1、1初中数学竞赛知识辅导（含例题及分析）1.数形结合话数轴数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：（1）利用数轴形象地表示有理数；（2）利用数轴直观地解释相反数；（3）利用数轴解决与绝对值有关的问题；（4）利用数轴比较有理数的大小问题例 1（1）已知 、 为有理数，且 ， ， ，将四个数 、 、 、 按由小到大的顺序排列是_（2）已知数轴
2、上有 、 两点， 、 之间的距离为 ，点 与原点 的距离为 ，那么点 对应的数是_试一试对于（1） ，赋值或借助数轴比较大小；对于（2）确定 、 两点在数轴上的位置，充分考虑 、 两点的多种位置关系例 2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 个单位，点 、 、 、 对应的数分别是整数 、 、 、 ，且 ，那么数轴的原点应是（）A 点 B 点 C 点 D 点试一试从寻找 与 的另一关系式入手例 3 已知两数 、 ，如果 比 大，试判断 与 的大小试一试因 、 符号未定，故 比 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较 与 的大小例 4 电子跳蚤落在数轴上的某点 ，第一步从 向左跳 个单位到 ，
3、第一步由 向右跳 个单位到 ，第三步由 向左跳 个单位到 ，第四步由 向右跳 个单位到，按以上规律跳了 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 所表示的数恰是，试求电子跳蚤的初始位置 点所表示的数试一试设 点表示的数为 ，把 、 、 点所表示的数用 的式子表示例 5 已知数轴上的点 和点 之间的距离为 个单位长度，点 在原点的左边，距离原点 个单位长度，点 在原点的右边（1）求 、 两点所对应的数（2）数轴上点 以每秒 个单位长度出发向左运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，在点 处追上了点 ，求 点对应的数（3）已知在数轴上点 从点 出发向右运动，速度为每秒 个单位长度，同时点 从点出发向右
4、运动，速度为每秒 个单位长度，设线段 的中点为 （ 为原点)，在运动的过程中线段 的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由2分析与解对于（3） ，设 点运动时间为 秒，把 用 的式子表示（1） 、 两点所对应的数分别为 ， ；（2） 点对应的数为 ；（3） ， （为什么？） ，则 ，即的值不变生活启示例 6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题如图，在数轴上截取从原点到 的对应点的线段 ，对折后（点 与点 重合） ，固定左端向右均匀地拉成 个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段 上的 ， 均变成 ； 变成 ；等等） 那么在线段 上（除点 、点
5、外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与 重合的点所对应的数字之和分析捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点解：原图对折后拉长后对折后3拉长后故在第二次操作后，恰好被拉到与 重合的点所对应的数字之和是 知识技能广场1数轴上有 、 两点，若点 对应的数是 ，且 、 两点的距离为 ，则点 对应的数是_2电影哈利波特中，小哈利波特穿墙进入“ 站台”的镜头（如示意图中的站台） ，构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若 、 站台分别位于 ， 处，则 站台用类似电影中的方法可称为“_站台”
6、3已知点 、 、 在数轴上，点 表示的数为 ， ， ，那么点 表示的数是_4如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为 个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字 、 、 ）上：先让原点与圆周上数字 所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上 、 、 、 、所对应的点分别与圆周上 、 、 、 所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系（1）圆周上的数字 与数轴上的数 对应，则 _；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周 圈（ 为正整数）后，并落在圆周上数字 所对应的位置，这个整数是_（用含 的代数式表示） 5有理数 、 在数轴上的位置如
