1、概率论计算与证明题0第 5 章 极限定理1、 为非负随机变量，若 ，则对任意 ， 。(0)aEexoaxPeE2、若 ， 为随机变量，且 ，则关于任何 ，()0hxh0c。1()()PcEh4、 各以 概率取值 和 ，当 为何值时，大数定律可用于随机变量序列 的算术k12sks 1,n 平均值？6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1） ；12kPX（2） ；(21) 2,01kk kkPX（3） 。22,kk7、若 具有有限方差，服从同一分布，但各 间， 和 有相关，而 是独立的，k k11,(|2)kl证明这时对 大数定律成立。k8、已知随机变量序列 的方差有界
2、， ，并且当 时，相关系数 ，证12, nDc|ij0ijr明对 成立大数定律。k9、对随机变量序列 ，若记 ， ，则 服从大数定律i1()nn 1()naE i的充要条件是 。2()lim01nnaE10、用斯特灵公式证明：当 ，而 时，,m0n。221nme12、某计算机系统有 120 个终端，每个终端有 5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有 10 个或更多终端在使用的概率。概率论计算与证明题113、求证，在 时有不等式 。xo222111txxede14、用德莫哇佛拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中， ，则不管 是如何大的常数，总0pk有 。|0()nPpkn15 之间的
3、概率不小于 90%。并用正态逼近计算同一问题。16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛拉普拉斯定理估计下面概率： 并进行比较。这nPp里 是 次贝努里试验中成功总次数， 为每次成功的概率。np17、现有一大批种子，其中良种占 ，今在其中任选 6000 粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与16之差小于 1%的概率是多少？1618、种子中良种占 ，我们有 99%的把握断定，在 6000 粒种子中良种所占的比例与 之差是多少？这16 16时相应的良种数落在哪个范围内？19、蒲丰试验中掷铜币 4040 次，出正面 2048 次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发
4、生的偏差的概率。20、设分布函数列 弱收敛于连续的分布函数 ，试证这收敛对 是一致的。()nFx()Fx1xR22、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。24、若 的概率分布为 ，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。nX01n25、随机变量序列 具有分布函数 ，且 ，又 依概率收敛于常数 。n()nFx()nFxn0c试证：（I） 的分布函数收敛于 ；（II ） 的分布函数收敛于 。cn()Fx26、试证：（1） ；0PPnnXX （2） ；,1Y （3） ；(,)PPnnmn （4） ；, PXXY （5） 是常数 ；Pnk Pnk 概率论计算与证明题2（6） ；22P
5、PnnXX （7） 常数 ；,aYba PnYab （8） ；1PPnn （9） 常数 ；,X 110PnX （10） 是随机变量 ；PnY PnY （11） 。,Pn 27、设 。而 是 上的连续函数，试证 。PnX g1R()()PngX 28、若 是单调下降的正随机变量序列，且 ，证明 。 0n 0asn 29、若 是独立随机变量序列， 是整值随机变量， ，且与 独立，求12, kpiX的特征函数。X30、若 是非负定函数，试证（1） 是实的，且 ；（2） ；()ft (0)f(0)f()ftf（3） 。|(0)f31、用特征函数法直接证明德莫佛拉普拉斯积分极限定理。33、若母体 的数学
