1、黄金试题高考必练第 10讲 柱锥台球的表面积和体积学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式） ；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.知识要点：表面积相关公式 表面积相关公式棱柱2SlcA侧全 底 侧 侧 棱 长 直 截 面 周 长，其 中圆柱 （r：底面半径， h：高）2Srh全棱锥 侧全 底 圆锥 （r ：底面半径，l：母线长）全棱台 SS侧全 上 底 下 底 圆台2()r全（r：下底半径，r：上底半径，l：母线长）例题精讲：【例 1】已知圆台的上下底面半径分别是 2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：设圆台的母线长为 ，则l圆台的
2、上底面面积为 ，24S上圆台的上底面面积为 ，5下所以圆台的底面面积为 .9下上又圆台的侧面积 ，(2)7l侧于是 ，即 为所求.725l9l【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.解：由三视图知正三棱柱的高为 2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为 .23m设底面边长为 a，则 ， .34a正三棱柱的表面积为.21242238()S侧 底【例 3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到 0.01 m2） 解：上部分圆锥体的母线长为 ， 21.5其侧面积为 .15.2S
3、下部分圆柱体的侧面积为 .18S所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为（m 2）.215.51.50.S点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是体积计算.【例 4】有一根长为 10 cm，底面半径是 0.5 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 8 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到 0.01 cm）解：如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形 ABCD.由题意知，BC=10 cm, , 点 A 与点 C 就是铁丝的起20.58ABcm止位置，故线段 AC 的长
4、度即为铁丝的最短长度. .2210(8)7.()ACc所以，铁丝的最短长度约为 27.05 cm. 点评：此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将 问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲） 为直，使空 间图形问题转 化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法 .图 2-3-1212m18m5m黄金试题高考必练第 5 练 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积基础达标1用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）.A. 8 B. C. D. 8422圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母
5、线长为 3，圆台的侧面积为 ，则圆台较小底面84的半径为（ ）. A. 7 B. 6 C. 5 D. 33一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）.A. B. C. D. 1214121424一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是 9cm 和 15cm，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是（ ）.A. 160 cm2 B. 320 cm2 C. cm2 D. cm240898095 （04 年湖北卷.文 6）四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G 、H，则四面体 EFGH 的表面积与四面体 ABCD 的表面积的比值是（ ）.A
6、 B C D127196如图，已知圆柱体底面圆的半径为 ，高为 2， 分别是两底面的直径，ABCD，是母线若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 点，则小虫爬行的最短路线DC，的长度是 （结果保留根式） 7已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1：2，则它们的高之比为 . 能力提高8六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是 8 cm 和 18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13 cm，求它的表面积. 9一个圆锥的底面半径为 R，高为 H，在这个圆锥内部有一个高为 x 的内接圆柱. 当 x 为何值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？探究创新10. 现有
7、一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是 30cm，底面的长是 25cm，宽是 20cm设水箱里盛有深为 cm 的水，若往水箱里放入棱长为 10cm 的立方体铁块，试求水深.aABCD黄金试题高考必练第 6 讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式） ；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识要点：1. 体积公式：体积公式 体积公式棱柱 VShA底 高 圆柱 2Vrh棱锥 13底 高 圆锥 13棱台 ()Sh圆台 22()rr2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体
8、；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：.13VShA锥 0 1()3V台 S VhA柱例题精讲：【例 1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是 2、3、6，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为 ，则 ，,abc2,acb三式相乘得 .2()36abc所以，长方体的体积为 6.【例 2】一块边长为 10 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角m形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式 ,并求出函数的定义域. 解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为 .cm在 中， , RtE
9、OF15,2cOFx所以 , 于是 .214x2534V依题意函数的定义域为 .|01x【例 3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为 ，母线长为 6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将3容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的 时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .6解：容器中水的体积为 .22()18Vrl流出水的体积为 ，如图， .5(1)36223()Vlr设圆柱的母线与水平面所成的角为 ，则 ，解得 .tan60所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 60.点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.【
