1、,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,第五章 大数定律与中心极限定理,大数定律,中心极限定理,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,大数定律是反映随机变量算术平均值与频率稳定 性的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概 率的理论基础。,中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似 服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概 率论中的重要地位。,概 述,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,契比雪夫定理 设随机变量X1，X2，Xn， 相互独立，且有相同的期望与方差2，则对任意正数有,【证】由期望与方差性质可得,1、大数定律,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由契比雪夫不等式得
2、：,取极限并由夹挤定理得：,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义1 设有随机变量无穷序列 和常数 ， 如果对任意正数，有,则称序列 依概率收敛常数 ，记为,定理表明：在一定条件下，n个随机变量的算术 平均依概率收敛于常数，即当n充分大时它几乎为常 数。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,贝努里定理 设nA是事件A在n次独立重复试验中 发生的频数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则 对任意正数有,【证】引入随机变量,则 相互独立，且均服从同一个（0-1）分布：,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由契比雪夫定理得,定理表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的 概率。,在契比雪夫
3、定理中，去除“方差存在”的条件，增 加“随机变量服从相同分布”可得如下定理。,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,辛钦定理 设随机变量X1，X2，Xn，相互 独立，服从同一分布且均有期望，则对任意正数 有,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2、中心极限定理,列维-林德伯格中心极限定理 设随机变量X1，X2， ，Xn，相互独立、同分布，且均具有期望与方差：,则随机变量,的分布函数满足,随机变量和的标准化,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,即,由列维-林德伯格定理可知,1、独立同分布且存在期望与方差的随机变量和近 似服从正态分布：,2、计算独立同分布且存在期望与方差的随机变量 和的
4、概率的近似公式：,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例1】,【例1】 据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值 为100小时的指数分布，现随机地取16只，设其寿命是相 互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。,解设第k个元件的寿命 则 相互独立、服从同一个指数分布,且,由独立同分布的列维-林德贝格中心极限定理得 “16只元件寿命总和大于1920小时”的概率为:,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,此例中用的公式具体为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例2】,【例2】 计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近 它的整数.设所有舍入误差是独立的且服从(-0.5，0
5、.5)上的 均匀分布,问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值 小于10的概率不小于0.99?,解设最多有n个数相加,且第k个数取整的误差为 则 相互独立、服从同一个均匀分布, 且,由列维-林德贝格中心极限定理得“n个数相加误差总 和绝对值小于10”的概率为:,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,即,查表得：,故可取,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量n （n=1,2,)服从二项分布B(n,p)(0p1),则对任意 ,有,【证】因为n 可分解为n个相互独立、服从同一个 (0-1)分布的随机变量X1，X2，Xn之和,即,标准化得,由列维-林德伯格
6、定理即可得证.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由德莫佛-拉普拉斯定理可知,1、正态分布是二项分布的极限分布;,2、有关二项分布概率的近似计算公式：,特别的，当n较大且np5时,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例3】,【例3】某单位设置一部电话总机,架设200部电话分机. 设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有 5%的概率使用外线.问总机需要多少条外线才能以不低于 90%的概率保证各分机要使用外线时可供使用.,解设200部电话分机同时使用外线的门数为X， 则XB(200,0.05),.又设需外线N条.由德莫佛-拉普拉斯中 心极限定理可得:,河南理工大学精品课程 概
7、率论与数理统计,查表得:,故可取N=14.,注:本题也可利用二项分布的泊松近似公式.,例3-续,合肥工业大学精品课程 概率论与数理统计,【例4】某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈 率为0.8,医院检验员任意抽查100名服用此药的病人,如果 其中多于75人被治愈,则接受此断言,否则拒绝该断言. (1)若实际治愈率为0.8,问接受此断言的概率是多少? (2)若实际治愈率为0.8,问接受此断言的概率是多少?,解(1).设100个服用此药被治愈的有X人,则X B(100,0.8).由拉普拉斯中心极限定理得:,【例4】,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例4】某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈 率为0.8,医院检验员任意抽查100名服用此药的病人,如果 其中多于75人被治愈,则接受此断言,否则拒绝该断言. (1)若实际治愈率为0.8,问接受此断言的概率是多少? (2)若实际治愈率为0.8,问接受此断言的概率是多少?,解(1).设100个服用此药被治愈的有X人,则X B(100,0.8).由拉普拉斯中心极限定理得:,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,德莫佛-拉普拉斯定理,列维-林德伯格定理,特例,证明,中心极限定理间关系,独立同分布,二项分布,利用正态分布计算大量随机变量和的概率,
