1、1平面几何基础知识教程（圆）一、 几个重要定义外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形 ABCD 内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图）（折四边形）二、 圆内重要定理：1 四点共圆定义：若四边形 ABCD 的四点同时共于一圆上，则称 A，B，C，D 四点共圆基本性质：若凸四边形 ABCD 是圆内接四边形，则其对角互补证明：略判定方法：1定义法：若存在一点 O 使 OA=OB=OC=OD，则 A，B ，C
2、，D 四点共圆2定理 1：若凸四边形 ABCD 的对角互补，则此凸四边形 ABCD 有一外接圆证明：略特别地，当凸四边形 ABCD 中有一双对角都是 90 度时，此四边形有一外接圆3视角定理：若折四边形 ABCD 中， ，则 A，B，C，D 四点共圆ADBC2证明：如上图，连 CD，AB，设 AC 与 BD 交于点 P因为 ，所以ADBC180CP所 以 有再 注 意 到因 此 因 此由 此 （ ABD的 内 角 和 ）因 此 A， B， C， D四 点 共 圆ADBPCPAC特别地，当 =90 时，四边形 ABCD 有一外接圆ABC2圆幂定理：圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、
3、切线长定理的统一形式。相交弦定理：P 是圆内任一点，过 P 作圆的两弦 AB，CD，则 PABCPD证明：3连 ， ， 则 （ 等 弧 对 等 圆 周 角 ）而 （ 对 顶 角 相 等 ）因 此 APCDB即 ， 因 此 CAPD（切）割线定理：P 是圆外任意一点，过 P 任作圆的两割（切）线 PAB，PCD，则 PABCPD证明方法与相交弦定理完全一样，可仿前。特别地，当 C，D 两点重合成为一点 C时，割线 PCD 变成为切线 PC而由割线定理， ，此时割线定理成为切割线定理2PABCPD而当 B，A 两点亦重合为一点 A时，由切割线定理 2 2 PCAPBA因此有 PC=PA，此时切割线
4、定理成为切线长定理现考虑割线与切线同时存在的情况，即切割线定理的情况：4如图，PCD 是圆的割线， PE 是圆的切线设圆心为 O，连 PO，OE，则由切割线定理有：而注意到黄色 是 RT，由勾股定理有：2PCDPE，结合切割线定理，我们得到222EO，这个结果表明，如果圆心 O 与 P 是确定的，那么222PCDPEOEPC 与 PD 之积也是唯一确定的。以上是 P 在圆外的讨论现在再重新考虑 P 在圆内的情形，如下图， PCD 是圆内的现， PAB 是以 P 为中点的弦则由相交弦定理有 2PAB PD （ 因 为 P是 弦 AB中 点 ） =C连 OP，OA，由垂径定理， OPA 是 RT
5、由勾股定理有，结合相交弦定理，便得到222PAOP52 22PAB PDOAP （ 因 为 P是 弦 AB中 点 ） =C这个结果同样表明，当 O 与 P 是固定的时候 PC 与 PD 之积是定值以上是 P 在圆内的讨论当 P 在圆上时，过 P 任作一弦交圆于 A（即弦 AP） ，此时也是定值220OA综上，我们可以把相交弦定理，切割线定理，割线定理，切线长定理统一起来，得到圆幂定理。圆幂定理：P 是圆 O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外） ，过点 P任作一直线交圆 O 于 A，B 两点（A，B 两点可以重合，也可以之一和 P 重合） ，圆 O 半径为 r则我们有： 2|PABPO
6、r由上面我们可以看到，当 P 点在圆内的时候， ，此时圆幂定理为220POr相交弦定理当 P 在圆上的时候， 220POr当 P 在圆外的时候， 此时圆幂定理为切割线定理，割线定理，或22r切线长定理以下有很重要的概念和定理：根轴先来定义幂的概念：从一点 A 作一圆周上的任一割线，从 A 起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于这圆周的幂对于已知两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。根轴的定义：两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴性质 1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在直线6由于两圆交点对于两圆的幂都是 0，所以它们位于根轴上，而根轴是直线，所以根轴是两交点的连线性
