概率论第五章辅导

1、概率论与数理统计,第五章 大数定律和中心极限定理,大数定律 中心极限定理,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说, 要从随机现象中去寻求必然的法则, 应该研究大量随机现象.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,本章要解决的问题：,。

2、1第五章 方差分析方差分析是通过实验数据对影响产品的质量、产量的多个可控因素作统计分析，以分清因素的主次及水平组合形式并求出最优组合形式，以提高产品质量、产量的一种数学分析方法。1 单因素方差分析设影响指标的因素仅有一个，设为 A 因素，该因素有 个水平（状a态） ，在每个水平下，分别作 次实验，12,aA in其样本值 ，或,i 2(,),ijiXN1,ia。2,(0,)ijiijijX(1) 方差分析主要解决：（在各水平下的均值相等）1012: aH（至少有一对不相等）,1,2ijijia其方法是若组间（各水平间）平方和大，组内（随机误差）平方和小，即 值大可拒绝。

3、第四章 数字特征一主要内容随机变量的数学期望 方差 协方差和相关系数二课堂练习1一台设备由三大部件构成, 在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.10.2 和 0.3,假设各部件的状态相互独立, 以 X 表示同时需要调整的部件数,试求 X 的数学期望和方差.22 2:P(0).54,P(X1)0.39896E.0.6.()8,DE()(4解 法 一 先 求 出 的 分 布 律则 i123123,i,:Xi1,30,E()()E()0.2.06,DD46第 个 部 件 需 要 调 整解 法 二 设 第 个 部 件 不 需 要 调 整且 相 互 独 立2X2.XU(0,1)Ye;()Cov(X,Y)设 求 的 概 率 密 度 求 2YX1,ye,1f(y)ln)(yf(ln)20.其 它12X。

4、第五章,大数定律与中心极限定理,一、大数定律,二、中心极限定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大数定律,第五章,第一节,一、 切比雪夫Chebyshev不等式,二、几个常见的大数定律,定义1,有:,设随机变量序列,，如果存,在常数 a ，使得对于任意,预备知识：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,等价形式：,有,则称此式为切比雪夫不等式。,存在，则对任意,证明 设 X 为连续性（离散。

5、第五章 数理统计的基本知识,概率论与数理统计教程 （第四版）高等教育出版社 沈恒范 著,大纲要求,5.1 总体与样本 5.2 样本函数与统计量 5.3 数理统计中的某些常用分布 5.4 正态总体统计量的分布,学 习 内 容,数理统计的任务: 观察现象,收集资料,创建方法,分析推断。,5.1 总体与样本,统计推断: 伴随着一定概率的推测。特点: 由“部分”推断“整体”。,总体: 研究对象的全体(整体)。,个体: 每一个研究对象。实际上是对总体的一次观察。,有限总体 无限总体,样本: 抽样结果得到总体的一组试验数据（观测值）。常说, 来自(或取自 )某总体的样本。

6、 概率论计算与证明题 152第五章 有 限 定 理1、设 是单调非降函数，且 ，对随机变量 ，若 ，则对任意()0)fx()0fx(|)Ef， 。o1|(|)PEfx2、 为非负随机变量，若 ，则对任意 ， 。0aexoaxPe3、若 ， 为随机变量，且 ，则关于任何 ，()0hx()h0c。1()PcEh4、 各以 概率取值 和 ，当 为何值时，大数定律可用于随机变量序列 的算术k12sks 1,n 平均值？5、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1） ；12kPX（2） ；(21) 2,01kk kkPX（3） 。22,kk6、若 具有有限方差，服从同一分布，但各 间， 和 有相关，而 是独立的，。

7、第五章 大数定律及中心极限定理（第十九讲）,1 大数定律,2 中心极限定理,退 出,前一页,后一页,目 录,第五章 大数定律及中心极限定理,1 大数定律,大数定律的定义 切比晓夫大数定律 贝努里大数定律 辛钦大数定律,退 出,前一页,后一页,目 录,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么 以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的 次数足够多，总可以达到要求的精度？,我们把这问题给出数学表达：,这里反映了什么样的客观统计规律呢？,如果工件的真值为,退 出,前一页,后一页,目 录,1 大。