6、期望 ，抽容量为 的子样求其平均值 ，为使2,EmDn，问 应取多大值？|0.195%Pn34、若 为相互独立随机变量序列，具有相同分布 ，而,2,n 11,022nnP，试证 的分布收敛于 上的均匀分布。1knn0,135、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。36、用特征函数法证明，普阿松分布当 时，渐近正态分布。计算 的特征函数，并求 时的极限。nYn38、设 独立同分布， ，则大数定律成立。X2kkPX(1,2)39、若 是相互独立的随机变量序列，均服从 ，试证 及i 0,N122nnXW渐近正态分布 。122nnUX (,1)概率论计算与证明题340、设 是独立随机变量序列，均服从
7、均匀分布，令 ，试证 ，这12,X 0,1 1niiZXPnZc里 是常数，并求 。cc41、若 是独立同分布随机变量序列， ，若 是一个有界的连续函数，试证i iEXm()fx。1linnff42、若 是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证 。iX 12()nPiiiXE 44、设 是 上连续函数，利用概率论方法证明：必存在多项式序列 ，在 上一致()fx0,1 (nBx0,1收敛于 。45、设 是独立随机变量序列，试证 的充要条件为，对任意 有iX0asnX 。1|nnP46、试证独立同分布随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。48、举例说明波雷尔康特拉引理（i
8、）之逆不成立。49、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若 ，则必有 。21knDX21lim0knDX53、若 是独立随机变量序列，方差有限，记 。k n1(),kSES（1）利用柯尔莫哥洛夫不等式证明 1n22max()mjjpP（2）对上述 ，证明若 ，则 收敛；mp21kD1mp（3）利用上题结果证明对 成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。n54、 （1）设 为常数列，令 ，kc 1,sup|,12,kmkmscbs inf,12,mb试证 收敛的充要条件是 ；1k 0（2）(Kronecker 引理)对实数列 ，若 收敛，则 。kc1k10nkc概率论计算与证明题456、设 是独立随机变量
9、序列，对它成立中心极限定理，则对 成立大数定律的充要条件12,X nX为 。2()nDo57、设 是独立同分布随机变量序列，且 对每一个 有相同分布，那么，若12, 1nkX1,2，则 必须是 变量。0,iiEXiX(0,)N58、设 是独立随机变量序列，且 服从 ，试证序列 ：（1）成立中心极限定理；k k,2)kk（2）不满足费勒条件；（3）不满足林德贝格条件，从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必要条件。59、若 是独立随机变量序列， 服从 均匀分布，对 服从 ，证明kXiX1,2,3kX 1(0,2)kN对 成立中心极限定理，但不满足费勒条件。60、在普阿松试验中，第 次试验时
10、事件 A 出现的概率为 ，不出现的概率为 ，各次试验是独立的，i ipiq以 记前 次试验中事件 A 出现的次数，试证：（1） ；（2）对nv ()0PnvE 成立中心极限定理的充要条件是 。1niipq1ipq61、设 独立， 服从 均匀分布，问对 能否用中心极限定理？kXk,kX62、试问对下列独立随机变量序列，李雅普诺夫定理是否成立？（1） ； （2） 。:12k0:,013aak65、求证：当 时， 。n0!kne解答1、证：对任意 ， 。xo1()()ayxyxPdFedF 101()ayaxxedFEe2、证： 为非负随机变量，所以对 有()h0c概率论计算与证明题5。1()()(
11、)hhxcxcPhdFd011()()hxdFEc4、解：现验证何时满足马尔可夫条件 ， ，21nkD20kk。若 ，这时 ，利用 间的独立性可得221sskDks0sk。2212110()snnskkn若 ，则 。1s22111()2nnskkkDn所以当时，大数定律可用于独立随机变量序列。5.6、证：（1） ， ，0kEX2214kkD。1222211 0()3nnnkkXn不满足马尔可夫条件。（2） ，22110,kkkEXD。2210()nk n满足马尔可夫条件。（3） ，322 2110,kkEXDk。322 2111(1)()2nnnkkkXn不满足马尔可夫条件。概率论计算与证明题