7、质 2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线（即性质 1 的极限情况）性质 3 若三圆两两不同心，则其两两的根轴交于一点，或互相平行所交的这点称为根心证明：若三圆心共线，则两两圆的根轴均垂直于连心线，因此此时两两的根轴互相平行若三圆心不共线，则必成一三角形，因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。如图，设 CD 与 EF 交于点 O，连 AO 交圆分 O2 圆 O3 于 B,B，则其中前两式是点 O 对圆 O2 的幂，后二式 OABEOFCDAB是点 O 对圆 O3 的幂，中间是圆 O 对圆 O1 的幂进行转化由此 B与 B重合，事实上它们就是点 B（圆 O2 与圆 O3 的非 A 的交点）
8、，由此两两的根轴共点圆幂定理是对于圆适用的定理，今使用圆幂定理对圆内接四边形判定方法的补充：7圆内接四边形判定方法4相交弦定理逆定理：如果四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 P，且满足，则四边形 ABCD 有一外接圆PACPBD5切割线定理逆定理：如果凸四边形 ABCD 一双对边 AB 与 DC 交于点 P且满足 ，则四边形 ABCD 有一外接圆PACPBD这样我们就补充了两种判定方法例（射影定理）：RTABC 中，BC 是斜边，AD 是斜边上的高则 22(1)(3)ADBC证明：（1） 2180ADBACBCADAD如 图 ， 延 长 至 ， 使 =D， 连 B,AC则 ,因 此
9、因 此 ， ， ， 四 点 共 圆由 相 交 弦 定 理 有 ：8（2） （3）2()同 理 ， 现 证 (3)作 RTADB的 外 接 圆 ， 则 RTADB的 外 接 圆 圆 心 为 E其 中 E是 的 中 点则 C， 因 此 是 圆 的 切 线由 切 割 线 定 理 有ADB例 2：垂心ABC 中，三边所在的高的所在的直线交于一点证明： 901818018090设 与 CF交 于 H， 连 A延 长 交 BC于 D即 证 ADB因 为 ， 因 此 ， ， E， 四 点 共 圆同 理 ， ， ， 四 点 共 圆所 以因 此 ， ， ， 四 点 共 圆由 此 ECFHAHBAEFHCBDEC
10、3Miquel 定理之前 1，2 的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。那么反过来，圆共点的情况9又如何？从最简单的开始了解，在本文之后讨论圆共点问题中，甚至其他类型的问题，Miquel 定理都给予莫大的便利，我们将要不止一次地用到它。先看一个事实：如图，ABC 中，AD，BE ，CF 分别是三边上的高，则分别以 AEF，BDF，CDE作圆这三个圆共于一点，而且可以通过观察，这个点就是垂心刚好是 AD，BE ，CF的交点在介绍 Miquel 定理之后，我们将会给这题与垂心一个阐释Miquel 定理： ABC 中，X ，Y，Z 分别是直线 AB，BC，AC 上的点，则,:共 于 一 点AXZBYC
11、ZO这样的点 O 称为 X，Y，Z 对于 ABC 的 Miquel 点10证明： 180180:如 图 ， 设 与 交 于 ， 连 OX， ，即 问 题 转 化 为 证 ， ， ， 四 点 共 圆因 为 ， ， ， Z与 B， ， Y， 为 两 组 四 点 圆则即因 此 ， ， ， 四 点 共 圆AOYZCXAOAXBYCCYZ事实上这个证明隐含着对一般证圆共点的方法在发掘 Miquel 定理的证明方法时可以得到一种更一般的证题方法注意这个证明只在 X，Y，Z 在 AB，BC ，AC 边上时可以当在直线 AB，BC ，AC 上时需要改一下，这里略去了。现在回到之前关于垂心的问题。为什么 D，E
