1、平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念需要强调力与位移都是向量，而功是数量因此，向量的内积又叫做数量积在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方
2、法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当0 时，ab|a|b|；当 时，a b|a|b|可以记忆为：180两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数（2）|a | 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基|ab础；（4） “ab0 a b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础 【教学备品】教学课件【课时安排】2 课时(80 分钟)【教学过程】*揭示课题7.3 平面向量的内
3、积*创设情境 兴趣导入Fs图 72130O如图 721 所示，水平地面上有一辆车，某人用 100 N 的力，朝着与水平线成 角30的方向拉小车，使小车前进了 100 m那么，这个人做了多少功？动脑思考 探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图 722 所示，设水平方向的单位向量为 i，垂直方向的单位向量为 j，则i + y j ，Fxsn30cos30Fj即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为 s，即WFcos s100 10500 （J）3023O xijF(x,y)y这里，力 F 与位移 s
4、 都是向量，而功 W 是一个数量，它等于由两个向量 F，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量 F 与向量 s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积如图 723，设有两个非零向量 a, b，作 a, OAb,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 bOBBAO图 723ab的夹角，记作两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 ab, 即aba|b|cos (7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作 WF s.由内积的定义可知a00, 0a0由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当 0 时，ab|a|b|；当 时， ab|
5、a|b|.180（2） cos .|（3） 当 ba 时，有0，所以 aa|a|a|a| 2，即| a| .（4） 当 时，a b，因此，ab 因此对非零向量,9cos90,ba，b，有ab0 a b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） abba（2） ( )b (ab)a( b)（3） (ab) cac bc注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a(bc)（ab）c.请结合实例进行验证.*巩固知识 典型例题例 1 已知|a| 3,|b|2, ,求 ab60解 ab|a|b| cos 32cos 3例 2 已知|a| |b| ,ab ,求解 cos .|2由于 0 ，18所以 *理
6、论升华 整体建构135思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 ab, 即aba|b|cos (7.10)ab 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积知识 典型例题例 3 求下列向量的内积：（1） a (2,3), b(1,3) ；运用知识 强化练习 1. 已知|a| 7， |b|4，a 和 b 的夹角为 ，求 ab602. 已知 aa9,求|a| 3. 已知|a| 2,|b|3, ，求(2ab) b30动脑思考 探索新知设平面向量 a(x 1,y1),b(x 2,y
7、2)，i，j 分别为 x 轴，y 轴上的单位向量，由于 ij，故ij 0，又| i | j|1，所以ab(x 1 iy 1j) (x2 iy 2j) x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j x1 x2 |j|2 y1 y2 |j|2 x1 x2 y1 y2这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即ab x1 x2 y1 y2 (7.11)利用公式(711)可以计算向量的模设 a(x,y)，则，即A2xy(7.12)a由平面向量内积的定义可以得到，当 a、b 是非零向量时，cos . (7.13) |122 xy利用公式(7.13)可以方便地求出
8、两个向量的夹角.由于 a b ab0，由公式(7.11)可知ab0 x1 x2 y1 y20因此a b x1 x2 y1 y20 (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题*巩固知识 典型例题例 3 求下列向量的内积：（2） a (2,3), b(1,3) ；（3） a (2, 1), b(1,2) ；（4） a (4,2), b(2, 3)解 (1) ab21( 3)37；(2) ab21( 1)20；(3) ab2(2)2( 3)14例 4 已知 a(1,2),b(3,1).求 ab, |a|,|b|, 解 ab(1)( 3)215；|a| ；2()5|b
9、| ；310cos ，|52所以 4例 5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a(2, 3), b(6, 4)；(2) a(0, 1), b(1, 2)解 (1) 因为 ab(2)6 340，所以 a b(2) 因为 ab01(1) （2)2，所以 a 与 b 不垂直运用知识 强化练习 1 已知 a(5, 4)，b(2,3)，求 ab2 已知 a(1, )，b(0, )，求 33 已知 a(2, 3)，b(3,4)，c(1,3), 求 a(bc)4. 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a(2, 3)，b(3, 2)； (2) a(2,0)，b(0, 3)； (3) a(2,1)，b(3,4) 5. 求下列向量的模：a(2, 4)，b(3, 2)； (2) a(2,1)，b(4, 3)；归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知 a(5, 4),b(2,3),求 ab2.已知 a(2, 3),b(3, 4),c(1,3),求 a(bc) *继续探索 活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题 7.3 A 组（必做） ；7.3 B 组（选做）
