1、第 1 页 （共 12 页）初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数 A 除以整数 B(B0)所得的商 A/B 是整数,那么叫做 A 被 B 整除. 0 能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除 数 能被整除的数的特征2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除8 或 125 末三位数能被 8 或 125 整除3 或 9 各位上的数字和被 3 或 9 整除(如 771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被 11 整除(如 143,1859,1287,908270 等)7,11,13 从右向左每三位为一段,
2、奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被 7 或 11 或 13 整除.(如 1001，22743，17567，21281 等)能被 7 整除的数的特征：抹去个位数 减去原个位数的 2 倍 其差能被 7 整除。如 1001 100298（能被 7 整除）又如 7007 70014686， 681256（能被 7 整除）能被 11 整除的数的特征： 抹去个位数 减去原个位数 其差能被 11 整除如 1001 100199（能 11 整除）又如 10285 102851023 102399（能 11 整除）第二讲 倍数 约数一、内容提要1、两个整数 A 和 B（B0） ，如果 B 能整除 A（
3、记作 B A） ，那么 A 叫做 B的倍数，B 叫做 A 的约数。例如 315，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数。2、因为 0 除以非 0 的任何数都得 0，所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非 0 整数的倍数，非 0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。3、整数 A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有5，10，。4、整数 A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1 和A。例如 6 的约数是1，2，3， 6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，
4、几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6、公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数（例如 15 与 28 互质） 。第 2 页 （共 12 页）7、在有余数的除法中，被除数除数商数余数。若用字母表示可记作：ABQ R ，当 A，B ，Q，R 都是整数且 B0 时，AR 能被 B 整除。例如 23372，则 232 能被 3 整除。第三讲 质数 合数一、内容提要1、正整数的一种分类：质 数合 数质数的定义：如果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数） 。合数的定义：一个正整数除了能被 1 和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2
5、、 根椐质数定义可知 质数只有 1 和本身两个正约数。 质数中只有一个偶数 2。如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是 2； 如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是 2。 3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。第四讲 零的特性一、内容提要（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数，是整数，是偶数。1、零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存 0 元。2、零是判定正、负数的界限。若 a 0 则 a 是正数，反过来也成立，若 a 是正数，则 a0记作 a
6、0 a 是正数 读作 a0 等价于 a 是正数bb 时,a-b0 ；当 a0，b0，那么 a+b0，不可逆绝对值性质 如果 a0,那么|a|=a，也不可逆(若|a|=a 则 a0)7、有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。例 1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的 n 位数呢？解：不同的五位数可从最大五位数 99999 减去最小五位数 10000 前的所有正整数，即 99999-9999=90000.推广到 n 位正整数，则要观察其规律一位正整数,从 1 到 9 共 9 个， 记作 91第 6 页 （共 12 页）二位正整数从 10 到 99 共 90 个， 记作 910三位正整
7、数从 100 到 999 共 900 个， 记作 9102四位正整数从 1000 到 9999 共 9000 个， 记作 9103 (指数 3=4-1) n 位正整数共 910 n-1 个例 2在线段 AB 上加了 3 个点 C、 D、E 后，图中共有几条线段？ 加 n 点呢？解：以 A 为一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共 4 条以 C 为一端的线段有：(除 CA 外) CD、CE、CB 共 3 条以 D 为一端的线段有：(除 DC、DA 外) DE、DB 共 2 条以 E 为一端的线段有：(除 ED、EC 、EA 外) EB 共 1 条共有线段 1+2+3+4=10 (条) 注意：
8、3 个点时，是从 1 加到 4， 因此如果是 n 个点，则共有线段 1+2+3+n+1= = 条()n(2)n第八讲 抽屉原则一、内容提要1、4 个苹果放进 3 个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2 个（即等于或多于 2 个） ；如果 7 个苹果放进 3 个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于 3 个（即等于或多于 3 个） ，这就是抽屉原则的例子。2、如果用 表示不小于 的最小整数，例如 3， 。那么抽屉原mnn762则可定义为：m 个元素分成 n 个集合（m、n 为正整数 mn）,则至少有一个集合里元素不少于 个。 3、根据 的定义，已知 m、n 可求 ；n己知
9、，则可求 的范围，例如已知 3，那么 2 3；已知nmn2，则 1 2，即 3x6，x 有最小整数值 4。3xEDC BA第 7 页 （共 12 页）第九讲 一元一次方程解的讨论一、内容提要1、方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程 2x60，x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2 的解分别是 x=3, x=0或 x=1, x=6, 所有的数，无解。2、关于 x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程 ax=b 后，讨论它的解：当 a0 时，有唯一的解 x= ； ab当 a=0 且 b0 时，无解；当 a=0 且
10、 b0 时，有无数多解。 （不论 x 取什么值，0x0 都成立）3、求方程 ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数解当 ab 时，方程有整数解；当 ab，且 a、b 同号时，方程有正整数解；当 a、b 同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程 ax=b第十讲 二元一次方程的整数解一、内容提要1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6
