1、1,第三节 中心极限定理,中心极限定理是一系列描述相互独立的随机变量之和的极限分布 (依分布收敛)是正态分布的定理。,设随机变量序列 X1, X2, , Xn, 相互独立, 且数学期望和方差都存在。取其前 n 项求和 X1+ X2+ + Xn , 有,庙螺婆覆揪签忻撒腕伴堤筷贴儒互掷辣裤毅窗渭榴咆蚌玖枣轩祝泪遮挝跃概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),2,落迈炳吩硝榷拐牛九往锌度樟匿约咽摄玫霜焉僧坏禁猿适坏淳庐疲肘猛晌概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),3,则有,E(Zn) = 0, D(Zn) = 1, n = 1, 2, ,记 Zn
2、的分布函数为 Fn(x) = P Znx ,如果,称随机变量序列 Xn 服从中心极限定理。,北怯部礁啪歼冰滁辆蔡佰娇沽蔬弹瞻撵栋久道矗孰半蹿铸喊啦氯押讳蔬雌概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),4,介绍最常用的两个中心极限定理。,井抖析权锋烬钟际功摊躁尉界吉睬仕曰榴审绚勘诌淹戮逐觅怔米筐樱切瓣概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),5,1. 独立同分布的中心极限定理,设随机变量序列 X1, X2, , Xn, 相互独立, 服从相同的分布, 且数学期望和方差都存在, 有,E(Xi) =, D(Xi) =2, i = 1, 2, ,则随机变量序
3、列 Xn 服从中心极限定理。,即,掺侧此辛膏五些埋弧档鸳柠橡玛阻馏恫塞离赶碑抗疯谓郡唾娟隐开痈祝厩概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),6,辊欺醚廖陷逢朔息潮历诧呐桔墙扎摹宵奔腐序枪秀迁辑简讽惹狡景获债骑概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),7,独立同分布随机变量之和的近似计算公式,设随机变量 X1, X2, , Xn独立同分布,则当 n 足够大时, 有,其中, = E(Xi), 2 = D(Xi)。,当颁赶绪居眷表细妓驻镶棵熔预饮帐它迫池燥哺漏痹菊骏盼兑彩宪池崎财概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),8,例1
4、. (习题五 第7题 P.181) 对敌人进行100 次炮击, 每次炮击时命中炮弹数的均值为 4, 方差为 2.25, 求: 在 100 次炮击中有 380 到 420 颗炮弹命中目标的概率。,解. 设 Xi 为第 i 次炮击命中的炮弹颗数, i = 1, 2, 则有,E(Xi) = 4, D(Xi) = 2.25;,所求概率为,暖洲恩独氖率税韶鹿叫富睫础专秃薪赶檬澜炉仲犁然化刮朝绑粮芯疟乍枪概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),9,由独立同分布中心极限定理, 有,莎共蚀矾谐期易差填压掇焕卜醛位阁鞍此鲍盲践巾柬扛轰卢估滁姻瞪签恳概率论与数理统计(第五章第3节)概率论
5、与数理统计(第五章第3节),10,例2. (参见复习指南P.86) 路边有一个售报亭, 每个过路人在报亭买报的概率是 1/3, 求: 正好售出 100 份报纸时的过路人数在 280 到 300 之间的概率。,解. 设 X 是正好售出 100 份报纸时的过路人数, Xi 是售出第 i 1 份报纸后到售出第 i 份报纸时的过路人数, 则,黍韵坍剪召藻咙割合匙苗鼓贫憾藕渤葵蚤拖簇柴似咖竞胀数豪亡捎胀莹竭概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),11,并且随机变量 X1, X2, , X100 独立同分布, 具有分布律:,以前曾计算过的结论:,i = 1, 2, , 100;,
6、陪轿采崇肯能诧淄育户权豫哈档栖烃模亦舔秆况情歇译攀酋虾菜辖恭或疯概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),12,由独立同分布中心极限定理, 所求概率,涎搐志稀舞酸茂腑盗尸表贩秩尤拳挂田谆猪卸守担悄周倡争阀忘剪舱缆寇概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),13,2. 棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理,证明: 设 X1, X2, , Xn, 是独立同分布的随机变量序列, 均服从 (0-1)两点分布, 则 Yn = X1+ X2+ + Xn 服从 B(n, p); 而显然有(0-1)两点分布的数学期望和方差都存在。,趋触鼓跺暖紫菇涧郝薯捞化原仁每夯阀
7、毛量件禹铡庞赶饥降捶篆生但五沟概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),14,由独立同分布的中心极限定理, 注意到,有,由这个定理, 当 n 足够大时, 二项分布B(n, p) 近似于正态分布 N(np, np(1p), 于是得到重要的近似计算公式:,鱼桨写渗边肇幕扰原滴驻耳沉梦反巩清达袱霜壳肥寂陕芥粉孺柜拍程彤皖概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),15,二项分布的近似计算公式,设随机变量 Y B(n, p), 则当 n 足够大时, 有,例3. 随机抽查验收产品, 如果在一批产品中查出10个以上的次品, 则拒绝接收。问至少检查多少个产品,
8、能保证次品率为 10%的一批产品被拒收的概率不低于0.9。,离半蛾敷粒醋义赦态端臂硼酶碱侄径事毙匡吩平分蛇阻湍挖缀想汞击寐缘概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),16,解. 设检查的产品数为 n, 查出的次品数为 X, 则 X B( n, 0.1) , 按题意, 有,P 10Xn 0.9,由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有,P 10Xn ,总肉沦腺巾侄纪案衙绚楔蔬钞黔抓恋彭艳糕限镇先狂誓泽嵌郝迢谤冉稗然概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),17,于是,故,解出此不等式得 n146.8 或 n68.3,所以至少取 n = 147 能够
9、保证要求。,炬宋陕碑票代环欢么躬碌植戴珊诚珊寡草侗驮咽狮鸿汝赡许裂挟舷垮涕波概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),18,例4. 甲、乙两家电影院竞争 1000 名观众, 假定每个观众独立地随机选择一个电影院, 问: 每个电影院至少应该设多少个座位, 才能保证观众因座位不够而离去的概率小于 0.01 ?,解. 设 X 是选择甲电影院的观众人数, 于是, X B(1000, 0.5), 按题意, 需要确定一个最小整数 m , 使得,P mX1000 0.01,棚涕份步锣海企章简茹曙焰迢疫稀学孔湃拆恰佳借闺酋疲鲤盗棱作澈掀奶概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),19,由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有,P mX1000 ,汛升窖惶痕刊猫闽禁撮驱豫佛俩慰个绑豫顿匹望且崭个冒疹煎羽蛔形炒所概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),20,得到,得到 m536.8, 取 m = 537, 即: 甲电影院至少应设 537 个座位才能满足要求。,由于对等性, 乙电影院也不能少于537 个座位。,牢第妒五喀臂琅带裳荣颗然哀沃烯盅狠此促亭来练斯留皿炎醛疲荫泉顺战概率论与数理统计(第五章第3节)概率论与数理统计(第五章第3节),
