1、1联赛导引(二) 函数 数列 数学归纳法 整数一,基础知识导引, 数列:1,等差数列:(1),定义: .(2),通项公式: .1 2()n nada +1常 量 或 21()nad(3),前 项和公式: .1()nnaSd(4),任意两项 有 .,m()(5),对于任意正整数 ,若 ,则 .反之不行.klnklmnklaa(6),若 均是等差数列,则 也是等差数列 .( )nabcdb,cdR2,等比数列:(1),定义: .(2),通项公式: .1 1()n naq+2常 量 或 1naq(3),前 项和公式: .(4),任意两项 有 .1()nnqSa,nmnma(5),对于任意正整数 ,若
2、 ,则 .mklklnkla(6),无穷递缩等比数列所有项和公式: .1li(0)nSq3,一些常用递归数列的通项:(1),形如 的一阶递归式,其通项求法为1()naf.(累加法)111(nnkkaf(2),形如 的递归式,其通项求法为1()nnaf.(累积法)3211()2(3)1)(2nnafffn(3),形如 的递归式,由 及 ,两式相减1(napq1nnapq1napq得 ,有 是首项为 ,且公比为 的等比数列,先求1)n1n21出 ,再求出 .1n2(4),形如 的递归式,两边同时除以 ,得1()1nnapq1np,令 ,得 ,求 ,再求 .11nnpnab11()nqbnna(5)
3、,形如 ( )的递归式,两边取对数有 ,1qnnap0,n1lglgnnqp令 ,则 ,仿(3)得 ,再求 .lgblgbpnbna数学归纳法形式 1: (i)验证 成立 ; (ii)假设 ( )成立,那么可推出 也成立.0)pnk0(1)pk形式 2:(i)验证 ;(ii)假设 成立, 那么可推出 也成立.0001),(2),(pnr()()kr, 整数:1,整数的分类:(1), ; (2) 负 整 数0正 整 数 奇 数 :形 如 2n1的 数 ,它 的 平 方 被 4,8除 余 1.偶 数 形 如 的 数 它 的 平 方 被 整 除(3), (4),质 数 (素 数 ):只 有 1与 本
4、 身 两 个 约 数 .1合 数 :约 数 个 数 大 于 2个 . 2完 全 平 方 数 :形 如 m的 数 ,为 整 数 .非 完 全 平 方 数 .2,不定方程的常用解法:(1),公式法:若 是方程 的一组整数解,则该方程的所有解为 ( ).0xyaxbyc0xbtyaz(2),数或式的分解法; (3),不等式法; (4),奇偶分析法; (5),换元法.二,解题思想与方法导引1,归纳 猜想 证明; 2,数形结合 ; 3,整体处理; 4,换元法; 5,配方法; 6,估算法.三,习题导引, 选择题1,删去正整数数列 1,2,3, 中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第 2003项
5、是A,2046 B,2047 C,2048 D,20492,已知数列 满足 且 ,其前 项之和为 ,则满足不等式na134(1)na9annS的最小整数 是625nSA,5 B,6 C,7 D,833,设等差数列 满足 ,且 , 为其前 项之和,则 中最大的是na8135a0nSnSA, B, C, D,10SS20 214,等比数列 中, ,公比 ,用 表示它的前 项之积,则 中最大的是n16qnnA, B, C, D,91 12 135,已知数列 满足 , ,记 ,则na(2)nnx1xab12nnSxx下列结论正确的是A, B,1010,2xSb1010,baC, D,axS6,给定公比
6、为 的等比数列 ,设 , , ,()qn123ba456b,则数列3213nnbaA,是等差数列车员 B,是公比为 的等比数列qC,是公比为 的等比数列 D,既非等差数列又非等比数列3q填空题7,设数列 满足 , ,且对任意自然数 ,都有12,na12a3n12nna,又 ,则 的值是 .323nnna12108,各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样的数列至多有 项.9,设正数 满足 ,且 ,012,na2121()nnn01a则数列 的通项 .n10,将二顶式 的展开式按 的降幂排,若前三项系数成等差数列,则该展开4()2nxx式中 的幂指数是整数
7、的项共有 个.11,正整数 使得 是完全平方数,则 的个位数字是 .n20522(05)n12,已知数列 满足关系式 ，则 的值012,.,.na10368,3nnaa且 1nioa是_。解答题413,求满足 的所有质数 .qpr,pqr14, 个正数排成几行几列:2(4)n121341naa22312343n1234nnnaa其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知 ,241a, ,试求 的值.428a431612n15,确定所有的正整数 ,使方程 有正整数解 .n332xyzxy(,)xyz四,解题导引1,C 在数列 1,2,3, ,2003 中,删去了 44
