变化情况，可以用横坐标表示横截面的位置，而以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩，按一定比例尺，可分别绘出 Q=Q(x)和 M=M(x)的图形。这两种图形分别称为剪力图（Q 图）和弯矩图（M 图） 。作剪力图（Q 图）
11、和弯矩图（ M 图）的一般步骤为：作剪力 Q-x 和弯矩 M-x 直角坐标系，其中 x 轴平行于梁轴线， Q 轴、M 轴垂直于梁轴线；确定分段点，分段建立剪力方程、弯矩方程；确定各分段点处截面上的剪力和弯矩的大小及正负，标在 Q -x 和 M-x 坐标系中得到相应的点；根据各段剪力方程、弯矩方程，在 Q -x 坐标中大致作出剪力图图形，在 M-x 坐标中大致作出弯矩图图形。【例 7-3】：试作出例 71 中悬臂梁的剪力图和弯矩图。 解：（1）建立弯矩方程，由例 71 知弯矩方程为：Q=-qx，M=-(qx 2)/2(0xl)（2）画剪力图和弯矩图 剪力方程为一元一次方程，其图象为一斜直线；弯矩
12、方程为一元二次方程，其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其剪力图和弯矩图，如图 7-7 所示。cx=0：Q=0 ，M=0；x=l：Q=-ql ，M=-ql 2/2【例 7-4】：图 7-9a 所示简支梁，在全梁上受集度的均布载荷，试作此梁的弯矩图。 解： （1）求支反力：由M A=0 及M B=0 得FAy=FBy=ql/2（2）列弯矩方程：取 A 为坐标原点，并在截面 x 处切取左段为研究对象（图 7-9b） ，则 M= FAyx-qx2/2=qxl/2-qx2/2 (0x l )图 7-9 作梁的弯矩图 图 7-10 作梁的弯矩图（3）画弯矩图上式表明，弯矩 M 是 x 的二次函数
13、，弯矩图是一条抛物线。由均布载荷在梁上的对称分布特点可知，抛物线的最大值应在梁的中点处。也可用求极值的方法确定极值所在位置即极值的 x 坐标值，代入弯矩方程，求出弯矩的最大值。由三组特殊点，可大致确定这条曲线的形状（图 7-9c） 。【例 7-5】：图 7-10 a 示的简支梁 AB ，在 C 点处受到集中力 F 作用，尺寸 a 、b 和 l均为已知，试作出梁的弯矩图。解：（1）由静力平衡条件计算支反力：MB=0，Fb-R Al=0；M A=0，R Bl-Fa=0由此得：R A= Fb/l，R B= Fa/l（2）建立弯矩方程在梁的 C 点处有集中力 F 作用，所以梁应分成 AC 和 CB 两
14、段分别建立弯矩方程。M(x)=Fbx/l (0xa) M(x)=Fbx/l-F(x-a)=Fa(l-x)/l (axl)（3）由弯矩方程知，C 截面左右段均为斜直线。AC 段 x=0， M=0； x=a， M=Fab/l BC 段 x=a， M=Fab/l； x=l， M=0。作弯矩图如图 7-10 b 所示。最大弯矩在集中力作用处横截面 C，M max=Fab/l。【例 7-6】：图 7-11a 示的简支梁 AB，在 C 点处受到集中力偶 M0 作用，尺寸 a、b 和l 均为已知，试作出梁的弯矩图。解：（1）求约束反力：F A=FB=M0/l（2）建立弯矩方程 由于梁在 C 点处有集中力偶
15、M0作用，所以梁应分 AC 和 CB 两段分别建立弯矩方程。AC 段：M=-F Ax=- M0x/l (0xa) CB 段：M= M0-FAx= M0- M0x/l (ax l)（3）画弯矩图：由弯矩方程可知，C 截面左右均为斜直线。AC 段：x=0， M=0； x=a， M=- M0a/l。BC段：x= a， M= M0b/l； x=l， M=0。作弯矩图如图 b 所示。如 ba，则最大弯矩发生在集中力偶作用处右侧横截面上， Mmax= M0b/l 。由以上例题的弯矩图可归纳出以下特点：（1）梁上没有均布载荷作用的部分，弯矩图为倾斜直线。（2）梁上有均布载荷作用的一段，弯矩图为抛物线，均布载