10、例 4】在边长为 a 的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积. 解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的. 设扇形半径为 x，圆半径为 r，则， x=4r ， .12xr2(5)ABxrr又 AB= ， ，解得 .a(52)a3a圆锥的高 ，1hxr .321()360Vr点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系. 搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些 发生了变化. hrO FEDBAC黄金试题高考必练图 (1) AP AB图 (2)CA P AB C第 6 练 1.3.1 柱体、
11、锥体、台体的体积基础达标1已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 和 ，则 （ ）.1V212:A. B. C. D. :31:2:13:2三棱锥 VABC 的底面 ABC 的面积为 12，顶点 V 到底面 ABC 的距离为 3，侧面 VAB 的面积为 9，则点 C 到侧面 VAB 的距离为（ ）.A. 3 B. 4 C. 5 D. 63若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）.A. B. C. D. 6cmc318cm312cm4矩形两邻边的长为 a、b，当它分别绕边 a、
12、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为（ ）. A. B. C. D. ba3()3()5如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）.A B . C. D . 423436836已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_.7 （04 年广东卷.15）由图(1)有面积关系:PABS，则由(2) 有体积关系: .PABCV能力提高8有一个正四棱台形状的油槽，可以装油 190L，假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm，求它的深度为多少 cm？ 9用上口直径为 34cm、
13、底面直径为 24cm、深为 35cm 的水桶盛得的雨水正好为桶深的 ，问此次降雨量为多少？（精确到 0.1mm） （注：降雨量指单15位面积的水平面上降下雨水的深度）探究创新10养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的底面直径为12 m，高 4 m. 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐. 现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m（高不变） ；二是高度增加 4 m (底面直径不变 ).（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？3517h12俯视图主视图 左视图黄
14、金试题高考必练A B CDDCBA OA CCA O第 7 讲 1.3.2 球的体积和表面积学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式） ；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识要点：1. 表面积： （R：球的半径）. 2. 体积： .24S球 面 34VR球 面例题精讲：【例 1】有一种空心钢球，质量为 ，测得外径等于 ，求它的内径（钢的密度为 ，142g5cm27.9/gcm精确到 ） 0.cm解：设空心球内径(直径)为 ，则钢球质量为xcm，33457.9()2 ， ，351()1.2x2.4直径 ，即空心钢球的内径约为 .45c【例 2】表面积为 的球
15、，其内接正四棱柱的高是 ，求这个正四棱柱的表面积.31解：设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ，则作轴截面如图，Ra， ，1ACa又 ， ， ， ，249282AC8a .6314576S表【例 3】 （04 年辽宁卷.10）设 A、B、C、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB= BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.A B C D82472【解】由已知可得，A、B、C、D 在球的一个小圆上. AB= BC=CD=DA=3， 四边形 为正方形. 小圆半径 . 32r由 得 ，解得 .22Rrh23()(R6 球的体积 . 所以选 A.3468V点评：解
16、答球体中相关计算，一定要牢 记球的截面性质 ，体 积和表面积公式.22Rrh【例 4】推导球的表面积公式.解：设球 的半径为 ，我们把球面任意分割为一些“小球面片” ，它们的面积分别用OR表示，则球的表面积 .12,iS S12iS 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥， “小锥体”的底面积 可近似地等于“小锥体”的i底面积，球的半径 近似地等于小棱锥的高 .ih因此，第 个小棱锥的体积 ，当“小锥体”的底面非常小时， “小锥i 13iiiVS体”的底面几乎是“平的” ，于是球的体积为：，12(3)iiVhSh 又 ，且 ， 可得
17、.iR12iS 13VRS又 ， ， 即为球的表面积公式 奎 屯王 新 敞新 疆3434R24S点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径 作 等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成 层，每一层都近似于一个圆柱形OAn n的“ 薄圆片”，这些“ 薄圆片” 的体 积之和就是半球的体积. 由于 “薄圆片”近似于圆柱形状，它的体 积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体 积化归为无限个圆柱的体积 之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和 .黄金试题高考必练第 7 练 1.3.2 球的体积和表面积基础达标1正方体的内切球和外接
18、球的半径之比为（ ）.A. B. C. D. 3:3:22:33:2设正方体的全面积为 ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）.4cmA. B. C. D. 6c8cm4cm3已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（ ）.A. 以上四个图形都是正确的 B. 只有(2)(4)是正确的C. 只有(4)是错误的 D. 只有(1)(2) 是正确的4长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3、4、5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）.A. B. C. D. 都不对2550125一个圆锥与一个球的体积相等，圆
19、锥的底面半径是球的半径的 3 倍，圆锥的高与底面半径之比为（ ）.A. B. C. D. 4994472746若三个球的表面积之比是 ，则它们的体积之比是 .1:237 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2cm，则这个球的表面积为 ，体积为 . 能力提高8已知过球面上 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且,ABC，求球的表面积.2ABC9半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ，求球的表面积和体积.6探究创新10祖暅原理也就是“等积原理” ，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，
20、被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.试用祖暅原理推导球的体积公式. ) ) ) C BAOO黄金试题高考必练第 8 讲 第一章 空间几何体 复习学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；会用
