1、1,第7章 弯曲,主要内容:,1.直梁平面弯曲的概念,2.梁的类型及计算简图,3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）,4.梁纯弯曲时的强度条件,5.梁弯曲时的变形和刚度条件,2,平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。,1.梁弯曲的工程实例,2.直梁平面弯曲的概念：,弯曲变形：构件在轴截面内承受力偶作用，或受垂直于轴线方向的外力作用，构件的轴线在载荷作用下弯曲成曲线。,以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。,3,梁弯曲的工程实例1,4,梁弯曲的工程实例2,5,梁的轴线和横截面的对称轴构成的平面称为纵向对称面。,6,在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁。作
2、用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式:,1.集中力:,2.集中力偶:,3.分布载荷(均布载荷),单位为N/m,7,简支梁：一端为活动铰 链支座，另一端为固定 铰链支座。,外伸梁：一端或两端伸出支座之外的简支梁。,悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁。,8,求梁的内力的方法仍然是截面法。,F1,F3,F2,F3,A,B,FA,FQ = FA - F3,M = FA x - F3(x-a),F2,F1,FB,M,9,剪力FQ,梁任一截面上的剪力,其数值等于该截面的任一侧(左边或右边)梁上所有横向外力的代数和。截面左边梁向上的外力或右边梁向下的外力为正，反之为负。,弯矩M,梁任一截面上的弯矩,
3、其数值等于该截面的任一侧(左边或右边)梁上所有外力对截面形心的力矩的代数和。截面左边梁上的外力对该截面形心之矩为顺时针转向，或截面右边梁上的外力对该截面形心之矩为逆时针转向时为正，反之为负。,10,梁内力的正负号规定,2.从梁的变形角度,剪力： 顺时针为正 逆时针为负 弯矩： 上凹为正 下凹为负,1.规定：,11,q,例：如图，任取一截面m-m，距离A端x,则m-m截面内力为:,m,m,C,A,C,FQ,(0 X L),A点：MA=0 中点：M=qL2/8 B点：MB=0,qL2/8,抛物线,12,一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以横坐标x表示截面在梁轴线上的位置，则
4、各横截面上的剪力和弯矩都可表示为x的函数，即：,画法：以与梁轴线平行的x坐标表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小，正弯矩画在轴的上方，负弯矩画在轴的下方。,13,例2：如图所示的简支梁AB，在点C处受到集中力F作用，尺寸a、b和L均为已知，试作出梁的弯矩图。,x1,x2,解：,1.求约束反力,2.分两段建立弯矩方程,AC段：,14,BC段：,15,3.画弯矩图,时，,时，,时，,时，,直线,16,例3：如图所示的简支梁AB，在点C处受集中力偶M0作用，尺寸a、b和L均为已知，试作此梁的弯矩图。,解：,1.求约束反力,2.分两段建立弯矩方程,B,AC段：,x1,x2,17
5、,BC段：,18,3.画弯矩图,19,弯矩图的规律,1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。,20,1.梁纯弯曲的概念,在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲为纯弯曲。,21,平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转
6、动了一个角度。,2.梁纯弯曲时横截面上的正应力,1）变形特点 :,横向线仍为直线，只是相对变形前转过了一个角度，但仍与纵向线正交。纵向线弯曲成弧线，且靠近凹边的线缩短了，靠近凸边的线伸长了，而位于中间的一条纵向线既不缩短，也不伸长。,22,如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，由于横截面保持平面，说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的，其中必定有一个既不缩短也不伸长的中性层（不受压又不受拉）。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性层与横截面的交线，称为中性轴，如图所示。变形时横截面是绕中性轴旋转的。,23,2）梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律,由平面假设可知，纯弯曲时梁横截面上只有正应力而
7、无切应力。由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。分布如图所示。,24,3）梁纯弯曲时正应力计算公式,在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 ：,MPa,即：,最大正应力为(MPa)：,M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。,25,强度条件
8、：梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力，即,26,合理安排梁的支承,1.降低最大弯矩数值的措施,27,合理布置载荷,28,合理布置载荷,29,2.合理选择梁的截面，用最小的截面面积得到大的抗弯截面模量。,形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式。,30,面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量不相同 。,面积相等时，工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大，空心圆截面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小，承载能力最差。,2.合理选择梁的截面，用最小的截面面积得到大的抗弯截面模量。,提高梁强度的主要措施,截面形状应与材料特性相适应。,对抗拉和抗压强度相等的塑性材料，宜采用中性轴对称的截面，
9、如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小于抗压强度的脆性材料，宜采用中性轴偏向受拉一侧的截面形状。,31,3.采用等强度梁等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的，如果以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的截面外，其余截面的应力均低于弯矩最大的截面，这时材料就没有得到充分利用，为了减轻自重，并充分发挥单位材料的抗弯能力，可使梁截面沿轴线变化，以达到各截面上的最大正应力都近似相等，这种梁称为等强度梁。但等强度梁形状复杂，不便于制造，所以工程实际中往往制成与等强度梁相近的变截面梁。如一些建筑中的外伸梁，做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的形状，较好地体现了等强度梁的概念。而机械中的多数圆轴则制成了变截面的阶梯轴。,32,弯矩图的规律,1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。,33,34,35,36,力学测验,1-6（a） 2-9（f） 4-9 5-9 6-8 7-4,