11、都有整数解。反过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解，（9，3）3，而 3 不能整除 10；（4，2）2，而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数， （a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。2、二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解） 。k 叫做参变数。方法一：整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解：x= = (1) , 51yyy2510设 是整数） ，则 y=1-5k (2) , k(把（2）代入（1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解
12、是 （k 是整数）yx512第 8 页 （共 12 页）方法二：公式法：设 ax+by=c 有整数解 则通解是 （x 0,y0 可用观察法）0yxakyb03、 求二元一次方程的正整数解： 求出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 用观察法直接写出。第十一讲 二元一次方程组解的讨论一、内容提要1 二元一次方程组 的解的情况有以下三种：2211cybxa 当 时，方程组有无数多解。 （两个方程等效）2121 当 时，方程组无解。 （两个方程是矛盾的）2121cba 当 （即 a1b2a 2b10）时，方程组有唯一的解：21（这个解可用加减消元法求得） 12111bacyx2 方程
13、的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数） ，再解含待定系数的不等式或加以讨论。 （见例 2、3）第十二讲 用交集解题一、内容提要1 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如 6的正约数集合记作6 的正约数1，2，3，6 ，它有 4 个元素1，2，3，6；除以 3 余 1 的正整数集合是个无限集，记作除以 3 余 1 的正整数1，4，7，10 ，它的个元素有无数多个。2 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如
14、 6 的正约数集合 A1 ，2，3，6 ，10 的正约数集合 B1，2，5，10 ，第 9 页 （共 12 页）6 与 10 的公约数集合 C1 ，2 ，集合 C 是集合 A 和集合 B 的交集。3 几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组 解的集合就是)2(16x不等式（1）的解集 x3 和不等式（2）的解集 x2 的交集，x3 . 如数轴所示： 4一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集
15、合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。 （如例 2）第十三讲 用枚举法解题一、内容提要有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： 按一定的顺序，有系统地进行； 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。第十四讲 经验归纳法一、内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1
16、 ， （ 1 ） 3 1 ， （ 1 ） 4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 10 ） ，三位数从 100 到 999 共 900 个（910 2） ，四位数有 91039000 个（910 3） ，320第 10 页 （共 12 页）归纳出 n 位数共有 910n-1 (个) 由 1+3=22, 1+3+5=3 2, 1+3+5+7=4 2推断出从 1 开始的 n 个连续奇数的和等于 n2 等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，
17、要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。 （到高中，大都是用数学归纳法证明）第十五讲 乘法公式一、内容提要1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开） ，还可以由右到左逆用（因式分解） ，还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(ab) 2=a22ab+b2
18、,平方差公式：（a+b）(ab)=a 2b 2立方和（差）公式：(ab)(a 2 ab+b2)=a3b33.公式的推广： 多项式平方公式：(a+b+c+d) 2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的 2 倍。 二项式定理：(ab) 3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4）（ab） 5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab 4b5）注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a 3a 2b+ab2b 3)=a4b 4
19、 (a+b)(a4a 3b+a2b2ab 3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a 4b+a3b2a 2b3+ab4b 5)=a6b 6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n1 a 2n2 b+a2n3 b2ab 2n2 b 2n1 )=a2nb 2n(a+b)(a2na 2n1 b+a2n2 b2ab 2n1 +b2n)=a2n+1+b2n+1第 11 页 （共 12 页）类似地：（ab）(a n1 +an2 b+an3 b2+ab n2 +bn1 )=anb n 4. 公式的变形及其逆运算由（a+b） 2=
20、a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)由公式的推广可知：当 n 为正整数时anb n 能被 ab 整除, a2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除,a2nb 2n 能被 a+b 及 ab 整除。第十六讲 整数的一种分类一、内容提要1 余数的定义：在等式 A mBr 中，如果 A、B 是整数，m 是正整数，r 为小于 m 的非负整数，那么我们称 r 是 A 除以 m 的余数。即：在整数集合中 被除数除数商余数 (0余数除数)例如：13，0，1，9 除以 5
21、 的余数分别是 3，0，4，1 （15（1）4。 95（2）1。 ）2 显然，整数除以正整数 m ,它的余数只有 m 种。例如 整数除以 2，余数只有 0 和 1 两种，除以 3 则余数有 0、1、2 三种。3 整数的一种分类：按整数除以正整数 m 的余数，分为 m 类，称为按模 m 分类。例如：m=2 时，分为偶数、奇数两类，记作2k,2k1 （k 为整数）m=3 时，分为三类，记作 3k,3k+1,3k+2.或3k,3k+1 ， 3k1其中3k1表示除以 3 余 2。m=5 时，分为五类， 5k. 5k+1,5k+2,5k+3 ,5k+4或5k,5k1,5k2 ， 其中 5k2 表示除以
22、5 余 3。4 余数的性质：整数按某个模 m 分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。举例如下：（3k 1+1）+(3k 2+1)=3(k1+k2)+2 （余数 112）（4k 1+1）(4k 2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数 133）（5k2） 225k 220k+4=5(5k24k)+4 （余数 224）以上等式可叙述为： 两个整数除以 3 都余 1，则它们的和除以 3 必余 2。 两个整数除以 4，分别余 1 和 3，则它们的积除以 4 必余 3。 如果整数除以 5，余数是 2 或 3，那么它的平方数除以 5，余数必是4 或 9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。第 12 页 （共 12 页）如：17 除以 5 余 2 17 6 除以 5 的余数是 4 （2 664）5 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模 m。