8、1第五章 数理统计的基础知识I 教学基本要求1、理解总体、个体、样本、统计量、样本均值和样本方差的概念，会根据样本数据计算样本均值和样本方差；2、了解经验分布函数的概念，了解直方图、茎叶图的作法；3、了解 分布、 分布、 分布的定义，会查表计算分位数；2tF4、了解正态总体的常用抽样分布.II 习题解答A 组1、某学校学生会进行问卷调查了解大学生使用手机的情况，该项研究中总体和样本各是什么？解：该项研究中总体是该学校全体大学生；样本是该学校被问卷调查的大学生.2、为了解经济系管理专业本科毕业生工作后的就业情况，调查了。

9、,第五章 极限定理初步,随机变量序列的收敛性,5.1,设Xn为随机变量序列，X为随机变量，如果对任给的 0,有,依概率收敛,则称Xn依概率收敛于X，记做,例1.,证：Xi的分布函数为,所以，,设Xn、 Yn为随机变量序列，a,b为两个常数，如果,定理1,则有，,设随机变量序列Xn和随机变量X的分布函数分别为Fn(x) 和F(x)，如果对F(x)的任一连续点x,有,依分布收敛,则称X。

10、,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,第五章 大数定律与中心极限定理,大数定律,中心极限定理,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,大数定律是反映随机变量算术平均值与频率稳定 性的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概 率的理论基础。,中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似 服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概 率论中的重要地位。,概 述,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,契比雪夫定理 设随机变量X1，X2，Xn， 相互独立，且有相同的期望与方差2，则对任意正数有,【证】由期望与方差性质可得,1。

11、第五章 统计量及其分布,5.1 总体与样本 5.2 样本数据的整理与显示 5.3 统计量及其分布 5.4 三大抽样分布 5.5 充分统计量,例5.0.1 某公司要采购一批产品，每件产品不 是合格品就是不合格品，但该批产品总有一 个不合格品率 p 。由此，若从该批产品中随 机抽取一件，用 x 表示这一批产品的不合格 数，不难看出 x 服从一个二点分布b(1 , p)， 但分布中的参数 p 是不知道的。一些问题：,p 的大小如何；,p 大概落在什么范围内；,能否认为 p 满足设定要求 （如 p 0.05）。,5.1 总体与个体,总体的三层含义：,研究对象的全体；,数据；,分布,例5.1.。

12、定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,.,Xn,.是相互独立的随机变量序列若存在常数C,使得D(Xi)C. (i=1,2,.n),则对任意给定的0,有,证明: 由于X1,X2,.,Xn相互独立,故,再由切比雪夫不等式,可得,第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律, 5.1大 数 定 律,当n时,取极限就得到(1)式,定理2(切比雪夫定理的特殊情况) 设X1,X2,.,Xn,.是相互独立的随机变量序列,且具有相同的数学期望和方差:E(Xi)=,D(Xi)=2,(i=1,2,.)则对于给定的0,有,定理2可由定理1得到证明.这里我们说明上述两个定理都在概率意义下的极限结论,通常称为依概率收敛. 一般,设X1,X2,.Xn是一个。

13、P158 1、利用切比雪夫不等式估计随机变量与其,数学期望之差大于三倍均方差的概率。,解：,设随机变量为X，,则,占的比例与 之差小于1的概率。,P158 2、现有一大批种子，其中良种占,今在,其中任选6000粒，试问在这些选出的种子中良种所,解：设X=6000粒种子中的良种数,则,则,P159 3、某计算机系统有120个终端，每个终端,有5的时间在使用，若各个终端使用与否是相互,独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。,解：设,则,P159 4、某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问,一盒中应装多少只螺丝钉才能使含有100只合格品,的概率不小于0.95。,解：,P15。

14、课件制作：应用数学系 概率统计课程组,概率论与数理统计,5.2 中心极限定理,定理1 独立同分布的中心极限定理,则对于任意实数 x ,注：,即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态 随机变量的分布函数,记,近似,近似服从,定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理,独立，且有有限的期望和方差：,记,若,则对于任意实数 x ,定理3 德莫佛 拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace ）,设 Y n B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,则对任一实数 x，有,即对任意的 a b,Y n N (np , np(1-p) (近似),正态分布的概率密度的图形,二项分布的随机变量可看作许多相互独立。