12、 ，F 关于 ABC 的 Miquel 点就是ABC 的垂心 证明： :如 图 ， ， ， 是 的 三 条 高 ， 垂 心 为 H， 则， ， ， ， ， ， ，共 三 组 四 点 共 圆由 此 可 见 ， ， 共 于 一 点而 H就 是 垂 心ADBECFABFHBCEAFBDCEH有了 Miquel 定理，我们可以对垂心有一个新的看法1190:是 与 的 根 轴对 ， 同 理而因 此 BDF与 CE的 连 心 线 平 行 于 BC（ 中 位 线 定 理 ）因 此 H垂 直 于E， 同 理因 此 垂 心 可 以 被 认 为 是 这 三 圆 的 根 轴 的 交 点 （ 根 轴 性 质 3）HB
13、FDEA用同样的方法可以对内心，外心以同样的解释：由此可见，共点圆与三角形的特殊点有很大的关系，上述 3 种只是最简单的最容易发现的提起外心就会联想到外接圆，这里不得不提一个常用定理：正弦定理正弦定理：ABC 中，外接圆半径 R，则2sinsisinBCABRC证明：12作直径 AOD，连 BD其余同理902sinsin则 ，因 此 在 中ABDABCRtDR想到三角函数里面的函数名，那么自然会想到余弦定理余弦定理： 222222coss中 AB=,C=b,B=aABCabcAacab证明： 22222222 2coscos(cos)(cos)coscs作 边 上 的 高 AD因 此即 c即其
14、 余 同 理BCDbCaABADabCbCabc接着便就是著名的费马点，它也与共点圆有关系费马点，即 ABC 内一点，使其到三顶点距离之和最小的点当 ABC 任一内角都=120 时费马13点与此角顶点重合设 ABC 中任一内角均120，则费马点 F 可以通过如下方法作出来：分别以 AB，AC，BC 向外作正 ，连接对着的顶点，则得事实上，点 F 是这 3 个正 的外接圆所共的点而 FA+FB+FC 其实就是顶点到对着的正 顶点的连线的长而且之后将会有一种方法计算 FA+FB+FC 的长度而这将会在之后进行讨论4Simson 定理14Simson 定理是常用而且著名的定理，多用于证明点共线，其逆
15、定理也成立Simson 定理：P 是 ABC 外接圆上一点，过点 P 作 PD 垂直 BC，PE 垂直于 AB，同理 PF则 D，E ，F 是共线的三点直线 DEF 称为点 P 关于 ABC 的 Simson 线引理（完全四边形的 Miquel 定理）：四条直线两两交于 A，B，C，D，E ，F 六点则 共点ABFCEDFAE:， ， ， :先 从 对 ， ， 三 点 运 用 密 克 定 理 ， 则 ， ， 共 点对 ， ， 三 点 运 用 密 克 定 理 ， 则 ， ， 共 点因 此 ， ， ， 共 点 BCEDFAEDAEBFAFCEDFAE其中所共的点叫做完全四边形的 Miquel 点证
16、明：这里运用 Miquel 定理作为证明MiquelMiquel:设 垂 直 ， 垂 直 ， 延 长 交 于则 问 题 等 价 于 证 明 垂 直连四 边 形 是 完 全 四 边 形所 以 由 完 全 四 边 形 的 定 理 （ 引 理 ）， ， ， 共 点注 意 到所 以 ， ， D， E四 点 共 圆所 以 与 交 于 点 和 B因 此 完 全 四 边 形 FACDE的 点 非 P则 B而 A， E， 是 同 一 直 线 上 三 点因 此 ， ， ， B不 可 能 共 圆因 此 P是 完 全 四PDBCPEABDECAFFFACBEAFCDPMiquel边 形 FABE的 点由 此 ， E
17、， ， 四 点 共 圆则 FA=90今逆定理证略从这个证明我们看到 Miquel 定理的威力不仅在于圆共点，而且对于共点圆也同15样适用在有了 Simson 定理之后，我们可以运用 Simson 定理来给予完全四边形的 Miquel定理一个新的证明（即前面的引理）证明： :设 与 非 的 一 个 交 点 为 M， 过 作 P垂 直 BE， MQ垂 直 EC，其 余 同 理 。 因 为 在 上 ， 由 定 理 ， 是 共 线 的 三 点同 理 对 CDF运 用 Simson定 理 ， 有 RS也 是 共 线 的 三 点因 此 P， Q， R， 四 点 共 线而 注 意 到 ， ， 是 点 M对
18、三 边 的 垂 直 且 共 线欲 Simson定 理 逆 定 理 ， 得 A， ， D， E四 点 共 圆同 理 A， B， F， 四 点 共 圆因 此 ， ， ， 共 点 于BECBEimsonPRCEDEBFM由这个证明，我们可以知道完全四边形的 Miquel 定理和 Simson 定理是等价的能够运用 Simson 定理证明的必也可用完全四边形的密克定理证明，反之亦然这样，Simson 定理便与密克定理产生了莫大的关联例.如图，P 为 ABC 外接圆上一点，作 交圆周于 A，作PABC交圆周于 B，C同理。求证：BAC直 线 :C16证明：设 PA交 BC 于 D，PB交 AC 于 E，