16、荷向下时抛物线开口向下（） 。（3）在集中力作用处，弯矩图上在此出现折角（即两侧斜率不同） 。（4）梁上集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变的值即为该处集中力偶的力偶矩。从左至右，若力偶为顺时针转向，弯矩图向上突变，反之若力偶为逆时针转向，则弯矩图向下突变。（5）绝对值最大的弯矩总是出现在：剪力为零的截面上、集中力作用处、集中力偶作用处。利用上述特点，可以不列梁的内力方程，而简捷地画出梁的弯矩图。其方法是：以梁上的界点将梁分为若干段，求出各界点处的内力值，最后根据上面归纳的特点画出各段弯矩图。图 7-11 作出梁的弯矩图图 7-12 作梁的弯矩图【例 7-7】：一外伸梁受力情况如图 7-12a
17、所示，试作梁的弯矩图。解： （1）求支反力MA=0，Mq10m(52)m F12mF By10m=0FBy=14.8 kNMB=0，F Ay10mM q8m4m q2m1mF2m=0F Ay=7.2 kN（2）求各界点的弯矩值本题中有四个界点 A、B、C、D。故将全梁分为三段 AC、CB、BD。A 点： MA 右 =0C 点： MC 左 = FAy2m=14.4 kNm，M C 右 = FAy2m-M=14.4-16=-1.6 kNmB 点：M B 左 =-q2m1m-F2m =-8 kNm， MB 右 = MB 左 =-8 kNmD 点：M D 右 = MD 左 =0（3）画弯矩图AC 段：
18、该段无均布载荷，M 图应为斜直线。连接 A 点和 C 点左侧弯矩值，画出 AC 段弯矩图。CB 段：该段 C 点处有集中力偶，M 图上有向下的突变，突变值为外力偶矩的大小，CB段受向下的均布载荷作用，故该段弯矩图是开口向下的抛物线。但这里需确定该段弯矩最大值及所在位置，由上面归纳可知，最大弯矩值应在该段剪力为零的点，故列剪力方程Q= FAy-q(x-2)，当 Q=0 时， x=5.6 m。列弯矩方程：M=F Ayx-M- q(x-2) (x-2)/2=7.2x-16-(x-2)2 ，当 x=5.6 m 时， Mmax=11.36 kNm。连接 C 点右侧、最大弯矩值点与 B 点左侧弯矩值即可大
19、至画出该段弯矩图。BD 段：该段受向下均布载荷作用，故 M 图为开口向下的抛物线。连接 B 点右侧与 D点左侧弯矩值，可得该段弯矩图。7.3 梁纯弯曲时的强度条件7.3.1 梁纯弯曲的概念剪力和弯矩是横截面上分布内力的合成结果，由前面的分析可知，正应力 与切向作用于横截面内的剪力 垂直，因此 与 无关；同样，切应力 所作用的平面与弯矩 M 作用的梁的纵向对称面相垂直，因此与 M 无关。综上所述，切应力 对应的内力为剪力，正应力 对应的内力为弯矩。当梁的横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的情况，称为纯弯曲。横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的情况称为横力弯曲或剪切