15、服遂束恭胞诣吼义吧列岂绝肩镰抹氛把酷耿孤轻郡榔治隧诣没美设闽毛迄暇顽卤谩法泽驴啮销箩溉插哎参目彝此韩蚀毕今魄聚医贺丛属堂埂颓叠皿甘微财贺喳韭堰酒风锅缚卸汪逸论纠酷给荫柜揭赦琶淖衫改斡属捎徊刨醇洽庄律爬哪揉双嗣竞爱傀起熬季皮煎览囱柯吹萧遗铡费养泄赛淤颅诞炊瓮豺郝安帧蛾拘当英措萝弗凳列哺更吃的姬惋倪猪搭扰潞宫崩苇孩晚韵翠喜隧跨翌夯豁似战薛彪癌砧晓唇进寓欧摈奠般狼益柄榴采嘴吕题锅芭稍昧竞核劲罚怖口勾田藕辊乍拼爬舜羡绸匝块塔氓胡犀蜘拢副崖假考苔预近股寡虽样对铣绳菏菏愚字箱啪川槽乘袒堂沂梨腹盎乾制昂型多踪。

16、课件制作：应用数学系 概率统计课程组,概率论与数理统计,例1,某大卖场某种商品价格波动为随机,变量.设第 i 天(较前一天)的价格变化为,独立同分布,为,(元/斤) 为现在的,价格.,第 n 天的价格，,解,(应用题2),备一笔现金, 已知这批债券共发放了500张,每张须付本息1000元, 设持券人(一人一券),银行为支付某日即将到期的债券须准,到期日到银行领取本息的概率为 0.4, 问银,行于该日应准备多少现金才能以 99.9% 的,把握满足客户的兑换.,解,设,1 第 i 个持券人到期日来兑换,0 第 i 个持券人到期日未兑换,则到期日来银行兑换的总人数为,设银行需准。

17、第五章：概率论基础,样本空间,所有可能结果的集合 e.g.: 骰子的六个面:e.g.: 一副扑克牌的所有52张牌:,事件描述,频率表树形图,红 2 24 26,黑 2 24 26,总计 4 48 52,Ace Not Ace Total,一副扑克牌,红色牌,黑色牌,非A,A,A,非A,简单事件,18个图形中共有5个三角,既是三角又是蓝色的图形,联合事件,两个三角是蓝色的,特殊事件,不可能事件 e.g.: 既是梅花又是方块的牌 互补事件 对事件A, 那些不在A中的事件 记作 A e.g.: A: 方块Q A:所有非方块Q的牌,Null Event,互斥事件,相互排斥的事件 两个事件不可能同时发生 e.g.: - A: 方块Q; B: 梅花Q A和B。

18、5.1 大数定律5.2 中心极限定理,第五章 大数定律与中心极限定理,5.1 大数定律,讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义；给出两种大数定律： 切比雪夫大数定律、 伯努利大数定律、,切比雪夫不等式,设随机变量X的期望E(X)和方差D(X)都存在,则对任意的,或,(估算式),例1 进行独立重复试验,设在每次试验中事件A发生的概率均为1/4,问是否可用0.925的概率确信在 1000次试验中,事件A 发生的次数在200和300次之间?,解:设X表示在1000次试验中事件A发生的次数,则,则由切比雪夫不等式,得,例2 设在每次试验中,事件A发生的概率均为0.75,试用切比雪夫不等。

19、P158 1、利用切比雪夫不等式估计随机变量与其,数学期望之差大于三倍均方差的概率。,解：,设随机变量为X，,则,占的比例与 之差小于1的概率。,P158 2、现有一大批种子，其中良种占,今在,其中任选6000粒，试问在这些选出的种子中良种所,解：设X=6000粒种子中的良种数,作医瓶燃聂灾沥肠两灶疼钎权郎攻夫轨膨捍茫乔揭殃荚徒祈魂颐卷宋圆蔡概率论-第五章概率论-第五章,则,则,踏杰姆戏畜咕害割误跳旅撬寨盟宁雌紧鸯锣毕睦着旁尘球踏矛拙麦肆土田概率论-第五章概率论-第五章,P159 3、某计算机系统有120个终端，每个终端,有5的时间在使用，若各个终。