利用轴对称变换求最小值应用举例.doc

1、- -1利用轴对称变换求最小（大）值应用举例 姓名 纵观近几年中考题，虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。其次是精心设计，题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性，实现由知识到能力的过渡。因此，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养创新思维能力。在学与练的过程中去体味奇妙的数学、领略数学的奥妙，从而提高数学解题能力。一、课本原型：如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A，B 到它的距离之和最短？解：如图（2），只要画出 A 点关于直线 L 的对称点 C，连结 BC 交直线 L 于 P，则 P 点

2、就是所求。这时 PA+PB=PC+PB 为最小， （因为两点之间线段最短） 。证明：如图（2），在 L 上任取一点 P1，连结 P1A，P 1B，P 1C，因为 P1A+P1B=P1C+P1BBC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。二、应用和延伸：例 1、 （七年级作业本题）如图（3） ，AOB 内有一点 P，在 OA 和 OB 边上分别找出 M、N，使 PMN 的周长最小。解：如图（4） ，只要画出 P 点关于 OB、OA 的对称点 P1，P 2 ，连结 P1、P 2 交 OB、OA 于 M、N，此时 PMN 的周长 PM+PN+MN=P1P2 为最小。 （证明略）

3、例 2、如图，A 到直线 L 的距离 AC3 千米，B 到直线 L 的距离 BD1 千米，并且 CD4千米，在直线 L 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小。求这个最小值。解：如图所示，只要过 A1点画直线 L 的平行线与 BD 的延长线交于 H，在 RtA 1BH 中，A 1H=4 千米，BH=4 千米，用勾股定理求得 A1B 的长度为 4 千米。2例 2 图 l 1BAlD 2PBACP1BA3OPBA4 NMOPP2P1L PA1ACBDH- -2图（7）6E1CEDPBA5CEDPBA(5,5)(2,1)YXMOQPQ11 2 3 4 5 6-1 -1123456(5,5)(2,1)

4、YXOQP1 2 3 4 5 6-1 -1123456三、迁移和拓展：例 3、(温州 2003 年中考题)如图（5） ，在菱形 ABCD 中，AB=4a,E 在 BC 上，EC=2a，BAD=120 0,点 P 在 BD 上，则 PE+PC 的最小值是（ ）（A） 6a , (B) 5a , (C)4a (D)2 a 。3解：如图（6） ，因为菱形是轴对称图形，所以 BC 中点 E 关于对角线 BD 的对称点 E 一定落在 AB 的中点 E1，只要连结 CE1，CE 1即为 PC+PE 的最小值。这时三角形 CBE1是含有 300角的直角三角形，PC+PE=CE 1=2 a 。所以选（D） 。

5、例 4、如图（7） ， 在直角坐标系 XOY 中，X 轴上的动点 M（X，0）到定点 P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为 MP 和 MQ，那么当 MP+MQ 取最小值时，点 M 的横坐标 X=_ _.（你能求出当 MP-MQ 最大时点 M 的横坐标 X= ？)解：如图（8） ，只要画出点 Q 关于 X 轴的对称点 Q1（2，-1） ，连结 PQ1 交 X 于点 M，则 M点即为所求。点 M 的横坐标只要先求出经过 PQ1两点的直线的解析式， （y=2x-5） ，令 y=0，求得x=5/2。 （也可以用勾股定理和相似三角形求出答案） 。（四） 、思考与练习：1、 （2002 湖北黄岗竞赛题

6、）如图（9） ，AOB=45 0，角内有一点 P，PO=10，在角两边上有两点 Q、R（均不同于点 O） ，则PQR 的周长最小值是_。（提示：同例 1 方法，答案：P 1P2=10 ） 。当 PQR 周长最小时，QPR 的度数=_。 （答案：90 0）2、已知点 A（-2，1） ，点 B（3，4） 。在 X 轴上求一点 P，使得 PA+PB 的值最小。这个最小值是_。 （同例 4 方法）3、 （2006 宁波市阳光杯）已知点 A（1，3） 、B（5，2） ，在 x 轴上找一点 P，使 最大，则满足条件的点 P 的坐标是 。 （提示：结合例 4，用引例的思想方法）4、 （北京市中考题）如图（1

7、1） ，在矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，求这个最小值。提示：要使 BM+MN 的值最小，应设法把折线 BM+MN 拉直，从而想到用轴对称性质来做。画出点 B 关于直线 AC 的对称点 B1，则 B1N 的长就是最小值；又因为 N 也是动点，所以，当B1NAB 时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为 16。初三的同图（8）AP-BPBA图 （ 9）OP- -313AB学也可以用射影定理和面积公式求解。5、 （希望杯 2001 初二数学邀请赛试题） ，如图（12）在菱形 ABCD 中，DAB=12

8、0 0，点 E 平分 BC，点 P 在 BD 上，且 PE+PC=1，那么边长 AB 的最大值是_。（因为当 PE+PC 最小时，AB=CD 达到最大，这个最大值是 ） 。326、 （美国中学生竞赛题）如图（13） ，一个牧童在小河南 4 英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋 B 西 8 英里北 7 英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）（提示：同例 2 方法）（A） 4+ 英里 （B） 16 英里 15（C） 17 英里 （D） 18 英里7、 （新蕾杯竞赛题）如图（14） ，正方形 ABCD 的边长为 3，E 在 BC 上，且 B