19、F 同理，则由 Simson 定理知，DEF 三点共线由图形看来，题断三条互相平行的线均与 Simson 线平行，因此可以试证连 PB而注意到 P，B，D，F 四点共圆，因此 EDBFPBA因此 AA与 Simson 线平行。其余同理事实上，Simson 定理可以作推广，成为 Carnot 定理Carnot 定理：通过 ABC 外接圆上的一点 P，引与三边 BC，CA，AB 分别成同向等角（即 ）的直线 PD，PE，PF 与三边或其所在直线的交点PDBECPFB分别为 D，E，F 则 D，E，F 是共线的三点可以仿照前面的证明(这里的证明也可以运用四点共圆的判定定理与性质，再证 )180DEF
20、证明留给读者，作为习题5Ptolemy 定理本文主要介绍一些平面几何圆中较为重要和常用的定理，而 Ptolemy 定理是一个17十分重要的定理，及其也有重要的推广Ptolemy 定理：若四边形 ABCD 是圆内接四边形，则ABCDABCABD证明： , ,sinsinsin22: :如 图 ， 设 ABCD外 接 圆 半 径 为 R， 连 ， 过 点 作 各 边 的 垂 线分 交 于 于 于 ， 则 由 Simson定 理 ， ABC是 共 线 的 三 点因 此由 ， ,四 点 共 圆 ， 且 因 此 是 的 直 径由 正 弦 定 理 有 ， 所 以同 理 DABCAACDABDCBDCBAA
21、BARR ,222因 此即 CDBAADCBRRRBAC至此，我们重新把求费马点至三顶点距离的长度和的问题提出，运用 Ptolemy 定理解决：18如图，设 AB=c,AC=b,BC=a 由 ，有 A，F，B,C 四点共圆12060AFCABC， 222 (60)cossini32,sin:对 运 用 定 理 有因 为 是 等 边 ， 因 此所 以 FA+BC=同 理今 考 察 ， 由 余 弦 定 理而 中AFCBPtolemyAFBACBabaCCSABABC2222222222222cos 3 ()33()()(),2代 入 上 式 有 因 此 其 中 ababcabcSABCB abab
22、cSABCabcFABFSABCabcppcp(这里我们用到著名的求积公式: 19,证略).()()2其 中 abcSABCpabpc至此，本文平面几何圆的基础知识已经全部介绍完毕，这里将以著名的 Chapple定理结束(只做了解)这是与圆幂定理的应用有关的定理之一Chapple 定理：设 R 是 ABC 的外接圆半径，r 是内切圆半径,d 是这两圆的圆心距，则 22dRr证明： , 21()2()2连 并 延 长 交 外 接 圆 于 ， 并 作 直 径 ， 连 设 内 切 圆 与 的 切 点 为 ， 连 ， 则 在 与 中 ， 因 此 有 即 中 ，因 此 ， 由 此 ， 再 由 圆 幂 定
23、 理AIDAIBPDIQRrPQBIBBIPIAIBAIIRrAP2 22即 OdRrdRr20事实上 Chapple 定理对旁心也有相应的公式，不过是等号右边的符号-变+但对本文不提及旁心，因此略去21习题：第一部分(四点共圆的应用)1. 如图，在 ABC 中，AB=AC.任意延长 CA 到 P，再延长 AB 到 Q 使 AP=BQ.求证：ABC 的外心 O 与 A,P,Q 四点共圆.(1994 年全国初中数学联合竞赛二试第1 题)2.如图，在 中， 是底边 上一点， 是线段 上一点，且ABCDA,BCEAD.求证： .(1992 年全国初中数学联合竞赛二试ED22第 2 题)3. 如图，设
24、 AB,CD 为O 的两直径，过 B 作 PB 垂直于 AB,并与 CD 延长线相交于点 P,过 P 作直线与O 分别交于 E,F 两点，连结 AE,AF 分别与 CD 交于 G,H求证:OG=OH.(2002 年我爱数学初中生夏令营一试第 2 题).22第二部分(圆幂定理的应用)4.如图，等边三角形 ABC 中，边 AB 与 O 相切于点 H，边 BC,CA 与O 交于点D,E,F,G。已知 AG=2,GF=6,FC=1.则 DE=_.(第 33 届美国中学生数学邀请赛试题改编)5. 如图， O 和O都经过点 A 和 B，PQ 切O 于 P，交O于 Q，M，交 AB 的延长线于 N.求证 :