8、 个( )完全平方数,现给该数列再补上 44 241936项,得 .所补的 44 个数中还有 1 个( )完全平方数,把它删除,2,03,247 2054再补上一项 2048 即可.2,C 由递推式变形得: ,令 ,则 且 -1=8.1()()nnanba1,3nnb1ba得 是首项为 8,公比为 的等比数列,于是 ,得 ,nb38()8(),所以 ,18()136()nnnS16()325nnS得 ,所以满足这个不等式的最小整数 .1250n73,C 设等差数列 的公差为 ,由 ,得 ,即nad8135a11()5(2)add1a,所以 ,则 , , 最大.392d2019022020S4,
9、C 由已知 ,得 ,知 , ,11536()3()nnna (19)2(3)nn125为正数, 为负数,且 ,1311210999327()()428a,得 最大.238a5,A 由 ，所以 ，即11212()nnnnxxx63nnxxn是周期为 6 的数列，得 ，又 +04a61kk12，得 。x123123xx102342Sxxxba6,C 由题设 ,则 .1naq 23312312()nnbaaq7,200 由 123123nnnn4 4aaa两式相减得: ,又 ,有 .123()()0nnn1231nna4na,由得 ,所以 ,从而 ,123,444 48于是 .101235()aa8
10、,8 设 是公差为 4 的等差数列,则 ,由已知: +12,n 1()na21a.0n1()(0n2 0)n此关于 为未知数的一元二次不等式有解,应有 ,1a 2()4(有 ,得 ,又 ,所以27640n3281632816977n38167n的最大值是 8,即满足题设的数列至多有 8 项.9, 时,由 变形得21,(),nkaN2n2121nnnaa,令 ,得 ,即 ,112nn 12nax()nx1()nnx得 是以 为首项,公比为 2 的等比数列,因此 ,即nx 2n612na, ,即 ,于是122()n21()1na.又 ,因而得结果.23112()nknnaN 01a10,8 易求前
11、三项系数分别是 1, , .由这三个数成等差数列,有 1+1(812n,解得 和 (舍去). 当 时, ,由 ,(1)8n8nn3(4)182rrrTCx得 只能是 0,4,8.r11,9 设 ,则 ,得2205(0)m()05501m或 ,解得 或 ,1mn41n32n198由 ,知它的个位数字是 9;10242503由 ,知它的个位数字也是 9.98912, 设21(3)n 11,0,2.(3)(68,n nnbab则即 11160.,3nnnbb故数列 是公比为 2 的等比数列，3。11002()()(2)33nnnnnb ba。11 2012()()(3nni niioa 13,解:显
12、然 ,不妨设 .pqp因为 为质数,所以 与 不能全为奇数,故 .r 2p(1)当 为不小于 5 的质数时,有 2(1)()qqq7=213()q123(1)(1)qq由于 不是 3,也不是 3 的倍数,而 , , 是三个连续的自然数,则其中必有一个数是3 的倍数,又 不是 3 的倍数,得 必为 3 的倍数,q(1)q所以 是 3 的倍数,这与 是质数矛盾!pr(2)当 时,只有 ,这时 .52,7pr综上所述,有 .217pqr14,(分析) 设 ,第一行数的公差为 ,第一列数的公比为 ,可得1adq1()sstatdq解:设第一行数列公差为 ,各列数列的公比为 ,则第四行数列公差是 ,于是
13、可得dq3d2413432()816adq解此方程组,得 ,由于所给 个数都是正数,必有 ,从而有11adqn0q,12adq于是对任意的 ,有 .得kn11()2kkkad,231nS又 412两式相减后得: 23n所以 .1nS15,解:由方程的对称性,不妨设 .将方程变形为: 0xyz22xyznzx另一方面,由原方程得: , 为正整数,得 .32()nx2y1n于是由得 ,即 , 又代入式得32yzx3yz0z832224211yzznyyzyz(1)当 时,由于 ,由式得 ,与 为正整数矛盾 !n(2)当 时,得 ;1z1yz(i)若 ,由 ,得 ,这时可得 ,方程的解为 .23x1
14、x3n(,)(1,xyz(ii)若 ,又 ,由式得 ,故只能 ,原方程变形为: .yz2n32这时有正整数解 .()(3)xy综上所述, 的值为 1 或 3.n注: 请反思一下每道题所运用的思想方几个初等函数的性质一、基础知识1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a 1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为（0，+） ，当 01 时，y=a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1） 2分数指数幂： nmnnmn 1,1 3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 当 01 时，y=logax