20、弯曲。本节重点讨论纯弯曲时梁横截面上的正应力。7.3.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力图 7-13 所示的梁 CD 段为纯弯曲变形，该段横截面上的正应力的分布规律也需从几何、物理和静力学三方面考虑，详细分析请参考有关教材。 对弯曲变形的变形特点作出的平面假设认为：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是 绕横截面内某一轴旋转 了一角度（图 7-14a、b） 。若设想梁由无数纵向纤维组成，所有纵向纤维只受到轴向拉伸与压缩，由变形的连续性可知，从梁上半部的压缩到下半部的伸长，其间必有一层长度不变，该层称为中性层，中性层与横截面的交线，称为中性轴（图 7-14c） 。图 7-
21、13 纯弯曲变形图 7-14 弯曲变形的变形特点经理论分析，知中性轴通过横截面的形心。变形时横截面绕其中性轴转动。由上述三方面的分析可得 1/=M/EIz，以及纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式 （7-1）zIMy式中 M横截面上的弯矩；y 横截面上任一点到中性轴的矩离； 截面AzdyI2对中性轴 z 的惯性矩，只与截面的形状和尺寸有关的几何量。由上式可知，梁弯曲时，横截面上任一点处的正应力与该截面上的弯矩成正比，与惯性矩成反比，并沿截面高度呈线性分布。y 值相同的点，正应力相等；中性轴上各点的正应力为零。在中性轴的上、下两侧，一侧受拉，一侧受压。距中性轴越远，正应力越大（图 7-15） 。a
22、) b)图 7-15 弯曲时的正应力当 y=ymax 时，弯曲正应力最大，其值为（7-2）zzWMIymaxax式中，W z=Iz/ymax 称为截面对于中性轴的弯曲截面系数，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。7.3.3 惯性矩和抗弯截面模量工程上常用的矩形、圆形及环形的惯性矩和弯曲截面系数见表 7-1。对于其它截面和各种轧制型钢，其弯曲截面系数可查有关资料。对与形心轴平行的轴的惯性矩，由惯性矩的平行移轴定理给出，即Iz= Iz+a2A （7-3）式中Iz为截面对于形心轴的惯性矩；Iz为截面对于与形心轴平行的任一轴的惯性矩；a为该两轴之间的距离；A为该截面的面积。上式用于计算简单组合图形对其
23、形心轴的惯性矩。7.3.4 梁纯弯曲时的强度条件式（7-2）是在梁纯弯曲的情况下导出的，但工程中弯曲问题多为横力弯曲，即梁的横截面上同时存在有正应力和切应力。但大量的分析和实验证实，当梁的跨度 l 与横截面高度h 之比大于 5 时，这个公式用来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力还是足够精确的。对于短梁或载荷靠近支座以及腹板较薄的组合截面梁，还必须考虑其切应力的存在。对于等截面梁，此时的最大正应力应发生在最大弯矩所在的截面（危险截面）上，故有表 7-1 简单截面的惯性矩和抗弯截面模量zIyMmaxax或 （7-4）zWaxax其强度条件是：梁的最大弯曲工作正应力不超过材料的许用弯曲正应力，即ma
24、x （7-5 ）在应用上述强度条件时，应注意下列问题：（1）对塑性材料由于塑性材料的抗拉和抗压许用能力相同，为了使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到其许用应力，通常将梁的横截面做成与中性轴对称的形状，例如工字形、圆形、矩形等，所以强度条件为（7-6）zWMmaxax（2）对脆性材料脆性材料的抗拉能力远小于其抗压能力，为使截面上的压应力大于拉应力，常将梁的横截面做成与中性轴不对称的形状，如 T 形截面，此时应分别计算横截面的最大拉应力和最大压应力，则强度条件应为（7-7）t1maxax,t zIyM（7-8）c2axax,czI式中 y1 和 y2 分别表示受拉与受压边缘到中性轴的距离。根据