7、图所示： ，则下列各式正确的是（）A B C D6文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西 米，玩具店位于书店东 米处，小明以书店沿街向东走了 米，接着又向东走了 米，此时小明的位置在（）A文具店 B玩具店 C文具店西边 米 D玩具店东 米7将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是 ） ，刻度尺上的“ ”、 “”分别对应数轴上的 和 ，则（）A B C D48在数轴上任取一条长度为 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（）A B C D9一个跳蚤在一条直线上，从 点开始，第 次向右跳 个单位，紧接着第 次向左跳个单位，第 次向右跳 个单位，第
8、次向左跳 个单位依此规律跳下去，当它跳第次落下时，求落点处离 点的距离（用单位表示） 10已知数轴上有 、 两点， 、 之间的距离为 ，点 与原点 的距离为 ，求所有满足条件的点 与原点 的距离的和思维方法天地11在数轴上，点 、 分别表示 和 ，则线段 的中点所表示的数是_12在数轴上，表示数 的点 与表示数 的点 关于原点对称，则 的值为_13数形相伴（1）如图所示 ，点 、 所代表的数分别为 ， ，在数轴上画出与 、 两点的距离和为 的点（并标上字母） （2）若数轴上点 、 所代表的数分别为 、 ，则 、 两点之间的距离可表示为，那么，当 时， _；当 时，数 所对应的点在数轴上的位置是
9、在_14点 、 分别是数 、 在数轴上对应的点，使线段 沿数轴向右移动为 ，且线段 的中点对应的数是 ，则点 对应的数是_，点 移动的距离是_15点 、 、 、 （ 为正整数）都在数轴上，点 在原点 的左边，且，点 在点 的右边，且 ；点 在点 的左边，且 ，点 在点的右边，且 ，依照上述规律，点 、 所表示的数分别为（）A ， B ， C ， D ，16如图： ，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 个单位，点 、 、 、 对应的数分别是整数 、 、 、 ，且 ，那么数轴的原点对应点是（）A 点 B 点 C 点 D 点17有理数 、 、 在数轴上的位置如图，式子 化简结果为（）A B C D5
10、18不相等的有理数 、 、 在数轴上对应点分别为 、 、 ，若，那么点 （）A在 、 点右边 B在 、 点左边 C在 、 点之间 D以上均有可能19在数轴上， 点与 点的距离是 点与 所对应点之间的距离的 倍，那么 点表示的数是多少？20已知数轴上有 、 、 三点，分别代表 、 、 ，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 、 两点同时相向而行，甲的速度为 个单位秒（1）问多少秒后甲到 、 、 的距离和为 个单位？（2）若乙的速度为 个单位秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 、 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？（3）在（1） 、 （2）的条件下，当甲到 、 、 的距离和为 个单位时，甲调头返回，问
11、甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由应用探究乐园21操作与探究对数轴上的点 进行如下操作：先把点 表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点 的对应点 点 ， 在数轴上，对线段 上的每个点进行上述操作后得到线段 ，其中，点 ，的对应点分别为 ， 如图所示，若点 表示的数是 ，则点 表示的数是_；若点 表示的数是 ，则点 表示的数是_；已知线段 上的点 经过上述操作后得到的对应点 与点 重合，则点 表示的数是_22一动点 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进 个单位、后退 个单位的程序运动，已知点 每秒前进或后退 个单位，设 表示第 秒点 在数轴上的
12、位置所对应的数（如 ， ， ） ，求 所对应的数问题解决例 1 （1） （2） 或 或 或例 2 B 由图知 ，又 ，得 例 3 当点 在原点的右边时， ，则 ；当点 在原点的左边时， ，则 ；当点 、 分别在原点的右、左两侧时， ，这时无法比较 与 的大小关系；当点 正好在原点位置时， ，则 ；当点 正好在原点位置时，则 例 4 设 点表示的有理数为 ，则 、 、 点所表示的有理数分别为， ， ， ，由题意得数学冲浪1 或 2 3 或4 （1） ；（2） 5A 6A 7C 8C9 ，落点处与 点距离为 个单位长61011 中点所表示的数是1213 （1）如图所示，点 、 两点即为所求（2）
13、或 ；点 的左边或点 的右边14 ； 长为 ， 对应数为 ，点 移动的距离为15C 16C 17C 18C19 与20 （1）设 秒后甲到 、 、 距离和为当甲在 、 之间时 ，得 当甲在 、 之间时 ，得 ，即 秒或 秒后（2）设 秒后相遇，即在 处相遇（3）设甲向 走 秒后掉头返回 秒与乙相遇，解得 设甲向 走 秒后掉头返回 秒与乙相遇，解得 不合题意，舍去即甲、乙能在 所表示的点处相遇21 ； ； 设 点表示的数为 ，则 点表示的数为 ，由得 22因 ， ，故 所对应的数为 72聚焦绝对值解读课标绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学