15、 为增函数4对数的性质（M0, N0） ；1）a x=M x=logaM(a0, a 1)；2）log a(MN)= loga M+ loga N；3）log a（ ）= log a M- loga N；4）log a Mn=n loga M；，M5）log a = loga M；6） aloga M=M; 7) loga b= (a,b,c0, a, c 1).n1clog5. 函数 y=x+ （a0）的单调递增区间是 和 ，单调递减区间为,和 （请读者自己用定义证明）0,6连续函数的性质：若 a0.【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则 f(x)是关于 x
16、的一次函数所以要证原不等式成立，只需证 f(-1)0 且 f(1)0（因为-10，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.9例 2 （柯西不等式）若 a1, a2,an 是不全为 0 的实数，b 1, b2,bnR，则（ ）（nia12）( )2，等号当且仅当存在 R，使 ai= , i=1, 2, , n 时成立nib1niib1 【证明】 令 f(x)= （ ）x 2-2( )x+ = ,nia1niib1ni12iiibx2)(因为 0，且对任意 xR, f(x)0，nia12所以=4( )-4（ ）( )0.iibnia12ni
17、b12展开得（ ）( )( )2nia12iii等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在 ，使 ai= , i=1, 2, , nb例 3 设 x, yR+, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u= 的最小值yx1【解】u= =xy+ xy+ +21xy1=xy+ +2.xy1令 xy=t，则 00，所以 = .5例 5 对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且 ，wzyx1求证：a+b=c.【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.10所以 lga= lg70, l
18、gb= lg70, lgc= lg70，w1x1yw1z相加得 (lga+lgb+lgc)= lg70，由题设 ，x wzyx1所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70.所以 abc=70=257.若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a1.又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7.所以 a+b=c.例 6 已知 x 1, ac 1, a 1, c 1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab.【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx，化
19、为以 a 为底的对数，得，caalog2llog因为 ac0, ac 1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁3指数与对数方程的解法解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论例 7 解方程：3 x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化为 =1设 f(x)= , 则 f(x)在(-x65321 xx65321,+) 上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3.例 8 解方程组： （其中 x, yR+）.312yx【解】 两
20、边取对数，则原方程组可化为 .3lg)(l12xy把代入得(x+ y)2lgx=36lgx，所以( x+y)2-36lgx=0.由 lgx=0 得 x=1，由(x+ y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6，代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0.又 y0，所以 y=2, x=4.所以方程组的解为 .4;12例 9 已知 a0, a 1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足 .022k若、同时成立，则必成立，故只需解 . 0)(22akx由可得 2kx=a(1+k2)， 当 k=
21、0 时，无解；当 k 0 时，的解是 x= ，代入得 k.ka2)1(21若 k1，所以 k0，则 k22 时，若 则是偶数；若 ，于是23【能力训练】1证明自然数 的所有正约数的欧拉函数值的和为 （即）2设 。.)()(,),( dnmdnm则3记不大于自然数 而与 互素的数（共，求证。参考答案【能力训练】1首先注意，若自然数。这是因为不大于 而与 有公约数 的数只能是 ，即。现记 ，并注意到：，于是有不大于 而与 以 为最大公约数的数有 个；不大于 而与 以 为最大公约数的数有 个；不大于 而与 以 为最大公约数的数有 个；而任何一个不大于 的数与 最大公约数只能是 之一,于是 ,即 .2