25、强度条件，一般可进行对梁的强度校核、截面设计及确定许可载荷。【例 7-8】：图 7-16a 为一矩形截面简支梁。已知：F=5 kN，a=180 mm, b=30 mm，h=60 mm ，试求竖放时与横放时梁横截面上的最大正应力。图 7-16 求竖放时与横放时梁横截面上的最大正应力解： （1）求支反力：F Ay=FBy=5kN（2）画弯矩图（图 7-16b ）竖放时最大正应力 MPa 506m)(30N196232max hMWz横放时最大应力 a 1)(232max bz由以上计算可知，对相同截面形状的梁，放置方法不同，可使截面上的最大应力也不同。对矩形截面，竖放要比横放合理。【例 7-9】：
26、图 7-17 为 T 型铸铁梁。已知：F 1=10 kN，F 2=4 kN，铸铁的许用拉应力 t=36 MPa，许用压应力 c=60 MPa，截面对形心轴 z 的惯性矩 Iz=763 cm4，y 1=52 mm。试校核梁的强度。图 7-17 校核梁的强度解： （1）求支反力MC=0，F Ay =3 kN；M A=0， FCy=11 kN（2）画弯矩图 MA= MD=0；M B= FAy1m=3 kNm；M C=F21m=4 kNm（3）强度校核Mmax= MC=4 kNmC 截面 c462Cmax,c Pa 46.2m107352N4 zIy由于 MB 为正弯矩，其值虽然小于 MC 的绝对值，
27、但应注意到在截面 B 处最大拉应力发生在距离中性轴较远的截面下边缘各点，有可能发生比截面 C 还要大的拉应力，故还应对这些点进行强度校核。B 截面t462Bmax,t 34.6MPam107352N zIy梁满足强度条件。【例 7-10】：图 7-18 一单梁吊车由 32b 号工字钢制成，见图 7-18，梁跨度 l=10.5 m，梁材料为 Q235 钢，许用应力 =140 MPa，电葫芦自重 G=15 kN，梁自重不计，求该梁可能承载的起重量 F。 图 7-18 单梁吊车解： （1）求支反力单梁吊车可简化为受集中力（F+G）的简支梁，分析可知，当吊车行至中点时，梁上的弯矩最大，此时，根据对称性
28、可求得支反力为 FAy=FBy= 2G（2）求最大弯矩 4)(maxlM（3）计算许可载荷 F根据强度条件 或 MmaxWzzax由型钢表查得 32b 工字钢的弯曲截面系数Wz=726.33 cm3（表中为 Wx）故 MmaxWz=（14010 6N/m2）（726.3310 -6m3）=1.0210 5 Nm=102 kNm由 4)(axlGF得 kN 2.86 1 0.5kN4max lF7.4 弯曲变形在工程实际中，某些机器或机构中的构件，在满足强度条件的同时，还需要满足一定的刚度条件。因为对某些构件而言，刚度条件将直接影响到机器或机构的工作精度，如机床主轴，如果刚度不够，将严重影响加工
29、工件的精度，传动轴的变形过大，则不仅会影响齿轮的啮合，还会导致支撑齿轮的轴颈和轴承产生不均匀磨损，既影响轴的旋转精度，同时还会大大降低齿轮、轴及轴承的工作寿命。7.4.1 挠曲线设悬臂梁 AB 在其自由端 B 有一集中力 F 作用（图 7-19） 。弯曲变形前梁的轴线 AB 为一直线，选取直角坐标系，令 x 轴与梁变形前的轴线重合，w 轴垂直向上，则 xw 平面就是梁的纵向对称平面， 变形后，在梁的纵向对称平面内梁的轴线 AB 变成一条连续光滑的曲线AB，此曲线称为梁的挠曲线，如图 7-19 所示。显然挠曲线是梁截面位置 x 的函数。图 7-19 挠曲线7.4.2 挠度和转角注意观察梁在 xw