14、中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：（1）脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法（2）恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看 表示数 的点到原点的距离； 表示数 、数 的两点间的距离（3）灵活运用绝对值的基本性质 ； ； ； 问题解决例 1 已知 ，其中 ， ，那么 的最小值为_试一试结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号例 2 式子 的所有可能的值有（） A 个 B 个 C 个 D
15、无数个试一试根据 、 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键8例 3 （1）已知 ，求的值（2）设 、 、 为整数，且 ，求 的值试一试对于（1） ，由非负数的性质先导出 、 的值；对于（2） ， 写成两个非负整数的和的形式又有几种可能？这是解（2）的突破口例 4 阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 时，可令 和 ，分别求得 ， （称 ， 分别为 与 的零点值） 在有理数范围内，零点值 和 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况：（1） ；（2） ；（3） 从而化简代数式 可分以下 3 种情况：（1）当
16、 时，原式 ；（2）当 时，原式 ；（3）当 时，原式 综上讨论，原式 ，通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出 和 的零点值；（2）化简代数式 试一试在阅读理解的基础上化简求值例 5 （1）当 取何值时， 有最小值？这个最小值是多少？（2）当 取何值时， 有最大值？这个最大值是多少？（3）求 的最小值（4）求 的最小值分析对于（3） 、 （4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示 的点，使之到表示 、 的点（或表示 、 、的点）的距离和最小解（1）当 时，原式有最小值，最小值为 （2）当 时，原式有最大值，最大值为 （3）当
17、时，原式有最小值，最小值为 （4）当 时，原式有最小值，最小值为 对于（3） ，给出另一种解法：当 时，原式 ，最小值为 ；当 时，原式 ，最小值为 ；当 时，原式 ，最小值为 综上所述，原式有最小值等于 以退求讲例 6 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的9运算，其运算过程足：输入第一个整数 ，只显示不运算，接着再输入整数 后则显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从 到 这 个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为 ，试求出 的最大值，并说明理由分析先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分
18、析调整估值，一步步求出 的最大值解由于输入的数都是非负数，当 ， 时， 不超过 、 中最大的数，对， ， ，则 不超过 、 、 中最大的数，设小明输入这个数的次序是 ， ， 相当于计算： ，因此 的值 另外从运算奇偶性分析， 、 为整数， 与 奇偶性相同，因此 与的奇偶性相同但 偶数，于是断定 我们证明 可以取到对 ， ， ， ，按如下次序： ，对于 ， ， ，均成立因此， 可按上述办法依次输入最后显示结果为 ，而后 ，故 的最大值为 数学冲浪知识技能广场1数 在数轴上的位置如图所示 ，且 ，则_2已知 ， ，且 ，那么 _3化简 _4已知有理数 、 、 在数轴上的对应位置如图所示：， 化简后
19、的结果是_5已知整数 ， ， ， ，满足下列条件： ， ， ，依次类推，则 的值为（） A B C D6已知 ，化简 所得的结果是（）A B C D7若 是有理数，则 一定是（） A零 B非负数 C正数 D负数8有理数 、 、 的大小关系如图： ，则下列式子中一定成立的是（）A B C D9化简（1） ；（2） 1010阅读下面材料并回答问题点 、 在数轴上分别表示实数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 当 、 两点中有一点在原点时，不妨设点 在原点，如图， ；当 、 两点都不在原点时， （1）如图，点 、 都在原点的右边，；（2）如图，点 、 都在原点的左边， ；（3）如图，点 、 在原点的