25、 .2PNMQ6.如图, 已知点 P 是 O 外一点,PS,PT 是 O 的两条切线，过点 P 作 O 的割线 PAB,交 O 于 A.B 两点，并交 ST 于点 C,求证: .(2001 年 TI 杯全国11()2PCAB23初中数学竞赛 B 卷第 14 题)第三部分(Ptolemy 定理的应用)7.已知 a,b,x,y 是正实数，且 ，求证: .221,abxy1axby8.从锐角ABC 的外心 O 向它的边 BC,CA,AB 作垂线,垂足分别为 D,E,F.设 ABC的外接圆和内切圆半径分别为 R,r.求证:OD+OE+OF=R+r.9.设 ABC 与 ABC的三边分别为 a,b,c 与
26、 a,b,c,且B= B, A+A= .180试证:aa=bb+cc.第四部分(Simon 定理的应用)10证明 Carnot 定理11.如图, ABC 的边 BC 上的高 AD 的延长线交外接圆于 P，作 PEAB 于 E，延长 ED 交 AC 的延长线于 F.求证: .BCEFBECF2412.设 P 为 ABC 外接圆圆周上一点,P 在边 BC,CA,AB 上的射影分别为 L,M,N令 PL=l,PM=m,PN=n,BC=a,CA=b,AB=c,求证: .（提示：mnalblmc应用张角定理:设 P 为ABC 的边 BC 上一点，BAP= ，CAP= ,则，证略）sin()siinACA
27、B习题解答：1证明： 180180180QPOAQOBAAPBQOABQOBAOABCPA如 图 ， 连 ， ， ， ，要 证 ， ， ， 四 点 共 圆 ， 考 虑 到 视 角 定 理 ， 可 证而 考 虑 到 条 件 ， 因 此 可 证 而 ， ，因 此 ， 故得 证2.证明:25 :121(80BED)(80BAC)22,.3,67,.,.4556,AGGFBFCAHDAGHGECEDHBFC一,=一一一一一2.D326证明： 111 111111 111111 1190FECFDECABDEOPBOOPOPCFCDFBFAEADCEFFFEGHO:作 中 点 ， 连 ， 过 作 交 于
28、 ， 于则 ， 因 此 ， ， ， 四 点 共 圆因 此 ， 而 ， 因 此因 此 ， 由 视 角 定 理 有， ， ， 四 点 共 圆有由 此考 虑 ， 是 中 点 ， 因 此 D是 中 点这 样 由有 111AOGOHDEF， 即4.解 :27:2BD.2(6)14.95,2()257711,9()2xCEyOAGFAHBHODExyCExy一,一一;一,一5证明： 2ONBANBAMNQNMQ:对 和 运 用 圆 幂 定 理 有P， 即 证再 对 和 运 用 圆 幂 定 理 即 得6.证明:28:2POSTH,MPB.MAB.11()(2)290,()(1)2,ABACMOHPPSSAP
29、BCABP一一 一一一,一7证明：2901PtolemyBADCABCDPtolemyaxbyAC由 题 断 的 形 式 可 以 联 想 到 定 理 ， 因 此 构 造 如 图 的 四 边 形使 =a,=,=1， 则 符 合 题 设因 此 ， ， ， 四 点 共 圆由 定 理 有最 后 一 步 是 由 于 直 径 是 圆 内 最 大 的 弦8证明：29,()2()22()IABICOABCODxEyOFzSBCSISIabcrSABCSOSOACcxbyazbcrFAB设 内 心 为 I， 连 ， ， ， ， ， ， 设外 接 圆 半 径 为 R,内 切 圆 半 径 为 r则 I+另 一 方 面 ，B+有注 意 到 垂 直 于 ， D垂 直 于 ， 因 此 ， D， B， F四 点 共 圆由 Ptolemy定 理所 以 有 22()()()()()()()()acbxRzcbaybRayzcxybxzabcRarxyzRr即同 理上 三 式 相 加再 加 此 式即9.证明:30:,.AC,.,ABCCDABDBBDcabCBADbCADaBPtolemy一,.+=180一一一一2Bacb一10证明： 180180PDBECPFBFADCEEPBDAEPBCDEF因 为因 此 ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， 共 三 组 四 点 共 圆因 此因 此 是 共 线 的 三 点