9、E=2，P 在 BD 上，则 PE+PC 的最小值= ,这时 PB= （与例 3 类似，这个值为 ） 。138、如图（15） ，在河湾处 M 点有一个观察站，观察员要从 M 点出发，先到 AB 岸，再到 CD 岸然后返回 M 点，则该船应该走的最短路线是_.（先画图，再用字母表示） 。 （提示：，用例 1 方法）9、 （温州 2001 年中考题）如图（16） ，O 的直径 AB=2，O 的半径 OCAB，点 D 在Error!上,Error!=2Error!，点 P 是半径 OC 上一个动点，那么 AP+PD 的最小值是_。 （用例 3 的方法）10、 （湖北省选拔赛试题）在直角坐标系中，有四

10、个点 A（-8，3） 、B（-4，5） 、C（0，n） 、D（m,0）,当四边形 ABCD 的周长最小时，比值 为_。nm（因为 A、B 是定点且长度不变，只要使其它的三条线段的和最小，所以考虑用轴对称的方法将BC、CD 、AD 这三条折线拉直。画点 A 关于 X 轴的对称点 A1，点 B 关于 Y 轴的对称点 B1，只要求出直线 A1B1 的函数解析式就可以求出点 C 和点 D 的坐标。 ）11如图 3，在等腰三角形 中，j 14ACDBPE16OABCPDDB (15)CAM11CDA BMN12D BACPE- -4，点 是底边 上一个动点， 分别是 的中点，若120ABCPACMN，

11、ABC，的最小值为 2，则 的周长是（ ）PMNBA B C D34423图 312.如图，在锐角三角形 中，AB=4 ，BAC=45 0，BAC 的平分线交 BC 于ABC2D，M、N 是 AD 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 18 （08 鄞州）五边形 ABCDE 中，A=120，B=E=90，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE 上分别找一点 M、N，使得AMN 的周长最小，则AMN 周长的最小值为（ ） A 2 B 2 C 4 D 5 672这时AMNANM 的度数= 13. （ 2012 余姚末 26）ABC 中，ACB=90，AC=BC= ，以点 B 为圆心，以 为半

12、52径作圆。（1）P 为B 上的一个动点，线段 CP 绕着点 C 顺时针旋转 90，得到线段 CD，连接DA，DB，PB，求证：AD=BP。（2）在（1）的条件下。若CPB= 135时，则 BD= ；（3）在（1）的条件下，当PBC= 时，BD 有最大值，且最大值为 ；当PBC= 时，BD 有最小值，且最小值为 .ABCPM NC DBA EM NDACBMN- -5B CADFE MNOABCD寒假作业 P.6，第 25 题19已知ABC 中，A=20 o，AB=AC=20cm，M、N 分别为 AB、AC 上两点，求BN+NM+MC 的最小值。5*如图所示，已知 中， ， ， ， 分别是三边

13、RtABC903AB4C,E上的点，则 的最小值为（ ）,ABCDEF（A） （B） （C）5 （D）612524作 AB、BC 的轴对称图形，转化为求菱形的高6*如图，MON=30 ，A 在 OM 上，OA=2 ，D 在 ON 上，OD=4，C 在 OM 上的任意一点，B 是 ON 上的任意一点，则折线 ABCD 的最短长度为 。18如图，在矩形 ABCD 中，AB=20 厘米，AD=10 厘米，若在 AC，AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小14 （05 奉化）如图，抛物线 yx 2bxc 经过点 A（4 ，2） ，B（5，7） 。（1） 求抛物线的解析式；（2） 若抛物线与

14、 x 轴交于点 C(x1，0)和 D(x2，0)，顶点为 M，且 x1 x2，求 MCD 的面积。（3） 问在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由。15.（2012 余姚末 18）已知抛物线 经过 A（4,0） 。设点 C（1，-3） ，请在抛物线的21yxb7654321-1-2-3-6 -4 -2 2 4 6 8 10y xOC DABM- -6ABCNMO30ABCD对称轴上确定一点 D，使得|AD CD |最小。16如图，A、B 是直线 a 同側的两定点，定长线段 PQ 在 a 上平行移动，问 PQ 移动到什么位置时

15、，AP+PQ+QB 的长最短？17已知点 A（0，2） 、B（4，0） ，点 C、D 分别在直线 x=1 与 x=2 上，且 CDx 轴，则AC+CD+DB 的最小值为 13 （2006 年贵港市中考题）如图，在一笔直的公路 的同一旁有两个新开发区 ，MNAB千米，直线 与 的夹角 ，开发区 到 的距离 千米10ABABMN30O B3C（1）求新开发区 到公路 的距离= 千米；（2）现要在 上某点 处向新开发区 修两条公路 ，使点 到新开发区PB，P，的距离之和最短请你用尺规作图在图中找出点 的位置（不用证明，不写作法，保留，作图痕迹） ，并求出此时 的值A11如图，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外 A 点爬到桶内 B 点去寻找食物，已知 A 点到桶口的距离 AC 为 12，B 点到桶口的距离 BD 为 8，弧 CD 的长为 15，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？最短路程是多少？aABP Q