20、两边， 综上，数轴上 、 两点之间的距离 请回答：数轴上表示 和 的两点之间的距离是_，数轴上表示 和 的两点之间的距离是_，数轴上表示 和 的两点之间的距离是_；数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离是_，如果 ，那么 为_；当代数式 取最小值时，相应的 的取值范围是_思维方法天地11已知 ， ， ，且 ，那么 _12在数轴上，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，且 、 两点的距离为 ，则 _13已知 ， ，那么 _14 （1） 的最小值为_（2） 的最小值为_15有理数 、 在数轴上对应的位置如图所示： ，则代数式 的值为（）A B C D16若 ，则 的值为（）A B C D17如图，已
21、知数轴上点 、 、 所对应的数 、 、 都不为 ，且 是 的中点如果 ，那么原点 的位置在（）A线段 上 B线段 的延长线上 C线段 上 D线段 的延长线上18设 ，则 的最小值为（）A B C D1119已知点 在数轴上对应的数为 ，点 对应的数为 ，且 ， 、之间的距离记作 （1）求线段 的长 ；（2）设点 在数轴上对应的数为 ，当 时，求 的值；（3）点 在 的左侧， 、 分别是 、 的中点，当点 在 的左侧移动时，式子的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由20已知 ，且 、 、 都不等于 ，求 的所有可能值应用探究乐园21绝对值性质（1）设 、 为有理数，比较 与
22、的大小（2）已知 、 、 、 是有理数， ， ，且 ，求的值22已知数轴上两点 、 对应的数分别为 ， ，点 为数轴上一动点，其对应的数为（1）若点 到点 、点 的距离相等，求点 对应的数（2）数轴上是否存在点 ，使点 到点 、点 的距离之和为 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由（3）当点 以每分钟 个单位长的速度从 点向左运动时，点 以每分钟 个单位长的速度向左运动，点 以每分钟 个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后 点到点 、点 的距离相等？122聚焦绝对值问题解决例 l ，当时， 的值最小为 例 2 A 分 ， ； ， ； ， ； ， 四种情况讨论例 3 （1）由
23、， ，得 ， 原式 （2）因 、 、 为整数，且 ，故 与 一个为 ，一个为 ，从而 所以，原式例 4 （1）分别令 和 ，分别求得 和 ，和 的零点值分别为 和 （2）当 时，原式 ；当 时，原式；当 时，原式 综上讨论，原式数学冲浪1 2 或 3 45B ， ， ， ， ， ， ， 对应的数分别为 ， ， ， ， ， ， 6A 7B 8C9 （1）原式（2）原式10 ， ； ； 或 11 或 1213 分 ， 同号、 ， 异号两种情形讨论14 （1） （2）15D 16C17A 提示： 原式化为18B19 （1） ；（2） ；（3） ，值不变1320 或 或21 （1） ，当且仅当 、 同
24、号或 、 至少有一为 时等号成立（2）因 ， ，故 ，又因为，所以 ， ，故原式 22 （1） ；（2） 或 ；（3） 未追上 时， ； 追上 时， 143有理数的运算有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算运算能力是运算技能与推理能力的结合这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度有理数运算常用的技巧与方法有：利用运算律；以
25、符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等问题解决例 1 （1）已知 ，记 ， ，则通过计算推测 的表达式_ （用含 的代数式表示）（2）若 、 是互为相反数， 、 是互为倒数， 的绝对值等于 ，则的值是_试一试对于（2） ，运用相关概念的特征解题例 2 已知整数 、 、 、 满足 ，且 ，那么 等于（） A B C D试一试解题的关键是把 表示成 个不同整数的积的形式例 3 计算（1） ；（2） ；（3） 试一试对于（1） ，设原式 ，将各括号反序相加；对于（2） ，若计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（3） ，视除数为一整体，从寻找被除数与除数的关系入
26、手，例 4 在数学活动中，小明为了求 的值（结果用 表示） ，设计了如图所示的几何图形15（1）请你用这个几何图形求 的值；（2）请你用图，再设计一个能求 的值的几何图形试一试求原式的值有不同的解题方法，而剖分图形面积是构造图形的关键例 5 在 ， ， 前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值分析与解首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是 代数和的最小值能是 吗？能是 吗？由于任意添“+”号或“-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手因 与 的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与的奇偶性相同，
