1、一填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）1 210lim()xe.2 05xed.3设函数 ()y由方程21xyt确定，则 0xdy.4. 设 xf可导，且 ()()tff， 1f，则 f .二选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）1设常数 0k，则函数kexfln)(在 ),0(内零点的个数为（ ）.(A) 3 个; (B) 2 个; (C) 1 个; (D) 0 个. 2 微分方程 43cosyx的特解形式为（ ）.（A） ; （B ） cos2yAx;（C） inxB; （D） in*.3下列结论不一定成立的是（ ）.（A）若 badc,则必有 badcd
2、xfxf;（B）若 0)(xf在 上可积,则 0;（C）若 f是周期为 T的连续函数,则对任意常数 a都有 TTadxfxf0;（D）若可积函数 xf为奇函数,则 0xtfd也为奇函数.4. 设xef132, 则 是 )(xf的（ ）.(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）1计算定积分230xed.2计算不定积分dx5cosin.3求摆线 ),cos1(intayx在 2处的切线的方程.4. 设20()cos()xFtd，求 )(xF.5设 nxn )2(3)(1(，求 nxlim.四应用题（
3、共 3 小题，每小题 9 分，共计 27 分）1求由曲线 2xy与该曲线过坐标原点的切线及 x轴所围图形的面积.2设平面图形 D由 2xy与 x所确定，试求 D绕直线 2x旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设 1,aattf)(在 (,)内的驻点为 ().ta问 为何值时 )(at最小? 并求最小值.五证明题（7 分）设函数 ()fx在 0,1上连续，在 (0,1)内可导且1(0)=,()2ff，试证明至少存在一点 (), 使得 .f一填空题（每小题 4 分，5 题共 20 分）：1 210lim()xe.2 05xed4.3设函数 ()y由方程21xyt确定，则 0xdy1e.4. 设 x
4、f可导，且 ()()tff， f，则 f2x.二选择题（每小题 4 分，4 题共 16 分）：1设常数 0k，则函数kexfln)(在 ),0(内零点的个数为（ B ）.(A) 3 个; (B) 2 个; (C) 1 个; (D) 0 个. 2 微分方程 xy2cos34的特解形式为 （ C ）（A） ； （B ） cos2yAx；（C） inx； （D） in*3下列结论不一定成立的是 （ A ）(A)(A) 若 badc,则必有 badcdxfxf;(B)(B) 若 0)(xf在 ,上可积,则 0f;(C)(C) 若 x是周期为 T的连续函数,则对任意常数 a都有TTadff0;(D)(D
5、) 若可积函数 xf为奇函数 ,则 0xtfd也为奇函数 .4. 设xef132, 则 0是 )(xf的（ C ）.(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三计算题（每小题 6 分，5 题共 30 分）：1计算定积分 2032dxe.解： 20201,2 ttdeetx则则-2021tet-22312eet-22计算不定积分dx5cosin.解： xdxx 4445 cos1)(1si-3Cxxtan41t2cos432-33求摆线 ),1(intay在处的切线的方程.解：切点为),12(a-22tdxyk2)cos(int1-2切线方程为 (ax即
6、axy)2(. -24. 设 xdtF02)cos()(，则 )(F)cos()1(cos2x.5设 nn 231，求 nxlim.解： )l(l1inix-210)ln(lmli dxinin-2=2)(10dxx-2故 nli= e42l四应用题（每小题 9 分，3 题共 27 分）1求由曲线 xy与该曲线过坐标原点的切线及 x轴所围图形的面积.解：设切点为 ),0yx则，则过原点的切线方程为xy210，由于点 在切线上，带入切线方程，解得切点为 2,40y.-3过原点和点 )2,4(的切线方程为y-3 面积 dys0= 32-3或 )21(2104xxx2设平面图形 D由 y与 所确定，
7、试求 D绕直线 2x旋转一周所生成的旋转体的体积.解： 法一： 21V1022102)()(dyydy-6)314(343-3法二：V= 102)(2dxx102)(2dx- 510234) x32134213(23x- 43. 设 ,aattf)(在 (,)内的驻点为 ().ta问 为何值时 )(at最小? 并求最小值.解: .ln1)(0ln)(ttft 得由- 3)(l2eaat得 唯 一 驻 点又 由-3 .)(,0)(,;0, 的 极 小 值 点为于 是时当时当 attetea e-2故.1ln,)( e最 小 值 为的 最 小 值 点为-1五证明题（7 分）设函数 ()fx在 0,1上连续，在 (0,1)内可导且 (0)=1,()12ff，试证明至少存在一点 (,), 使得 .f证明：设 ()Fxf， ()Fx在 0,1上连续在 (0,1)可导，因 (0)=1f,有 0,f,- 2又由1()=2f，知1()-=22f，在 ， 上 ()Fx用零点定理，根据 -，- 2可知在1()2，内至少存在一点 ，使得1()=0(,)0,2，,0)=F由 ROLLE 中值定理得 至少存在一点 (1)使得(即 ()=0f，证毕 . -3