21、平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求） ；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.例题精讲：【例 1】 （06 年四川卷）如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在PABCD,ABCD球 的同一个大圆上，点 在球面上，如果 ，则球 的表面积是OP163VOA. B. C. D. 4812解：如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同一个大圆ABCD,上，点 在球面上，PO底面 ABCD，PO=R， ， ，P 2ABCDS163PABCDV所以
22、，解得 R=2，2163R则球 的表面积是 ，选 D.O1【例 2】如图（单位：cm） ，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. 解：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面. S 半球 =8 ， S 圆台侧 =35 ，S 圆台底 =25.故所求几何体的表面积为 68 .由 ，22221553V圆 台 （ ） （ ） .4163半 球所以，旋转体的体积为 .316402)3Vcm圆 台 半 球 (【例 3】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 = 8. 若 水平放置时，液面恰好过1A1AB的中点，则当底面 ABC 水平放置时，液面的高为多
23、少？1,ACB解：当 水平放置时，纵截面中水液面积占 ，34所以水液体积与三棱柱体积比为 . 34当底面 ABC 水平放置时，液面高度为 .86点评：容器中水的体积不会减少，无 论是竖着还是横着，正是由于这种等积思想，才能寻找到不用计算体积，而通 过体积比进而化为高度比 . 我们可以练习这样一个题 ：三棱锥 VABC 的底面 ABC 的面积为 12，顶点V 到底面 ABC 的距离 为 3，侧面 VAB 的面积为 9，则点 C 到侧面 VAB 的距离为 .（答案：4）【例 4】如图是一个奖杯的三视图. 求这个奖杯 的体积. （精确到 0.01 cm3）解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正
24、四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体.由 22151851.673V正 四 棱 台 （ ） ，684长 方 体 ， 309,V球所以，这个奖杯的体积为 .3182.76()Vcm正 四 棱 台 长 方 体 球B CA D452黄金试题高考必练点评：由三视图研究几何体的表面积和体积，需先发挥空间想象力，按正 视图、侧视图、俯视图顺序，逐步构造出几何体形状，分析清楚组 合体的结构特征，按相 应表面 积或体积公式进行计算.第 8 练 第一章 空间几何体 复习基础达标1 （06 年福建卷）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于（ ）.32A. B. C. D. .2234432 （06 年全
25、国卷 II）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）.A. B. C. D. 316916389323有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积及体积为（ ）.A. 24cm 2，12cm 3 B. 15cm 2，12cm 3C. 24cm 2，36cm 3 D. 以上都不正确4 （04 年广东卷.7）在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）.A. B. C. D. 37645565向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V 与水深 h
26、的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）. 6 一个边长为 2cm 的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的表面积为 ，体积为 . 7关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法： 原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y轴，长度变为原来的 ； 画与直角坐标系 xoy 对应的 xoy时，xoy必须是 45； 在画直观图时，1由于选轴的不同，所得的直观图可能不同； 等腰三角形的直观图仍为等腰三角形； 梯形的直观图仍然是梯形； 正三角形的直观图一定为等腰三角形.其中说法正确的序号依次是 .能力提高8设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是 0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要
27、多少平方米铁板？（保留两位有效数字） 9已知一个几何体的三视图如右，试求它的表面积和体积.（单位：cm）探究创新10 （1）给出两块相同的正三角形纸片（如图 1、图 2） ，要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型, 另一块剪拼成正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等. 请设计一个剪拼方法, 分别用虚线标示在图 1、图 2 中, 并作简要说明；（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（3） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3）, 要求剪拼成0.851.5 ESO黄金试题高考必练一个直三棱柱模型, 使它的全面积与给出的三角形的面积相等, 请设计一个剪拼方法, 用虚线标示在
28、图 3 中, 并作简要说明.1 【2008 年宁夏理】 15一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 3，则这个球的体积为 982 【2008 年宁夏文】 14一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为_3三、计算题1 【2008 年宁夏文】 18 （本小题满分 12 分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm） （）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图
29、；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（）在所给直观图中连结 ，证明： 面BCEFG【试题解析】 （）如图（）所求多面体的体积 312844632V cm正长 方 体 三 棱 锥（）证明：如图，在长方体 中，连接 ，则 ABCDADBC因为，分别为 中点，所以 ，, EG从而 EG，又BCEFG平 面所以 平面；【高考考点】长方体的有关知识、体积计算及三视图的 相关知识【易错点】：对三视图的相关知识掌握不到位，求不出 有关数据。【学科网备考提示】：三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视。黄金试题高考必练2 【2007广东文】17 （本小题满分12分）已知某几何体
30、的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称 主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图） 是一个底边长为6、高为4的等腰三角形（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的侧面积S。【解析】 本小题只要考查三视图、几何体体积、等腰三角形性 质、三角形面积等基础知识，以及空间想象能力、运算求解能力由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面是长为、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为 8，高为 的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为 8，高为 的等腰三角形，1h 2h如解答图 1。（1）几何体的体积为 。6843VS矩 形（2）正侧面及相对侧面底边上的高为： 。2135h左、右侧面的底边上的高为： 。2故几何体的侧面面积为： 85642042S()