27、即为奇数因此，所求非负代数和不会小于 又，所求非负代数和的最小值为 类比类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法例 6 观察下面的计算过程问：（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律（2） “学问” ，既要学会解答，又要学会发问爱因斯坦曾说：。提出问题比解决问题更重要” 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题分析与解（1） （2）从连续自然数到连续偶数，从 个到 个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题： ； ； ； 16数学冲浪知识技能广场1如图，每一个小方格的面积为
28、，则可根据面积计算得到如下算式：_ （用 表示， 是正整数） 2某数学活动小组的 位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加 ，第 位同学报 ，第 位同学报 ，第位同学报 ， 这样得到的 个数的积为_3计算：（1） _（2） _4 “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：+有 ， 请类比以上做法，回答下列问题：若 为正整数， ，则 _5设 ，在代数式 ， ， ， ， ， ， 中负数的个数是（）A B C D6我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下： 克以内 元，每增加 克（不足克
29、按 克计） 元某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为 克，则他应付邮资（）元A B C D7为了求 的值，可令 ，则，因此 ，所以仿照上面推理计算出 的值是（） A B C D8下面是按一定规律排列的一列数：第 个数： ；17第 个数： ；第 个数： ；第 个数： 那么，在第 个数、第 个数、第 个数、第 个数中，最大的数是（）A第 个数 B第 个数 C第 个数 D第 个数9观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：图 图 图三个角上三个数的积三个角上三个数的和积与和的商（2）请用你发现的规律求出图中的数 和图中的数 10观察下列等式：第 个等式： ；第 个等式： ；第 个等
30、式： ；第 个等式： ；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第 个等式： _=_；（2）用含 的代数式表示第 个等式： _=_（ 为正整数） ；（3）求 的值思维方法天地11计算：（1）_（2） _18（3） _12设三个互不相等的有理数，既可分别表示为 ， ， 的形式，又可分别表示为 ， 的形式，则 _13已知 ，则 _14已知 、 、 满足 且 ，则代数式 的值是_15 的值是（）A B C D16如果 个不同的正整数 、 、 、 满足 ，那么等于（）A B C D E17如果 ，那么 的值为（）A B C D不确定18观察下列各式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；请你根据观察得到
31、的规律判断下列各式正确的是（）A BC D19观察下面的等式：， ；， ；， ；， （1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和” ，小明的猜想正确吗？为什么？（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想20同学们，我们曾经研究过 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为但 为 时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道时，我们可以这样做：（1）观察并猜想：，19，；（2）归纳结论：=（_）+ （_）=_+_；（3）实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当 为 时，正方形网格中正方形
32、的总个数是_应用探究乐园21我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休” 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案例如，求 的值，其中 是正整数对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加） ，问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对 的奇
