1、高中数学教案 第五章 平面向量数量积的坐标表示（第 11 课时） 王新敞新疆奎屯市一中 第 1 页（共 6 页）课 题：平面向量数量积的坐标表示教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 奎 屯王 新 敞新 疆能用所学知识解决有关综合问题 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与 ，作 ， ，则abOAaBbA B （ ）叫 与 的夹角.2平面向量数量
2、积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角a是 ，则数量| | |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = abb| | |cos，ab（ ）.并规定 与任何向量的数量积为 0 奎 屯王 新 敞新 疆 03向量的数量积的几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积 奎 屯王 新 敞新 疆abbab4两个向量的数量积的性质：设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量 奎 屯王 新 敞新 疆e1 = =| |cos；2 = 0eaab3当 与 同向时， = | | |；当 与 反向时， = | | | 奎 屯王 新 敞新 疆bab特别的 = | |2 或|高中数
3、学教案 第五章 平面向量数量积的坐标表示（第 11 课时） 王新敞新疆奎屯市一中 第 2 页（共 6 页）4cos = ；5 | | | | |baab5 平面向量数量积的运算律交换律： = 数乘结合律：( ) = ( ) = ( )abab分配律：( + ) = + cc二、讲解新课：平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量 ， ，试用 和 的坐标表示),(1yxa),(2yxbab 奎 屯王 新 敞新 疆ba设 是 轴上的单位向量， 是 轴上的单位向量，那么ixjy，jy1ib2所以 )(1jyxjia 21122121 jyjixjiyix又 ， ，ij 0ii所以 b21yx这就是说
4、：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 奎 屯王 新 敞新 疆即 a212.平面内两点间的距离公式（1）设 ，则 或 奎 屯王 新 敞新 疆),(yx22|yxa2|yxa（2）如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、 ),(1x，那么 (平面内两点间的距离公式),(yx 2121()(| yx3.向量垂直的判定设 ， ，则),(1a),(2bba01yx高中数学教案 第五章 平面向量数量积的坐标表示（第 11 课时） 王新敞新疆奎屯市一中 第 3 页（共 6 页）4.两向量夹角的余弦（ ） 0cos = 221yx|ba三、讲解范例：例 1 设 = (5, 7)， = (6
5、, 4)，求 ab解： = 5(6) + (7)(4) = 30 + 28 = 2ba例 2 已知 (1, 2)， (2, 3)， (2, 5)，求证：ABC 是直角三角形 奎 屯王 新 敞新 疆c证明： =(21, 32) = (1, 1), = (21, 52) = (3, 3)ABAC =1(3) + 13 = 0 CBABC 是直角三角形例 3 已知 = (3, 1)， = (1, 2)，求满足 = 9 与 = 4 的向量 奎 屯王 新 敞新 疆abxabx解：设 = (t, s)，x由 = (2, 3) 429349st32st例 4 已知 （， ） ， （ ， ） ，则 与 的夹角
6、是abab多少?分析：为求 与 夹角，需先求 及 ，再结合夹角 的范bab围确定其值.解：由 （， ） ， （ ， ）a33有 （ ）， ， b ab2记 与 的夹角为 ，则 cos a 2b又 ， 4高中数学教案 第五章 平面向量数量积的坐标表示（第 11 课时） 王新敞新疆奎屯市一中 第 4 页（共 6 页）评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例 5 如图，以原点和 A (5, 2)为顶点作等腰直角ABC，使 = 90，求点b和向量 的坐标 奎 屯王 新 敞新 疆bB解：设 点坐标(x, y)，则 = (x, y)， = (x5, y2)OB x(x5) + y(y2) =
7、 0 即：x 2 + y2 5x 2y = 0OA又| | = | | x 2 + y2 = (x5)2 + (y2)2 即：10x + 4y = 29B由 273294100512 yyyx或 点坐标 或 ； = 或 b)3,7()7,(AB),3()3,(例 6 在ABC 中， =(2, 3)， =(1, k)，且ABC 的一个内角为直角，C求 k 值 奎 屯王 新 敞新 疆解：当 = 90时， = 0，21 +3k = 0 k = 23 a当 = 90时， = 0， = = (12, k3) = (1, k3)bABAB2(1) +3(k3) = 0 k = 3当 C= 90时， = 0
8、， 1 + k(k3) = 0 k = 213四、课堂练习：1.若 =(-4,3), =(5,6),则 3| | （ ）abab A.23 B.57 C.63 D.832.已知 (1,2), (2,3), (-2,5)，则 为（ ）cc A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形3.已知 =(4,3),向量 是垂直 的单位向量，则 等于（ ）abab高中数学教案 第五章 平面向量数量积的坐标表示（第 11 课时） 王新敞新疆奎屯市一中 第 5 页（共 6 页） A. 或 B. 或 )54,3(),()54,3(),( C. 或 D. 或 54. =(2,3), =(-2,
9、4),则( + )( - )= .abab5.已知 (3，2)， (-1，-1)，若点 P(x,- )在线段 的中垂线上，则 x= .21ab6.已知 (1，0)， (3，1)， (2，0)，且 = , = ,则 与 的夹角cBCA为 .参考答案：1.D 2.A 3.D 4. 7 5. 6.4547五、小结 两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1.已知 =(2,3), =(-4,7),则 在 方向上的投影为（ ）abab A. B. C. D. 1351356652.已知 =( ，)， =(-3,5)且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是abab（ ） A. B. C
10、. D. 3103103103103.给定两个向量 =(3,4), =(2,-1)且( +x )( - ),则 x 等于（ ）abab A.23 B. C. D. 22424.已知| |= , =(1,2)且 ,则 的坐标为 .105.已知 =(1,2), (1,1), = -k ,若 ，则 .abcac6.已知 =(3,0), =(k,5)且 与 的夹角为 ，则 k 的值为 .b437.已知 =(3,-1), =(1,2),求满足条件 x =9 与 x =-4 的向量bx.高中数学教案 第五章 平面向量数量积的坐标表示（第 11 课时） 王新敞新疆奎屯市一中 第 6 页（共 6 页）8.已知
11、点 A (1，2)和 B (4，-1)，问能否在 y 轴上找到一点 C，使ABC90，若不能，说明理由；若能，求 C 点坐标.9.四边形 ABCD 中= (6,1), =(x,y)， =(-2,-3),D(1)若 ，求 x 与 y 间的关系式；BC(2)满足(1)问的同时又有 ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.AB参考答案：1.C 2.A 3.C4. （ ， ）或（- ， ）22 5.( ) 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)51,29.(1)x+2y=0 (2) S 四边形 ABCD=16136yx或七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：已知 （3，4） ， （4，3） ，求 x,y 的值使(x +y ) ，abab且x +y =1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由 （3，4） ， （4，3） ，有 x +y =(3x+4y,4x+3y)abab又（ x +y ） (x +y ) 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0a即 25x+24y 又 x +y =1 x +y （ x+4y） （ x+3y） abb整理得：25 x 48 xy+25y 即 x(25x+24y)+24xy+25y 由有 24xy+25y 将变形代入可得： y= 75再代回得： 75324yx和