12、67、证：因为 是独立的，所以1,(|2)kl22211()nnkkDE1211()()()nnkkkkEE 2,122nkkrn230()其中利用 且 有限。马尔可夫条件成立，所以对序列 成立大数定律。,1krn8、证：由题中条件可得，对任给 ，存在 N，使当 时有 （设 ） ，则0c|ji|4ijre0c222111nnkkijjnjDr22|ijjnc.22,| |ijjijjNji jiNcn在上式前一个和式中， 可以依次取 ；对每个固定的 来说，由于 且 i1,n jiNij，所以至多对应 项；从而和式中至多有 项，在后一个和式中，由于 ，所以对 取，至多依次对应 项，从而和式中至多
13、有 1,2n ,2,n (1)21n项，利用 可得()|1ijr。2221 (1)4nkcnDNcc 214Nnn当 充分大时，上式右方之值可以小于 ，所以 。210()kD对 大数定律成立。n9、证：充分性。 是 的增函数，所以对任给 有2(1)ts(0)t022| |()1|( ()n nn nnnyayaPdFdFy 22()1naE所以当 时有 ，此时 服从大数定律。2()01nE|0nPi概率论计算与证明题7必要性。设 服从大数定律，即 ，则对任给 ，存在 ，当ilim|0nnPa0N时有 。由 关于 的单调性和 得nNlim|nnPa2(1)ts()t 1s2()01nE2|1|n
14、nPaPa（当 时） 。21 。2()lim01nna10、证：斯特灵公式为 。由此得1!2,02mme2 21()!1n nm22 ()()() 1()2( )nn nmmeen 11| m2nmn()()21nnme（1）221nmenm若 ，则当 0,（2）2(1)o时，才有下式成立：（3）1(1)e此题未必满足（2）式，所以不加条件地利用（3）式证是不妥的。这里结论的证明很简单。若利用（3）式估计（1）式值，则应有 。后一式蕴含在前一式中，即应补3423(),(1)mon设前一条件成立，利用（3）才可证得结论。下面用另一种证法证明。概率论计算与证明题8视 为连续变量进行估值，然后再置
15、为取正整数的变量，结论也应成立。利用台劳展式,nm,nm，1ln(1)()()1)knnkxxox由 得0n21lmn2i1i1in1mn23452463mn 2345nn 246351 2423165mn243()6mon2431()621mmonne由题设条件得，2423monn所以要证明的结论中只能是 ，在题设条件下显然有 ，所以欲21mne 21men221nmne 2221mnnmen概率论计算与证明题92431()61mone必须且只需 ，即 。431()6mon430n这条件必须在题中补设出来，即再当 时有 。43m221nmne12、解：每个终端在某时刻使用的概率为 0.05，
16、 表示在某时刻同时使用的终端数。则120120(.5).9kkknPC由积分极限定理得 1201P66.0120.59 。(.675)0.4即有 10 个或更多个终端在使用的概率为 0.047。13、证：当 时有0x22221111xttxx xedtedee2 2 211142t t txx xtd2211t txee所以不等式成立。14、证：利用德莫哇佛拉普拉斯积分定理得 21|kxnpqnn pkPpkPedq在如上积分中，积分区间长度 ，所以 。20|0()nPk15、解：设需要投掷 次，用车贝晓夫不等式得（p=0.5）n 2110.4.6.5.90.nPPn，取 。用积分极限定理得1
17、n102概率论计算与证明题100.51110.4.6 20.9555nnnPPnnpq取 。11.95,.4,67. 816、解：利用车贝晓夫不等式估计值为： 。2nnpqP利用德莫哇佛拉普拉斯积分定理估值为： 212tnnpnPp edqpq21 22 ()ntedo两者比较，后者估计精确得多。17、解：任选 6000 粒可看作 6000 重贝努里试验,由积分极限定理得 1601.600.658PP。(2.7)(.)2(.78)12.9410.9618、解：与上题同理得，1601230.96058PP，2(3).9,(10).。10.58,24把 代入上式计算得.4。0.11074.6PP9