33、偶性进行讨论如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观，现利用图形的性质来求 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为 ， ， ， 个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子 的值为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形此时，组成平行四边形的小圆圈共有 行，每行有 个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为 个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为 ，即 （1）仿照上述数形结合的思想方法；设计相关图形，求 的值，其中 是正整数 （要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）（2）试设计另
34、外一种图形，求 的值，其中 是正整数 （要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）22在“ ”的小方格中填上“+” 、 “-”号，如果可以使其代数和为 ，就称数 是“可被表出的数” （如 是可被表出的数，这是因为20是 的一种可被表出的方法） （1）求证： 是可被表出的数，而 是不可被表出的数；（2）求 可被表出的不同方法的种数问题解决例 1 （1） （2）例 2 D ， ， ， ， 例 3 （1） 设原式 ，又 ，两式相加得 ，所以 ；（2） ；（3） 原式 ，其中 例 4 （1）原式 ；（2）略数学冲浪1 2 3 （1） ；（2）4 由 ，得5B 6A 7D8A 提示：第 个数为 ，把第
35、 、 、 、 个数分别求出9 （1）略（2）图： ， ， ；图： ，解得 10 （1） ；（2） ；（3）原式11 （1） ；（2） ；（3）12 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定， 与 中有一个为 ，21与 中有一个为 ，可推得 ， 13 14 15B 16E 17A 18C19 （1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例，如 （2）将第一组等式变形为 ， ，得出如下猜想：“若 是正整数，则”证明：左边 右边20 （1） ； ； ；（2） ； ； ； ；（3） 21原式 ，构造平行四边形或正方形22 （1） ，无论怎样填“ ”、 “ ”号，代数好一定是奇数，又 ，故 是可被表
36、出的数，而 是不可被表出的数（2）设填“ ”号的数字和为 ，填“ ”号的数字和为 ，则 ，又 ，解得 ， ，因 ， ，故填“ ”号的数字至少有 个至多有个，由此知填“ ”号的数之和为 ，只要计算出从 到 中选出若干个其和为 的数字的不同方法，就得到 可表出的不同方法，经讨论知有 种224信息技术中的数学问题解读课标伴随着计算机和网络技术的迅猛发展，人类社会已步入信息时代，并将迈人后信息化时代：IT 技术、赛伯空间、数字化技术、智能通讯等信息技术彻底改变着我们的生活方式与思维方式计算器、计算机正深刻影响着数学学习内容和方式，现代信息技术是学习数学和解决问题的有力工具近年出现的以信息技术为背景的问
37、题是中考竞赛试卷一道靓丽的风景，这类问题将信息技术与数学知识有机融合和渗透，构思巧妙、立意新颖，其内容涉及计算机常识（数制、字节等） 、计算机的数据输出、计算机中的数据处理、计算机运算程序、网络与通讯等解决这类问题的关键是找到数学知识与其内在的联系，将其转化为数学问题问题解决例 1 给出下列程序，且已知当输入的 值为 时，输出值为 ；输入的 值为 时，输出值为 ，则当输入的 值为 时，输出值为_试一试把程序流程图用代数式表示，由条件先求出 、 的值例 2 计算机利用的是二进制数，它共有两个数码 、 ，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个 数的和，依次写出 或 即可，如为二进制下
38、的位数，则十进制数 是二进制下的( )A 位数 B 位数 C 位数 D 位数23试一试本例渗透了计算机的基本知识“二进制计算” ，无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式例 3 一条信息可通过如图所示的网络线由上（ 点）往下向各站点传送例如信息到 点可由经 的站点送达，也可由经 的站点送达，共有两条途径传送，那么信息由 点到达的不同途径共有多少条试一试在阅读理解的基础上，画出路线示意图，穷举得出结论例 4 你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳其实，这些信号在电脑芯片中都是以二进制数
39、的形式给出的每个二进制数都由 和 构成，电脑芯片上电子元件的“开” 、 “关”分别代表“ ”和“ ”一组电子元件的“开” “关”状态就表示相应的二进制数，例如“开” “开” “关”表示“ ”，如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连） ，且相邻的两个元件不能同时是关的 （以下各小题要求写出解答过程）（1）若此电路上有 个元件，则这 个元件所有不同的“开” “关”状态共有多少种？（请一一列出）（2）若用 表示电路上 只电子元件所有不同的“开” “关”状态数，试探索 、 之间的关系式（不要求论证） ；（3）试用（2）中探索出的递推关系式，计算 的值试一试对于（l） ，通过穷
