1、勾股定理的十六种证明方法【证法 1】此主题相关图片如下：做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即a2+b2+4*(ab/2)=c2+4*(ab/2)整理得到：a2+b2=c2。【证法 2】 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
2、 RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. 它的面积等于 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于(a+b)2. (a+b)2=c2+4*(ab/2)， a2+b2=c2。此主题相关图片如下：【证法 3】以 a、b 为直角边（ba）， 以 c 为
3、斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90. EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于(b-a)2. (b-a)2+4*(ab/2)=c2， a2+b2=c2。此主题相关图片如下：【证法 4】 以 a、 b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/
4、2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC . AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 c2/2. 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于(a+b)2/2(a+b)2/2=2*ab/2+c2/2, a2+b2=c2。此主题相关图片如下：【证法 5】 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，
5、使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. D、E、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90. 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形. 同理，HPF
6、G 是一个边长为 b 的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则 a2+b2=S+2*ab/2 c2=S+2*ab/2 a2+b2=c2。此主题相关图片如下：【证法 6】 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上. 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC =
7、90. QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF. 从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明）.此主题相关图片如下：【证法 7】 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于 a
8、2/2， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 =a2. 同理可证，矩形 MLEB 的面积 =b2. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 a2+b2=c2。此主题相关图片如下：【证法 8】 如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D. 在 ADC 和 ACB 中， ADC = ACB = 90， CAD = BAC， ADC ACB. ADAC = AC AB， 即 AC2=AD*AB. 同理可证，CDB ACB，从而有 BC2
9、=BD*AB. AC2+BC2=(AD+BD)*AB=AB2，即 a2+b2=c2。此主题相关图片如下：【证法 9】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba），斜边长为 c. 再做一个边长为 c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BPAF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. 又 DHA = 90，BCA = 90， AD = AB = c， RtDHA RtBCA.
10、 DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高
11、 FP=a +（ba）. 用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为此主题相关图片如下：【证法 10】 设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为 c. 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90， TBH = ABE. 又 BTH = BEA = 90， BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 GHF + BHT = 90， DBC + BHT = TBH + BHT
12、 = 90， GHF = DBC. DB = EBED = ba， HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 S7=S2. 过 Q 作 QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE = QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM . 又 RtHBT RtABE. 所以 RtHBT RtQAM . 即 S8=S5. 由 RtABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR. 又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC. 即 S4=S6. 此主题相关图片如下：