18、25107.9P所以相应的良种数应落在 925 粒与 1075 粒之间。19、解：在蒲丰试验中，频率与概率之差为 。由积分极限定理得要求的概率204810.693概率论计算与证明题11为 201.693400.69314242PP20.8(0.8)114。.86.20、证：由于 有界非降， ， ，故对任意 ，可找到 ，使当()Fx()0F()100M时有 ， xM 1()Fx（1）且当 时有 。 （2）xM()x由于 处处收敛于 ，故存在一正整数 ，使当 时，一方面有()nF()FxN1n。|()()|nF由（2）得 （3）2M另一方面又有 ，|()|n由（1）得 （4）1F因此，对 ，若 ，
19、则由（2） ， （3）有xM1nN。 （5）|()|()|nFxx()()3nMF同样，对 ，如果 ，则由（1） ， （4）有x|()|()()|nnFx1()|1()|nFxx（6）3FM在有限闭区间 上， 连续，故也均匀连续，因而在 上可找到 个,()x,Mt点 ，使12,tktxx。 （7）1()(1,2)iiFxit还可找到 ，使在此 个点中的每一点上，当 时有21Nt nN概率论计算与证明题12。 （8）|()|niiFx于 中任取一 ，则此 必属于某一 ，因此当 时，由（8）得,Mx1,i2nN（9）1()()nniixx及 （10）iiFF由此及（9） ， （7）得。 （11）1
20、1()()()(2ni iixxx同样由（10）及（7）得。 （12）1()()()ni iiFFF故当 时，由（5） ， （6） ， （11） ， （12）得，对任意 有 。2nN xR|()|3nx22、证：由 可推得 ，从而 ，由上题即得证。PnX LnX ()()Wn 24、证： 。 令 得 。nxxFnn 功功,10,)( 0,()1nxFx这说明分布函数收敛，但 。当 时，,()nnEXEXk，1kkn 11()()()kkkknnEXEXn所以当 时， ， 。由此知其中心距，原点矩均不收敛。k25、证：题中分布函数收敛系数指弱收敛。（I）设 是 的连续点，现证 。对任给 ，有xc
21、()F()nFxc0,|,|n nnnx xc上式中右边两事件依次记为 ，则 ，12,S12S， （1）12()()nnFxPxPS我们有 1,|,|()n nnPccPS(),|nx概率论计算与证明题13（2）()nPxc由（1） ， （2）得 2()|()nnPxccS 2()()nnxPxcPS此式对任意 成立，所以 2lim(lim|n nnPxPc （3）2)li)()lim()nnnFxS 由 得 。Pnc 2(|0Sc再适当选取 使 同是 的连续点，利用弱收敛性由（3）可得x)x。 （4）(lim()li()nnFcFxxFc 由于 单调增加，其至多有可列个不连续点，这里对 的限
22、制丝毫不影响以下结论成立。()x 由于 是任意的且 是 的连续点，由（4）得c()x。li()nFxc所以 。()()nWFxxc （II）设 是 的连续点，对任给 ，0c0()c（记） ，12,|,|nnnnnxcxS则 。122,()|0()SPS另外， 介于如下两概率之间；()， ，(),|nncxc(),|nnPcxc对这两个概率值又分别有，0()(),|nnnnPxP。|cxccc取极限可得，当 时有（若 ，则下式前后两项分别改成取上，下极限，且调换前后之位0置） ，。lim()li()lim()li()nnn nFcxFxxFcx 可适取 ，使 与 都是 的连续点，当 时，由弱收敛
23、性得（若 ，则()00前后两项调换位置） ，概率论计算与证明题14。()lim()li()nnnFcxFxxFcx 由 的任意性及 是 的连续点得。li()nxc若 （从而 ）是 的连续点，则对任意 有0cxx()F0()()nnFP0,| ,|n nn ncPc,|0,|nn n。0,| ,|nn nnPcPc等式右边三项中，由 得第一项 ，其余两项中概率()()WnFxx 0()0nF值均不超过 ，所以右边从而左边极限存在。取有限可得 。|c lim()nF至此得证 。()()nxx 26：（1） ， 。nnP|X0|X|0PnX0()Pn （2）对任给 ，| |nYY11|0()22nP
24、XPXn由 的任意性得 ，所以 。0YY（3） | |nmnmm11|X|022nPXP 。0(,)PnmX （4） |()|()()|nnnYY11|022PXP 。()PnXYn 概率论计算与证明题15（5）若 ，显然有 。若 ，则0k()PnkX 0k|n nPXX 。()Pnk （6） 2 211|2n nXP2n|X|nP11|4n nXP对任给 ，取 ，使 ，再取 使当 时有0M|3PN，且n1|4X1|23nPX因为 1|,|4n nM|(4)nXX所以当 时有nN2 1|2(4)nn nPXPPMXM,13从而 ，即 。2lim|0nnPX22nX()P （7） |Yab| 2