22、注意243.由 可见，1 与 15-1；2 与 15-2；4 与 15-4；都是小于 15 且互素的数，一般而言，若 则有 （若不然，设则 ，于是 矛盾） 。记 为不大于 且与 互素的所有自然数，则也是不大于 且与 互素的所有自然数,从而赋值法在函数方程中的应用赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。下面介绍它在函数方程中的应用。一、判断函数的奇偶性例 1 若 （xy ） （x） （y）中令 xy0，得 （0）0。fff f又在 （xy） （x ） （y）令 yx， （x x） （x） （x） ，f f即 （0） （x） （
23、x） ，又 （0）0.ffff所以 （x） （x ） 。由于 （x）不恒为零，所以 （x）是奇函数。f f例 2 已知函数 y （x） （xR ，x0） ，对任意非零实数 x1x2 都有 （x 1x2）f （x 1） （x 2） ，试判断 （x ）的奇偶性。fff解：取 x11，x 21 得（1）= （1）（1） ，所以 （1）=0ff f又取 x1=x2=1，25得 （1）= （1） （1） ，fff所以 （1）=0再取 x1=x，x 2=1，则有 （x ）= （x ） ，即 （ x）= （x）ffff因为 （x）为非零函数，所以 （x）为偶函数。f例 3对任意 x、y R，有（ xy） （
24、xy ）=2 （ x） （y） ，且 （0）ffff0，判断 （x ）的奇偶性。f解：令 x=y=0 得 （0） （0）=2 2（0） ，因为 （0）0，所以 （0）=1，fffff又令 x=0 得 （y ） （ y）=2 （y ） ，即 （y） = （y） 。取 x=y，得 （x）=f（y）.所以函数 y= （x ） 。ff二、讨论函数的单调性例 4 设 （x ）定义于实数集 R 上，当 x0 时， （x ）1，且对任意f fx，yR ，有 （x y）= （x） （y） ，求证 （x ）在 R 上为增函数。fff证明：由 （xy ）= （x ） （y）中取 x=y=0 得 （0）= 2（0）
25、 。ff若 （0）=0，令 x0，y =0，则 （x）=0，与 （x）1 矛盾。f f所以 （0）0，即有 （0）=1。f当 x0 时， （x ）10，当 x10，而 ，又f f 0)(1)xffx=0 时， （0）=0，所以 （x）R ， （x）0。ff设 x10， （x 2x 1）1，所以 （x 2）= x1（x 2x 1）ff= （x 1） （x 2x 1） （x 1） ，所以 y=（x）在 R 上为增函数。fff三、求函数的值域例 5 已知函数 （x）在定义域 xR 上是增函数，且满足 （xy）= （x）f ff （y） （x、y R ） ，求 （x）的值域。f26解：因为 x=y=1
26、 时， （1）=2 （1） ，所以 （1）=0ff又因为（x）在定义域 R 上是增函数，所以 x1x20 时，令 x1=mx2（m1） ，则（x 1） ffffffff0。得以对于 x1 有 （x）0。f又设 x1=mx20（00，使 ，求证 （x）是周期函数。f 02ff证明：令 ， ，代入 （ab） （ab）=2 （a） （b）可xacbffff得：（xc）= （x ） 。所以 （x2c）= （x c）c= （xc）= （x） ，ffffff即 （x2c）= （x ） 。则 （x）是以 2c 为周期的函数。f例 7 若对常数 m 和任意 x，等式 成立，求证 （x）是周期函)(1xfmff
27、数。27证明：将已知式中的 x 换成 xm 得 （x2m ）= （xm）mff又将上式中 x 2m 换成 x4m 可得)(1)(1)()(1xfffxf )(2(12)()4( xfxfmxfmxf 故 （x）是以 4m 为周期的函数f五、求函数的解析式例 8 设对满足| x |1 的所有实数 x，函数 （x）满足 ，f xfxf13求 （x）的解析式。f解：将 x 取为 代入原等式，有 ， （1）13 3)(13xfxf将 x 取为 代入原等式，有 。 （2）f)(（1）（2） ，且将原等式代入即得 )1|(27)(3xxf例 9 求函数 F（x） ，当 x0，x1 时有定义且满足 .xF1
28、)(解： ， （1）中以 代换 x 得)( 1（2）xFx21再在（1）中以 代换 x 得128， （3）12)(1xFx（1）（2）（3）化简得.)()(2x例 10 （x）的定义域在非负实数集合上并取非负数值的函数，求满足下列所有条f件的 （x）：（ 1） x （y） （x）= （x y） ；（2） （2）=0；（3）当fffff0x0 的每一个内， 是单调递增的。f)(解：令 x=y 得：（x （x）x （x）=x （x）x （x ） ，fffff又令 x （x）x （x）=t，则 （t ）=t，在（1）中令 x=t 得（t 22t）= t （t）t （t）=t （t）t （t）=（t 2）t=t 22t .fffff若 t0，则（t2）t t0，但 ，与 在 x0 时单调递增矛盾。1)2()tt )(同理，t0，亦导致矛盾。因此，对任x 恒有x （x）x （x）=t=0.ff从而 。1)(显然，这一函数满足题设条件。