30、 平面内的弯曲变形，可以发现梁的各横截面都在该平面内发生线位移和角位移。考察距左端为 x 处的任一截面，该截面的形心既有垂直方向的位移，又有水平方向的位移。但在小变形的前提下，水平方向的位移很小，可忽略不计，因而可以认为截面的形心只在垂直方向有线位移 CC。这样，梁的变形可用梁轴线上一点（即横截面的形心）的线位移和横截面的角位移表示。轴线上任一点在垂直于 x 轴方向的位移，即挠曲线上相应点的纵坐标，称为该截面的挠度，用 w 表示。这样，则梁的挠曲线方程可表示为w=w（x ） （7-9）梁弯曲变形后，横截面仍然保持为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，只是绕中性轴发生了一个角位移，此角位移称为该截面
31、的转角，用 表示。过 C点作一切线，切线与 x 轴的夹角即等于横截面的转角，在工程中，通常转角很小，因此有（7-10）xdtan上式表明，横截面的转角等于挠曲线在该截面处切线的斜率。挠度和转角的符号，随所选定的坐标系而定。在图 7-19 所示坐标系中，向上的挠度为正，反之为负，单位为米（m ）或毫米（mm） ；逆时针转向的转角为正，反之为负，单位为弧度（rad ） 。7.4.3 求弯曲变形的两种方法1、积分法通过研究，得到挠曲线的近似微分方程为（7-11）EIxMw2d上式为挠曲线的近似微分方程，是研究弯曲变形的基本方程式。式中 EI 称为梁的抗弯刚度。解微分方程可得挠曲线方程和转角方程，从而
32、求得任一横截面的挠度和转角。对等截面梁，EI 是常量，将微分方程积分一次可得转角方程（7-12）CxEIxd 1d再积分一次得挠曲线方程（7-13）DMIw 式中 C、D 是积分常数，可利用连续条件和边界条件（即梁上某些截面的已知位移和转角）确定。例如，在铰支座处挠度等于零；在固定端处，挠度和转角均等于零。2、叠加法叠加法是工程上常采用的一种比较简便的计算方法。在小变形且材料服从胡克定律的前提下，梁的挠度和转角均与梁上载荷成线性关系。所以，梁上某一载荷所引起的变形可以看作是独立的。不受其它载荷影响，于是可以将梁在几个载荷共同作用下产生的变形看成是各个载荷单独作用时产生的变形的代数叠加。这就是计
33、算梁的弯曲变形的叠加原理。用叠加法计算梁的变形时，需已知梁在简单载荷作用下的变形，表 7-2 列出了梁在简单载荷作用下的变形，用叠加法时可直接查用。【例 7-11】：如图 7-20 示的悬臂梁，抗弯刚度为 EI，集中载荷 F，求 w(x)、 (x)及wmax(x)、 max(x)。图 7-20 悬臂梁简图解：弯矩方程：M(x)=-F(l-x)挠曲线近似微分方程：EIw=M(x)=-F(l-x)=Fx-Fl积分得21)FEIwxlC32(2)6lEIwxCD边界条件为：0,Axw将边界条件代入(1)、(2) 两式中, 可得 及 。CD236FEIxlw 2max3aBFlEIw【例 7-12】：
34、试用叠加法求图 7-21a 示梁 A 截面的挠度与 B 截面的转角，EI 为已知。图 7-21 求的挠度与转角解：将梁的载荷分为两种载荷，单独作用的情况如图（b）与（c）所示。(1)在 qa 单独作用时，图（b）所示，查手册可得： EIqaB416)(32IwBA(2)在均布载荷 q 单独作用时，图（c）所示，为求 B 与 wA，可利用图（d）与（e ）两种情况，即分别考虑 AB 段与 BC 段的变形。由图（e） ，查手册得：B =(-qa2/2)2a/3EI=-(qa3)/(3EI) 由图（d） 、 （e）两种情况，应用叠加法，得：wA=-qa4/8EI-qa4/3EI=-(11qa4)/(