25、|nnnabYab|()()()|PXX111| |()|333n nnaYbPabPbXa概率论计算与证明题16111|333nn nPXaPYbPaYb，|0nb 。()PnXYa （8） 1|1|nnXP|,22nnnPX，11|0nnPX 。1()PnX 功（9）在（8）中令 ，再利用（5）由 可证得 ；再现（7）中 为这nYbPnYb1PnbnY里 即得证。1nY（10）对任给 ，取 ，使 。再取 ，使当 时，0M1|2PYNn，则1|2nPX|nYPYX|,|nPYMYX，1|2nM 。()PnXY （11）对任给 ，取 及 ，使当 时如下五式同时成立：0N， ， ，1|281|_
26、|28nX1|4PYM， 。则当 时有1|()4nPYM 1|()4nPnN| |,| |,|22n n nXXX概率论计算与证明题17。111| |,|222nPXMPXXM184从而 |nXY| |nnYY11|22nPXPX|,|nnnMY1|,|2nPYX|(2)nnXY1| 4()nPYMXM, 。()PnXYn 27、证法一：对任给 ，取 及 ，使当 时有01N1n。|,|33nPXMPXYM在 上一致连续，则对任给 ，存在 ，使当()gx2,01且 时有 。12,121|x2|()|gx再取 ，使当 时有 。1NnN1|3nPX由于 |2|2|,|2nXMMXM，|n，1|,|,
27、|()|nnng所以当 时有nN|()|PgX|2|2|2,|,|()|n nnMPXMgX概率论计算与证明题181|nnPXMXPX，13 。()(),)Pngn 证法二： 是有限测度，在实变函数论中曾得到，这时 的充要条件是，()1 PnX 对 的任一子序列 ，都能找到其的一子序列 几乎处处收敛于 。 （上题也可以用nXknXkvn此定理证）对序列 的任一子序列 。因为 ，由充要条件得，对()g()kngXP 可找到其一子序列 ，使 。由于 是 的连续函数，由此得kn kvnkvasn g1R。再由充要条件得 。()kvasgX ()()P 28、证：由序列的单调下降性可得，当 时的极限存
28、在，且 ，nlimnkX由 得 ，0Pk 1limli1kkPX再由 及 的任意性得 nX，即 。li01nn0asn 29、解：设事件 互不相容， ，而且 ，由全概率公式12,nB (),2)iPB 1niB得。11()()nnii iii iFxxFxP所以有 。1()()niiiEdFEB此式称为全数学期望公式。由此并利用独立性得 11()expit knfteitXnP 。111()XkknnnEitftp30、证：因为 是非负定的，故对任何实数 ，复数 ，恒有()ft 12,ntt 12,n概率论计算与证明题19。1()0nkjkjkjft（1）令 。由非负定性条件得 。1,0,nt
29、1()(0)nkjkjkjftf（2）令 得2,tt10()nkjkjkjft112212(0)(0)(0)()fftftft2|fftft所以 应该是实数。设1212()()ftft， ，212,(),iftii12i代入上式并设虚部为 0 得。1212()()0由 的任意性得 ， 即 。,0,()ftf（3）在（2）中令 ，得12(),|()|ftft，220|()|0ftft若 ，则得 ；若 ，则由（1）中结果得 。|()|ft()|fft|()|0()|fft31、证：即要证，若 是次贝努里试验中事件出现和次数， ，则对任意有限区间 ，当np,ab时一致地有 ，其中 。n()bnapP
30、axdq 412()xxe因为 服从二项分布 ，所以它的特征函数为 ，而 的特征函n(;,)bk itnnftqpnpq数为 ()expexpexpexpn nnititititgtqqqnqq 按台劳公式展开 z，21!zezo则得概率论计算与证明题202expqitpqtitonnn 2expitpqtqitonnn代入 得()gt。4122()1()nxnttgtoe而 是标准正态分布 的特征函数，由逆极限定理即可得要证的结论。412xe0,N33、解：伯林德贝格勒维定理，记 ，其中 ，则nm1()nnkm|0.10.1nPmP210.|0.ntnPed，2.1.95，查表得 。所以 至
