1、数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。笔者总结出九种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例 1等差数列 an是递增数列，前 n 项和为 nS，且 931a, 成等比数列，25aS求数列 的通项公式解：设数列 n公差为 )0d( 931, 成等比数列， 9123a，即 8a)da(12，得 d 0， 25S211)d4a(a由得： 53，n)n(an点评：利用定义法求数列通
2、项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、累加法求形如 （f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，1()naf可用累加法，即令 n=2，3，n1 得到 n1 个式子累加求得通项。例 2已知数列a n中，a 1=1，对任意自然数 n 都有 1()na，求 na解：由已知得 ()，12(1)nan，34， 23a，以上式子累加，利用1()nn得 na- 1=1.23()1n= ，32an点评：累加法是反复利用递推关系得到 n1 个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求 f(n)的前 n1 项的和，要注意求和的技巧三、迭代法求形如 1naqd(其中 ,q为常数
3、) 的数列通项，可反复利用递推关系 迭代求出。例 3已知数列a n满足 a1=1，且 ，求 na13n解：a n=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=3n-1a1+3n-21+3n-3 1+31+1=312n点评：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同四、公式法若已知数列的前 n项和 nS与 的关系，求数列 n的通项 na可用公式211Sann 求解。例 4已知数列 a的前 项和 n满足 1,)(2Sn求数列 na的通项公式；解：由 .1,11得当 2n时，有 ,)()(1nnnnaS1(),a221nn， .2121
4、()nn.)1(233)()(1nnn 经验证 a1也满足上式，所以21()3nna点评：利用公式 1Snn 求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能合写时一定要合并五、累乘法对形如1()naf的数列的通项，可用累乘法，即令 n=2，3，n1 得到 n1 个式子累乘求得通项。例 5已知数列 n中， 31a，前 n项和 nS与 a的关系是 nnaS)2(，求通项公式 na解：由 nnS)2(得 11()2nS两式相减得： ,a，13na，12215,n 将上面 n1 个等式相乘得：1(23)5(27)315na (2)1n.(1)n点评：累乘法是反复利用递推关系得到 n1 个式子累乘求出通项，这种
5、方法最终转化为求 f(n)的前 n1 项的积，要注意求积的技巧六、分 n 奇偶讨论法在有些数列问题中，有时要对 n 的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。例 6已知数列a n中，a 1=1 且 anan+1=2()4n，求通项公式解：由 anan+1=2()4及 an+1an+2=21，两式相除，得2na=14，则 a1,a3,a5,a2n-1，和 a2,a4,a6,a2n，都是公比为 4的等比数列，又 a1=1,a2= ，则：（1）当 n 为奇数时，12()nnn；（2）当 n 为偶数时，2()4nnn综合得124点评：对 n 的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有 )时，分 n 为奇
6、偶即可自然引出讨论分类讨论相当于增加条件,变不定为确定注意最后能合写时一定要合并。这是近年高考的新热点，如 05 年高考江西卷文科第 21 题七、化归法想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法同时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。例 7已知数列 na满足 1,521,*,.naN且 当 时 有求 an解：当112,nn时 由140naa得两边同除以4,11nn得，即*1Nn且对成立，a是 以首项为 5，公差为 4 的等差数列 .1,1)(1 nadn 所 以点评：本题借助na为等差数列得到了 的通项公式，是典型的化归法常用的化归还有取对数化归，待
7、定系数化归等，一般化归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的常见方法八、 “归纳猜想证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳猜想证明”法例 8若数列 na满足： ,23,11nna计算 a2，a 3，a 4 的值，由此归纳出 an的公式，并证明你的结论解：a 2=2 a1+32=21+32，a3=2（21+32）+32 1=221+2321，a4=2（2 21+2321）+3 22=231+3322；猜想 an=2n1 +（n1）32 n2 =2n2 （3n1） ；用数学归纳法证明：1当 n=1 时，a 1=21 =1，结论正确
8、；2假设 n=k 时，a k=2k2 （3k1）正确，当 n=k+1 时， 111 23)(3 kkk= )( ,)(k结论正确；由 1、2知对 nN*有 ).(nan点评：利用“归纳猜想证明”法时要小心猜测，切莫猜错，否则前功尽弃；用数学归纳法证明时要注意格式完整，一定要使用归纳假设九、待定系数法（构造法）求递推式如 1nnapq（p、q 为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解，相当如换元法。例 9已知数列a n满足 a1=1，且 an+1 = 3n+2，求 na解：设 13()ntt，则 12nt，t， a为等比数列，11()2nn，1n点评：求递推式形如 npaq（p
9、、q 为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列 an+1+ =p(an+ )来求得,也可用 “归纳 猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型例 10已知数列 n满足 1132().na求 an解：将 32na两边同除 n，得n，变形为123na设b，则 1nb令 1(),3ntbt即 1nbt，得 3t条件可化成3()n，数列18nab是 以为首项，23为公差的等比数列82()3n因 3nb，所以nab=182()3n得 na= 1点评：递推式为11nnpaq（p、q 为常数）时，可同除 1nq，得1nnapq，令nabq从而化归为 1nnapq（p、q 为常数）型例 11已知数列 n满足 1221,.3na求 an解：设 21().nnastas展开后，得 1t由,3st，解得,3，条件可以化为 211().nnaa得数列 1n是 以 21为首项， 3为公差的等比数列，1()3na问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得174n点评：递推式为 21napqa（p、q 为常数）时，可以设21()nnasts，其待定常数 s、t 由 ,tpsq求出，从而化归为上述已知题型
