1、2.3.2 等差数列的前 项和的性质n【学习目标】1. 熟练掌握等差数列前 项和公式，等差数列前 项和的性质以及其与二次函数的关系；n2. 在学习等差数列前 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列 前 项n和公式求其通项公式.【自学园地】1. 等差数列的前 项和的性质：n已知数列a n是等差数列，S n是其前 n 项和(1)若 m，n，p ，q，k 是正整数，且 mnpq2k，则 ama na pa q2a k.(2)am，a mk ，a m2k ，a m3k ，仍是等差数列，公差为 kd.（3） 仍成等差，且公差为 n2d.2,nnnSS（4）若项数为 ，则 与 中项数相等，且
2、；偶偶 Sd偶 121()nnaS偶 3 21()nn若项数为 ，则 ；S偶偶 21()(1)nndada ， ；na偶偶 ；21() 121()naS偶（5）两个等差数列a n，b n的前 n 项和 Sn，T n之间的关系为 .anbn S2n 1T2n 1(6)若数列a n，b n是公差分别为 d1，d 2 的等差数列，则数列 pan，a np ，panqb n都是等差数列(p，q 都是常数) ，且公差分别为 pd1，d 1，pd 1qd 2.2. 为等差数列 其前 n 项和 2nSAB3.若数列 为等差数列 成等差nanS4.等差数列的单调性的应用：（1）当 时， 有最大值，n 是不等式
3、 的正整数解时取得；10,adS10na（2）当 时， 有最大值，n 是不等式 的正整数解时取得1, 10na（II）当数列中有某项值为 0 时， 应有两解 mmS5.知三求二问题：等差数列数列前 项和公式中各含有 4 个元素： 与n1,nnSa，已知其中 3 个量，即可求出另外 1 个；综合通项公式及前 项和公式，已知1,nSad其中 3 个量即可求出另外 2 个量【典例精析】1.（1）已知等差数列 ， ，求 na148125a15S（2）等差数列 前 项和为 30，且前 项和为 100，求其前 项和nmm3m（3） 有一个项数为 的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比21（4）有一个
4、项数为 的等差数列中,若所有的奇数项的和是 165，所有偶数项的和是n150，则项数 n 等于 （5）等差数列 前 12 项之和为 354，其中奇数项之和与偶数项之和的比为 27：32，求na公差 d（6）等差数列 前 项和为 ， ，求nanS,()mnNn且 mnS2.等差数列 和 的前 项和分别为 之比为 ，求 及nabn,nSTn31215abn3.等差数列 中， 为前 项和， ，问此数列前多少项的和最大？nanS13,a1S4在等差数列 中， na31213,0,S（1）求公差 的范围；d（2）问 中哪个值最大？12312,S5已知数列a n中，a 160，a n1 a n3，则|a
5、1|a 2|a 3| a30|等于 ( )6.等差数列 中， ，求数列 的前 项和为 na3621,4SnanT7. 已知正项数列 的前 n 项和为 ，且 ，求anS1()anAnS8.已知正项数列 的前 n 项和为 ，且 ，求anS1(2)anAnS【巩固练习】1一个有 11 项的的等差数列，奇数项之和是 30，则它的中间项是（ ）A.8 B.7 C.6 D.52.设 是等差数列 的前 n 项和，若 ，则 （ ）nSa361S612A. B. C. D. 31013893.等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a12，S 312，则 a6 等 ( )A8 B10 C12 D.144下面是
6、关于公差 d0 的等差数列 an的四个命题：p1：数列a n是递增数列； p2：数列na n是递增数列；p3：数列 是递增数列； p4：数列a n3nd 是递增数列ann其中的真命题为 ( )Ap 1，p 2 B.p 3，p 4 Cp 2，p 3 D.p 1，p 45已知等差数列a n中，a 7a 916，S 11 ，则 a12 的值是 ( )992A15 B.30 C31 D.646在递减等差数列a n中，若 a1a 50，则 Sn取最大值时 n 等于 ( )A2 B.3 C4 D.2 或 37在等差数列a n中，若 a2a 4a 6a 8a 1080，则 a7 a8 的值为 ( )12A4
7、 B.6 C8 D.108已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和是 15，偶数项之和为 30，则其公差为（ ）A.2 B.3 C.4 D.59 已知等差数列 中， ，公差 d0,则使得前 n 项和 取得最小值时的正整na59anS数n 的值是( )A.4 和 5 B.5 和 6 C.6 和 7 D.7 和 810 已知等差数列a n的前 n 项和 Sn满足 S30，S 5 5.(1)求a n的通项公式； (2)求数列 的前 n 项和1a2n 1a2n 111.等差数列 中， 求数列 的前 n 项和 。na3621,4,SaT【课后作业】1设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，S 84a
8、3，a 72，则 a9 ( )A6 B.4 C2 D.22在等差数列a n中，a 9 a126，则数列a n的前 11 项和 S11 ( )12A24 B.48 C66 D.1323设数列a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8 等于( )A31 B32 C33 D344设 Sn是等差数列a n的前 n 项和，已知 a23，a 611 ，则 S7 等于( )A13 B35 C49 D635已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 a13S 1313 ，则 a1 的值等于_6在等差数列a n中，a 17，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n8 时 Sn取得最大值，则 d 的取值范围为_7已知数列a n的前 n 项和为 Sn且满足 an2S nSn1 0(n2)，a 1 .12(1)求证： 是等差数列；1Sn(2)求 an的表达式8.等差数列 中， 且 ，求na10,2135()a（1） ；（2）若 ，求0d123nnT