40、举，得出答案值；对于（ 2） ，从特例入手，归纳出相应关系式例 5 先阅读下面的材料，再解答后面各题现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中 、 、 、 、 、 这 个字母依次对应、 、 、 、 、 这 个正整数（见下表）：给出一个变换公式：将明文转换成密文，如：，即 变为 ；24，即 变为 将密文转换成明文，如：，即 变为 ；，即 变为 （1）按上述方法将明文 译为密文；（2）若按上述方法将明文译成的密文为 ，请找出它的明文试一试对于（1） ，由明文选择变换公式，求得相应整数，推出密文；对于（2） ，逆用变换公式，即由
41、导出 值，推出明文，解题的关键是确定变换公式中 的取值范围电话号码的破译例 6 同学们看电影、看电视时，经常遇到破译密码的故事情节，在军事上、商业上，为了保密，都采用密码破译密码需要有解密的“钥匙” ，下面我们也来破译一个电话号码：一名间谍在他所追踪的人拨打电话时（话机是拨盘式的，如图，话机上的数字排列顺序是 ， ， ， ， ， ， ， ， ，图中画出了拨数字 时相应的小孔转过的路线） ，随着拨号盘转回的声音，用铅笔以同样的速度在纸上画线，他画出的 条线如下：他很快就知道了那人拨的电话号码，这个号码是多少？分析与解从电话拨盘上可以看出，拨 时，画出的线段最短，拨 时，画出的线段最长，由于画线速
42、度相同，所以，每个数字所对应的线段应比它下一个数所对应的线段增加一个固定的长度间谍所画下的这 条线段的长度互不相等，所表示的 个数字当然也不一样，在 这 个数字的 个数字中至少有 个数字是相邻的（想一想为什么） ，因此，长度最接近的两条线段的长度差，就一定是上面所谈到的那个固定长度通过对这 条线段进行度量，可以发现第一条线段与第二条线段最为接近，它们相差 厘米（相当于 个格子的宽度） 由于最长的线段与最短的线段相差 厘米（相当于 个格子的宽度） ，因此可以断定最长的线段代表数字 ，而最短的线段则代表 第一条线段比第三条线段长 厘米，因此第一条线段代表 ，同样可推知第六条线段代表 ，第四条线段代
43、表 ，第二条线段代表 ，所以这个电话号码是 数学冲浪知识技能广场1二进制数为法国数学家莱布尼兹所创，例如二进制数 表示十进制数，即相当于十进制数 ，试将二进制数 化为十进制数_二进制数是现代计算机理论的基础2如图，是一个简单的数值运算程序，当输入 的值为 时，则输出的数值为_3老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入数据输出数据那么，当输入数据是 时，输出的数据是_4在计算器上按照下面的程序进行操作：25下表中的 与 分别是输入的 个数及相应的计算结果：上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是5在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法如图，一层二叉树的结点总数为，二层二叉树
44、的结点总数为 ，三层二叉树的结点总数为 照此规律，七层二叉树的结点总数为（） A B C D6如图所示的运算程序中，若开始输入的 值为 ，我们发现第一次输出的结果为 ，第二次输出的结果为 ，则第 次输出的结果为（） A B C D7计算机是将信息换成二进制数进行处理的，二进制即“逢 进 ”，如 表示二进制数，将它转换成十进制形式是 ，那么将二进制数 转换成十进制形式是数（） A B C D8按下列程序计算，把答案写在表格内：（1）填写表格：输入输出答案（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简9密码在通信安全技术、国防军事中扮演着重要角色，下面 道算式，乍看真是莫名其妙！ ； ； ；
45、； ； 当你知道这只是密码算式，各个密码数字各自对应另二个不同数字时，算式就合理了请根据算式，写出表中密码所对应的数字密码对应数字2610为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密） ，接收方由密文明文（解密） ，已知有一种密码，将英文 个小写字母 ， ， ， ， 依次对应 ， ， ， ， 这 个自然数（见表格） 当明文中的字母对应的序号为 时，将除以 后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文 对应密文 字母序号字母序号按上述规定，将明文“ ”译成密文思维方法天地11我们知道在十进制加法中，逢十进一，如 ，也可写成 ；在四进制加法中，逢四进一，如 ，那么在 进制中有等式 ，则_12某综合性大学拟建校园局域网络，将大学本部 和所属专业学院 、 、 、 、 之间用网线连接起来经过测算，网线费用如图所示（单位：万元） ，每个数字表示对应网线（线段）的费用，实际建网时，部分网线可以省略不建，但本部及所属专业学院之间可以传递信息，那么建网所需的最少网线费用为_万元13计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出，按照“先进后出”的原则如图堆栈（l）的 个连续存储单元已依次存人数据 ， ，取出数据的顺序是 ， ；堆栈（2）的 个连续存储单元