31、少应取 385。0.1.975n0196,38534、证： 的特征函数为 ，所以 的特征函数为 k12()cos(,)2k ititfteek 2k.11()cosexp2kkktitt的特征函数为 n231211sin12()coscosexpexp2 2n nn ntttt itft it 。12lim()si ()nititfteft是0,1上均匀分布的特征函数，由逆极限定理得证。35、证：二项分布的特邀函数为 。1()nitnitnnnpeftpeq若当 时 ，则 。nnp1()ititn所以 。lim()expitf ft概率论计算与证明题21是普阿松分布 的特邀函数，由逆极限定理得
32、证。()ft()p36、证：设 服从参数为 的普阿松分布，则 。令 ，并 ()exp1tft在下式中按台劳公式展开 得ize()xp1ititftefite 21xptio。212xp()tto由逆极限定理得，普阿松分布当 时，渐近正态分布。38、证：由辛钦大数定律知，这时只要验证 存在, 。而 iEX2lnln114kki，lnl4nln4l()kkke又 ，所以 ，从而大数定律成立。ln41l1ikEX39、证：（1）的证明。 ，11221niniii nnniiiiXW其中设 。由 可得 。又 间独立，所以211,nniiiiX(0,)iXN(0,1)niX间也独立，对 应用辛钦大数定律
33、得 。由本章第 25 题（2）2iX2i 221nPiiiE 中结论知 渐近 。nW(0,1)Nn(2）的证明。 ，121iinniiXU概率论计算与证明题22和 同（1）中设。由 及本章第 27 题结论得 。与（1）同理得n1Pn Pn 渐近 。U(0,)N40、证：取对数得 。1lnlniiZX因为 独立同分布，所以 也独立同分布。又 iXli。1 100n(ln)iExdx由辛钦大数定律得 ，即有 。lPZ ()PZec 41、证：因为 独立同分布且 ，所以由于柯尔莫哥洛夫定理（独立同分布场合的强大数定律）iXiXm得 。1()()asniEn 又 有限，由控制收敛定理和 的连续性得|(
34、)|,()FxkPfx1 1limlimn nn nXXEf f 1li()nnEf fm42、证：记 ，则2,iiEXaD，11122()()()nnni ii i iEXaa22114()()nnii iX。22()1()0()()63nnn其中利用 间的独立性。由马尔可夫大数定律得iX1()nPi iiXaE 44、证：利用伯恩其坦多项式 。0()()nmnBxxf概率论计算与证明题23显然 ，故只要考虑 中的 。任取一贝努里试验 ，(0),(1)nnBff(0,1)xAE使事件 A 在每次试验 中出现的概率恰为 ， 任意固定；并以 表前 次试验中 A 出现的总Exn次数，则由全数学期望
35、公式得 ()nfxB0(1)()()nmn nmfEfx ()n nPxEfx。 （1）()n nfx其中 为如下选定的数：由 的连续性，对任意 ，存在 ，使当0()fx0， 时有 |,xyx1y 1|()|2fxy（2）令 ，由（1） ， （2）得10sup|()|xMf（3）|()|122nnfxBPxM由贝努里大数定律得 ，从而得证 lim0nnP。(),(1)nxfx为证上式中收敛的一致性，利用车贝晓夫不等式,222()nnDPn故当 时，由上式及（3）立得 .24()Mn10sup|()|xfBx45、证：充分性。对任意 ，记 ，则题设变成 。由波雷尔康特0|nAX1()nPA立引理
36、（i）知有 （1） 1(|)0knP而这正是 以概率 1 收敛于 的等价表示，所以 。()uXX0asnX 必要性。由波雷尔康特立引理（ii）及 的独立性得，n概率论计算与证明题24(2) 1|nnPX成立的充要条件是，(3) 1(|)1kn而 的等价表示为，对任意 （1）式成立。 （1）与（3）是矛盾的，这说明若0asnX 0，则不能有（ 2）式成立，所以应有 。s 1|nnPX46、证：由题设知，随机变量序列 独立同分布， ,所以nX4,()nnEac。由马尔可夫不等式得2nDX441 1()nii iPaEa442241()()(nni iji ijXCEXax .4442()136cnn其中用到，由独立性得 ；最后一步成立，是由于当 很大时2()0()ijXaxijn有 。因为 .4cn4213n