35、24EI) (3)在两种载荷共同作用下，应用叠加法得EIqaIEqaBB 12343IIwAA 457.4.4 梁的刚度校核 计算梁的变形，目的在于对梁进行刚度计算，以保证梁在外力的作用下，因弯曲变形产生的挠度和转角必须在工程允许的范围之内，即满足刚度条件wmaxw （7-14）max （7-15）式中w、 分别为构件的许用挠度和许用转角。对于各类受弯构件的w、 可从工程手册中查到。7.5 提高梁弯曲强度和刚度的措施7.5.1 合理安排梁的受力情况1.合理布置支承位置承受均布载荷的简支梁如图 7-22a 所示，最大弯矩值为 ql2/8，最大挠度为w=5ql4/384EI，若将两端支承各向内侧移
36、动 2l/9（图 7-22c） ，则最大弯矩降为 2ql2/81（图 7-22d） ，前者约为后者的 5 倍，同时因缩短了梁的跨度，使梁的变形大大减小，最大挠度降为w=0.11ql4/384EI。若增加中间支承（图 7-22e）则最大弯矩减为 ql2/32，是原来的 1/4，同时最大挠度减至原来的 1/40。也就是说，仅仅改变一下支承的位置或增加支承。可将梁的承载能力成倍提高。2.合理配置载荷如图 7-23a 所示一受集中力作用的简支梁。集中力 F 作用于中点时，其最大弯矩为Fl/4（图 7-23b） ，最大挠度为 Fl3/48EI。若将集中力 F 移至离支承 l/6 处，则最大弯矩降为5Fl
37、/36（图 7-23c，d） ，最大挠度降为 Fl3/324EI，梁的最大弯矩与最大挠度都显著降低。又若将集中力分到两处（图 7-23e，f ） ，最大弯矩与最大挠度同样将大大降低。图 7-22 合理布置支承位置 图 7-23 合理配置载荷7.5.2 合理选择梁的截面形状梁的强度和弯曲刚度都与梁截面的惯性矩有关，选择惯性矩较大的截面形状能有效提高梁的强度和刚度。在面积相同的情况下（图 7-24） ，工字形、槽形、T 形截面比矩形截面有更大的惯性矩，圆形截面的惯性矩最小。所以工程中常见的梁多为工字形、T 形等。 图 7-24 梁的截面形状表 7-2 梁 在 简 单 载 荷 作 用 下 的 变 形
38、7.6 习题7-1 试作出题 7-1 图中各梁的弯矩图，求出其M max，并加以比较说明。a) b)c) d)题 7-1 图7-2 悬臂梁受力及截面尺寸如题 7-2 图所示。设 q=60 kN/m，F=100 kN。试求（1）梁 1-1 截面上 A、B 两点的正应力；（2）整个梁横截面上的最大正应力。题 7-2 图7-3 简支梁受力如题 7-3 图所示。梁为圆截面，其直径 d=40 mm，求梁横截面上的最大正应力。题 7-3 图7-4 一单梁桥式吊车如题 7-4 图所示，梁为 No28b 工字钢制成，材料的许用正应力 =140 Mpa。试确定电葫芦和起吊重量的总和。题 7-4 图7-5 一矩形
39、截面梁如题 7-5 图所示。已知：F=2 kN，横截面的高度比 h/b=3；材料的许用正应力 =8 MPa，试选择横截面的尺寸。题 7-5 图 题 7-6 图7-6 伸梁受力如题 7-6 图所示，梁为 T 型截面。已知：q=10 kN/m，材料的许用正应力=160 MPa，试确定截面尺寸。7-7 如题 7-7 图所示，梁的材料为铸铁，已知许用拉应力 t=40 MPa，许用压应力 c=100 MPa，截面对中性轴的惯性矩 Iz=103cm4。试校核其正应力强度。题 7-7 图7-8 如题 7-8 图所示的剪刀机构的 AB 与 CD 杆的截面均为圆形，材料相同，许用应力=100 MPa，设 F=200N。试确定 AB 与 CD 杆直径。题 7-8 图
